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一、填空题
1. 因式分解：$x^3 - 9x = \_\_\_\_\_\_$.
1. 因式分解：$x^3 - 9x = \_\_\_\_\_\_$.
答案
1. $x(x-3)(x+3)$
解析
【分析】
因式分解的常规解题思路为“一提二套三查”：第一步先观察多项式是否有公因式，若有则先提取公因式；第二步看提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的形式，若符合则套用对应公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，每个因式都不能再分解为止。本题中先观察到多项式两项都含有公因式x，先提取公因式，再看剩余部分$x^2-9$符合平方差公式的形式，继续分解即可得到最终结果。
【解析】
解：对$x^3 - 9x$进行因式分解：
第一步：提取公因式$x$，可得：
$x^3 - 9x = x(x^2 - 9)$
第二步：观察剩余因式$x^2 - 9$，符合平方差公式$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$的形式，其中$a=x$，$b=3$，代入公式继续分解：
$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3)$
第三步：组合结果，确认每个因式都无法再分解，得到最终结果。
【答案】
$x(x-3)(x+3)$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，需牢记因式分解的基本步骤，优先提取公因式后再尝试套用公式，同时要注意分解必须彻底，避免出现分解不完全的错误。
【难度系数】
0.8
因式分解的常规解题思路为“一提二套三查”：第一步先观察多项式是否有公因式，若有则先提取公因式；第二步看提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的形式，若符合则套用对应公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，每个因式都不能再分解为止。本题中先观察到多项式两项都含有公因式x，先提取公因式，再看剩余部分$x^2-9$符合平方差公式的形式，继续分解即可得到最终结果。
【解析】
解：对$x^3 - 9x$进行因式分解：
第一步：提取公因式$x$，可得：
$x^3 - 9x = x(x^2 - 9)$
第二步：观察剩余因式$x^2 - 9$，符合平方差公式$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$的形式，其中$a=x$，$b=3$，代入公式继续分解：
$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3)$
第三步：组合结果，确认每个因式都无法再分解，得到最终结果。
【答案】
$x(x-3)(x+3)$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，需牢记因式分解的基本步骤，优先提取公因式后再尝试套用公式，同时要注意分解必须彻底，避免出现分解不完全的错误。
【难度系数】
0.8
2. 化简：$(-2)^{100} + (-2)^{99} =$
$2^{99}$
.答案
2. $2^{99}$
解析
【分析】
观察算式可知，两项均为底数是-2的幂，指数分别为100和99，可先根据负数乘方的符号法则判断两项的符号，再将高次幂拆分为低次幂与底数的乘积，逆用乘法分配律提取公因式后计算即可得到化简结果，解题时要注意区分负数偶次幂和奇次幂的符号差异。
【解析】
解：根据负数乘方的符号规律：负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负，可得：
$(-2)^{100}=2^{100}$，$(-2)^{99}=-2^{99}$
代入原式得：
$\begin{aligned}(-2)^{100} + (-2)^{99}&=2^{100} - 2^{99}\\&=2×2^{99} - 2^{99}\\&=(2-1)×2^{99}\\&=2^{99}\end{aligned}$
【答案】
$2^{99}$
【知识点】
乘方的符号法则、同底数幂的乘法、乘法分配律逆用
【点评】
本题是乘方运算的基础化简题，核心解题思路是通过拆分高次幂构造公因式，再提取公因式简化计算，易错点是容易混淆负数奇次幂和偶次幂的符号，导致计算错误。
【难度系数】
0.7
观察算式可知，两项均为底数是-2的幂，指数分别为100和99，可先根据负数乘方的符号法则判断两项的符号，再将高次幂拆分为低次幂与底数的乘积，逆用乘法分配律提取公因式后计算即可得到化简结果，解题时要注意区分负数偶次幂和奇次幂的符号差异。
【解析】
解：根据负数乘方的符号规律：负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负，可得：
$(-2)^{100}=2^{100}$，$(-2)^{99}=-2^{99}$
代入原式得：
$\begin{aligned}(-2)^{100} + (-2)^{99}&=2^{100} - 2^{99}\\&=2×2^{99} - 2^{99}\\&=(2-1)×2^{99}\\&=2^{99}\end{aligned}$
【答案】
$2^{99}$
【知识点】
乘方的符号法则、同底数幂的乘法、乘法分配律逆用
【点评】
本题是乘方运算的基础化简题，核心解题思路是通过拆分高次幂构造公因式，再提取公因式简化计算，易错点是容易混淆负数奇次幂和偶次幂的符号，导致计算错误。
【难度系数】
0.7
3. 当$k=$
7
时，$x^2 - kx + 12 = (x - 4)(x - 3)$。答案
3. 7
解析
【分析】
解题时首先观察到等式右侧是两个一次多项式的乘积，我们可以先运用多项式乘法法则将右侧展开化简，再根据两个多项式相等时对应同类项的系数完全相等的规律，找到左右两边一次项系数的等量关系，即可求出k的值。
【解析】
先展开等式右边的多项式：
$(x - 4)(x - 3) = x· x - 3x - 4x + (-4)×(-3) = x^2 - 7x + 12$
已知$x^2 - kx + 12 = (x - 4)(x - 3)$，代入展开结果可得：
$x^2 - kx + 12 = x^2 - 7x + 12$
两个多项式相等时对应一次项系数相等，因此：
$-k = -7$
解得$k = 7$
【答案】
7
【知识点】
1. 多项式乘多项式运算
2. 多项式相等的系数对应关系
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是通过展开整式乘积，利用多项式相等时同类项系数相同的性质求解参数，计算难度低，重点考察整式乘法的运算熟练度。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察到等式右侧是两个一次多项式的乘积，我们可以先运用多项式乘法法则将右侧展开化简，再根据两个多项式相等时对应同类项的系数完全相等的规律，找到左右两边一次项系数的等量关系，即可求出k的值。
【解析】
先展开等式右边的多项式：
$(x - 4)(x - 3) = x· x - 3x - 4x + (-4)×(-3) = x^2 - 7x + 12$
已知$x^2 - kx + 12 = (x - 4)(x - 3)$，代入展开结果可得：
$x^2 - kx + 12 = x^2 - 7x + 12$
两个多项式相等时对应一次项系数相等，因此：
$-k = -7$
解得$k = 7$
【答案】
7
【知识点】
1. 多项式乘多项式运算
2. 多项式相等的系数对应关系
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是通过展开整式乘积，利用多项式相等时同类项系数相同的性质求解参数，计算难度低，重点考察整式乘法的运算熟练度。
【难度系数】
0.9
4. 若实数$x$满足$x^2 - x - 1 = 0$，则$x^3 - 2x^2 + 2023 = \_\_\_\_\_\_$.
答案
4. 2022
解析
【分析】
本题若直接求解x的值会涉及未学的一元二次方程求根知识，因此采用降次+整体代入的思路解题：首先从已知等式变形得到$x^2=x+1$、$x^2-x=1$两个可用结论，再将所求代数式中的高次项$x^3$拆分为$x· x^2$，用低次式替换高次项后化简，最后整体代入已知结论即可算出结果，避免复杂计算。
【解析】
已知$x^2 - x - 1 = 0$，变形可得：$x^2 = x + 1$，$x^2 - x = 1$。
对所求代数式逐步变形化简：
$\begin{aligned}x^3 - 2x^2 + 2023 &= x· x^2 - 2x^2 + 2023 \\&= x(x+1) - 2x^2 + 2023 \\&= x^2 + x - 2x^2 + 2023 \\&= -x^2 + x + 2023 \\&= -(x^2 - x) + 2023\end{aligned}$
将$x^2 - x=1$代入上式，得：
原式$=-1 + 2023 = 2022$
【答案】
2022
【知识点】
代数式求值；整体代入法；等式的性质
【点评】
本题是整式求值类的常考题型，解题核心是避开直接求解未知数的复杂思路，通过对已知条件和所求代数式的合理变形，用整体代入的方法简化运算，是对整式变形能力的基础考查。
【难度系数】
0.7
本题若直接求解x的值会涉及未学的一元二次方程求根知识，因此采用降次+整体代入的思路解题：首先从已知等式变形得到$x^2=x+1$、$x^2-x=1$两个可用结论，再将所求代数式中的高次项$x^3$拆分为$x· x^2$，用低次式替换高次项后化简，最后整体代入已知结论即可算出结果，避免复杂计算。
【解析】
已知$x^2 - x - 1 = 0$，变形可得：$x^2 = x + 1$，$x^2 - x = 1$。
对所求代数式逐步变形化简：
$\begin{aligned}x^3 - 2x^2 + 2023 &= x· x^2 - 2x^2 + 2023 \\&= x(x+1) - 2x^2 + 2023 \\&= x^2 + x - 2x^2 + 2023 \\&= -x^2 + x + 2023 \\&= -(x^2 - x) + 2023\end{aligned}$
将$x^2 - x=1$代入上式，得：
原式$=-1 + 2023 = 2022$
【答案】
2022
【知识点】
代数式求值；整体代入法；等式的性质
【点评】
本题是整式求值类的常考题型，解题核心是避开直接求解未知数的复杂思路，通过对已知条件和所求代数式的合理变形，用整体代入的方法简化运算，是对整式变形能力的基础考查。
【难度系数】
0.7
5. 如图，从边长为$ a $的大正方形纸板中挖去一个边长为$ b $的小正方形后，将其裁成4个相同的等腰梯形，然后拼成一个平行四边形，那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式________。
答案
5. $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
解析
【分析】
我们可以利用“拼接前后阴影部分面积不变”的特点，用两种方法计算阴影部分面积，再让两个面积表达式相等，就能得到对应的验证公式。第一步先计算原图形阴影部分的面积，第二步计算拼接后平行四边形的面积，最后建立二者的等量关系即可。
【解析】
1. 计算左图阴影部分的面积：
左图是边长为$a$的大正方形挖去边长为$b$的小正方形，阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即：
$S_{\mathrm{阴影}}=a^2 - b^2$
2. 计算右图平行四边形的面积：
观察拼接后的平行四边形，底的长度为$a+b$，平行四边形的高为大正方形和小正方形的边长差$a-b$，根据平行四边形面积公式“面积=底×高”，可得：
$S_{\mathrm{平行四边形}}=(a+b)(a-b)$
3. 由于拼接前后阴影部分面积不变，因此两个面积相等，可得：
$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
【答案】
$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
【知识点】
平方差公式，割补法求面积，多边形面积计算
【点评】
本题通过几何图形的割补拼接，将代数公式和几何面积计算结合，直观展现了平方差公式的几何意义，是数形结合思想的典型应用，同时考查了学生多角度计算图形面积的能力。
【难度系数】
0.7
我们可以利用“拼接前后阴影部分面积不变”的特点，用两种方法计算阴影部分面积，再让两个面积表达式相等，就能得到对应的验证公式。第一步先计算原图形阴影部分的面积，第二步计算拼接后平行四边形的面积，最后建立二者的等量关系即可。
【解析】
1. 计算左图阴影部分的面积：
左图是边长为$a$的大正方形挖去边长为$b$的小正方形，阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即：
$S_{\mathrm{阴影}}=a^2 - b^2$
2. 计算右图平行四边形的面积：
观察拼接后的平行四边形，底的长度为$a+b$，平行四边形的高为大正方形和小正方形的边长差$a-b$，根据平行四边形面积公式“面积=底×高”，可得：
$S_{\mathrm{平行四边形}}=(a+b)(a-b)$
3. 由于拼接前后阴影部分面积不变，因此两个面积相等，可得：
$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
【答案】
$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
【知识点】
平方差公式，割补法求面积，多边形面积计算
【点评】
本题通过几何图形的割补拼接，将代数公式和几何面积计算结合，直观展现了平方差公式的几何意义，是数形结合思想的典型应用，同时考查了学生多角度计算图形面积的能力。
【难度系数】
0.7
6. 下列计算正确的是(
A.$ x^{4} · x^{3} = x^{12} $
B.$ (x^{3})^{2} = x^{6} $
C.$ 3x^{3} ÷ x = 2x^{2} $
D.$ x^{3} + x^{2} = 2x^{6} $
B
).A.$ x^{4} · x^{3} = x^{12} $
B.$ (x^{3})^{2} = x^{6} $
C.$ 3x^{3} ÷ x = 2x^{2} $
D.$ x^{3} + x^{2} = 2x^{6} $
答案
6. B
解析
【分析】
本题考查整式的各类运算法则，解题时需逐一对照各选项对应的运算规则进行计算，通过排除法选出正确答案。首先回忆同底数幂乘除、幂的乘方、合并同类项的运算法则，再逐个验证四个选项的运算是否正确即可。
【解析】
我们依次对每个选项进行判断：
A选项：根据同底数幂相乘的法则，底数不变，指数相加，可得$x^4·x^3=x^{4+3}=x^7≠ x^{12}$，因此A错误。
B选项：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得$(x^3)^2=x^{3×2}=x^6$，因此B正确。
C选项：根据单项式除以单项式的法则，系数与同底数幂分别相除，可得$3x^3÷ x=(3÷1)x^{3-1}=3x^2≠2x^2$，因此C错误。
D选项：$x^3$和$x^2$所含字母相同但相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，因此D错误。
综上，计算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
幂的运算性质、整式的除法、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础常考题，核心是区分各类运算法则的差异，避免混淆同底数幂乘法与幂的乘方的指数运算规则、以及错误合并非同类项，熟练掌握基础法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的各类运算法则，解题时需逐一对照各选项对应的运算规则进行计算，通过排除法选出正确答案。首先回忆同底数幂乘除、幂的乘方、合并同类项的运算法则，再逐个验证四个选项的运算是否正确即可。
【解析】
我们依次对每个选项进行判断：
A选项：根据同底数幂相乘的法则，底数不变，指数相加，可得$x^4·x^3=x^{4+3}=x^7≠ x^{12}$，因此A错误。
B选项：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得$(x^3)^2=x^{3×2}=x^6$，因此B正确。
C选项：根据单项式除以单项式的法则，系数与同底数幂分别相除，可得$3x^3÷ x=(3÷1)x^{3-1}=3x^2≠2x^2$，因此C错误。
D选项：$x^3$和$x^2$所含字母相同但相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，因此D错误。
综上，计算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
幂的运算性质、整式的除法、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础常考题，核心是区分各类运算法则的差异，避免混淆同底数幂乘法与幂的乘方的指数运算规则、以及错误合并非同类项，熟练掌握基础法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7. $x^{5m+3n+1} ÷ (x^n)^2 · (-x^m)^2$ 等于(
A.$-x^{7m+n+1}$
B.$x^{7m+n+1}$
C.$x^{7m-n+1}$
D.$x^{3m+n+1}$
B
).A.$-x^{7m+n+1}$
B.$x^{7m+n+1}$
C.$x^{7m-n+1}$
D.$x^{3m+n+1}$
答案
7. B
解析
【分析】
解决本题需遵循幂的运算顺序：先算乘方，再算乘除。首先回忆幂的相关运算法则：①幂的乘方，底数不变，指数相乘；②同底数幂相除，底数不变，指数相减；③同底数幂相乘，底数不变，指数相加；④负数的偶次幂为正数。先分别计算两个乘方项，再依次计算除法、乘法，合并指数后匹配选项即可。
【解析】
解：先计算幂的乘方项：
根据幂的乘方法则，得$(x^n)^2 = x^{n×2}=x^{2n}$；
根据偶次幂的性质和幂的乘方法则，得$(-x^m)^2=(-1)^2· (x^m)^2 = x^{2m}$；
将结果代入原式，转化为同底数幂的乘除运算：
$\begin{aligned}原式&=x^{5m+3n+1}÷ x^{2n}· x^{2m}\\&=x^{(5m+3n+1)-2n}· x^{2m} \quad \mathrm{（同底数幂除法法则）}\\&=x^{5m+n+1}· x^{2m}\\&=x^{(5m+n+1)+2m} \quad \mathrm{（同底数幂乘法法则）}\\&=x^{7m+n+1}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂乘除运算，符号运算规则
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查对幂运算各法则的掌握程度和运算顺序的规范性，解题时需注意负数偶次幂的符号处理，指数合并时要准确计算同类项，避免因粗心导致错误。
【难度系数】
0.7
解决本题需遵循幂的运算顺序：先算乘方，再算乘除。首先回忆幂的相关运算法则：①幂的乘方，底数不变，指数相乘；②同底数幂相除，底数不变，指数相减；③同底数幂相乘，底数不变，指数相加；④负数的偶次幂为正数。先分别计算两个乘方项，再依次计算除法、乘法，合并指数后匹配选项即可。
【解析】
解：先计算幂的乘方项：
根据幂的乘方法则，得$(x^n)^2 = x^{n×2}=x^{2n}$；
根据偶次幂的性质和幂的乘方法则，得$(-x^m)^2=(-1)^2· (x^m)^2 = x^{2m}$；
将结果代入原式，转化为同底数幂的乘除运算：
$\begin{aligned}原式&=x^{5m+3n+1}÷ x^{2n}· x^{2m}\\&=x^{(5m+3n+1)-2n}· x^{2m} \quad \mathrm{（同底数幂除法法则）}\\&=x^{5m+n+1}· x^{2m}\\&=x^{(5m+n+1)+2m} \quad \mathrm{（同底数幂乘法法则）}\\&=x^{7m+n+1}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂乘除运算，符号运算规则
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查对幂运算各法则的掌握程度和运算顺序的规范性，解题时需注意负数偶次幂的符号处理，指数合并时要准确计算同类项，避免因粗心导致错误。
【难度系数】
0.7
8. 下列结论错误的有(
①$-(-1)^0=1$； ②$-2m^{-1}=\dfrac{-1}{2m}(m≠0)$； ③$-(-1)^{-1}=-1$；
④$(-x)^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}(x≠0)$； ⑤$-(-2)^{-3}=-(-2^{-3})$； ⑥$\dfrac{9}{16}=(\dfrac{4}{3})^{-2}$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
).①$-(-1)^0=1$； ②$-2m^{-1}=\dfrac{-1}{2m}(m≠0)$； ③$-(-1)^{-1}=-1$；
④$(-x)^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}(x≠0)$； ⑤$-(-2)^{-3}=-(-2^{-3})$； ⑥$\dfrac{9}{16}=(\dfrac{4}{3})^{-2}$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
8. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需牢记零指数幂、负整数指数幂的运算法则，解题时逐一计算每个式子的结果，将计算结果和原式结论对比判断对错，最后统计错误结论的个数即可匹配对应选项。运算时要特别注意符号、底数的区分，避免运算顺序出错。
【解析】
首先明确幂的运算规则：①非零数的0次幂等于1，即$a^0=1(a≠0)$；②非零数的负整数次幂等于这个数正整数次幂的倒数，即$a^{-n}=\frac{1}{a^n}(a≠0,n为正整数)$。
我们逐一判断6个结论：
①计算$-(-1)^0$：$(-1)^0=1$，故$-(-1)^0=-1≠1$，结论①错误；
②计算$-2m^{-1}(m≠0)$：$m^{-1}=\frac{1}{m}$，故$-2m^{-1}=-\frac{2}{m}≠\frac{-1}{2m}$，结论②错误；
③计算$-(-1)^{-1}$：$(-1)^{-1}=\frac{1}{-1}=-1$，故$-(-1)^{-1}=-(-1)=1≠-1$，结论③错误；
④计算$(-x)^{-2}(x≠0)$：$(-x)^{-2}=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}≠-\frac{1}{x^2}$，结论④错误；
⑤判断$-(-2)^{-3}=-(-2^{-3})$：左边$-(-2)^{-3}=-(\frac{1}{(-2)^3})=-(-\frac{1}{8})=\frac{1}{8}$；右边$-(-2^{-3})=-(-\frac{1}{2^3})=\frac{1}{8}$，左右相等，结论⑤正确；
⑥判断$\frac{9}{16}=(\frac{4}{3})^{-2}$：右边$(\frac{4}{3})^{-2}=\frac{1}{(\frac{4}{3})^2}=\frac{9}{16}$，和左边相等，结论⑥正确。
综上，错误的结论有①②③④，共4个。
【答案】
D
【知识点】
负整数指数幂运算，零指数幂运算，有理数乘方运算
【点评】
本题重点考查幂的相关运算，易错点是运算时容易忽略符号、混淆负指数幂中系数和指数的运算规则，做题时需按照法则逐步计算，注意核对每一步的符号和结果。
【难度系数】
0.4
要解决这道题，首先需牢记零指数幂、负整数指数幂的运算法则，解题时逐一计算每个式子的结果，将计算结果和原式结论对比判断对错，最后统计错误结论的个数即可匹配对应选项。运算时要特别注意符号、底数的区分，避免运算顺序出错。
【解析】
首先明确幂的运算规则：①非零数的0次幂等于1，即$a^0=1(a≠0)$；②非零数的负整数次幂等于这个数正整数次幂的倒数，即$a^{-n}=\frac{1}{a^n}(a≠0,n为正整数)$。
我们逐一判断6个结论：
①计算$-(-1)^0$：$(-1)^0=1$，故$-(-1)^0=-1≠1$，结论①错误；
②计算$-2m^{-1}(m≠0)$：$m^{-1}=\frac{1}{m}$，故$-2m^{-1}=-\frac{2}{m}≠\frac{-1}{2m}$，结论②错误；
③计算$-(-1)^{-1}$：$(-1)^{-1}=\frac{1}{-1}=-1$，故$-(-1)^{-1}=-(-1)=1≠-1$，结论③错误；
④计算$(-x)^{-2}(x≠0)$：$(-x)^{-2}=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}≠-\frac{1}{x^2}$，结论④错误；
⑤判断$-(-2)^{-3}=-(-2^{-3})$：左边$-(-2)^{-3}=-(\frac{1}{(-2)^3})=-(-\frac{1}{8})=\frac{1}{8}$；右边$-(-2^{-3})=-(-\frac{1}{2^3})=\frac{1}{8}$，左右相等，结论⑤正确；
⑥判断$\frac{9}{16}=(\frac{4}{3})^{-2}$：右边$(\frac{4}{3})^{-2}=\frac{1}{(\frac{4}{3})^2}=\frac{9}{16}$，和左边相等，结论⑥正确。
综上，错误的结论有①②③④，共4个。
【答案】
D
【知识点】
负整数指数幂运算，零指数幂运算，有理数乘方运算
【点评】
本题重点考查幂的相关运算，易错点是运算时容易忽略符号、混淆负指数幂中系数和指数的运算规则，做题时需按照法则逐步计算，注意核对每一步的符号和结果。
【难度系数】
0.4
9. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是( ).
A.$xy^2(x - 1)=x^2y^2 - xy^2$
B.$x^2 - 9=(x - 3)(x + 3)$
C.$x^2 - 1 + y^2=(x - 1)(x + 1) + y^2$
D.$ax + bx + c=x(a + b) + c$
A.$xy^2(x - 1)=x^2y^2 - xy^2$
B.$x^2 - 9=(x - 3)(x + 3)$
C.$x^2 - 1 + y^2=(x - 1)(x + 1) + y^2$
D.$ax + bx + c=x(a + b) + c$
答案
9. B
解析
【分析】
要判断一个变形是否属于因式分解，首先要明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解。解题时我们对照定义，从两个维度判断即可：一是看变形的结果是不是几个整式乘积的形式，二是看变形是否为恒等变形，同时注意因式分解和整式乘法是互逆变形，不要混淆，接下来逐个分析选项即可。
【解析】
因式分解的核心特征是：变形结果为若干个整式的乘积。
A选项：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故A错误；
B选项：左边是多项式$x^2-9$，右边是$(x-3)$和$(x+3)$两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故B正确；
C选项：右边是$(x-1)(x+1)$与$y^2$的和，不是乘积的形式，不属于因式分解，故C错误；
D选项：右边是$x(a+b)$与$c$的和，不是乘积的形式，不属于因式分解，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
1.因式分解的定义 2.整式的乘法
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确掌握因式分解的定义，抓住“结果为整式乘积”这一核心判断标准，注意区分因式分解与整式乘法的互逆关系，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
要判断一个变形是否属于因式分解，首先要明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解。解题时我们对照定义，从两个维度判断即可：一是看变形的结果是不是几个整式乘积的形式，二是看变形是否为恒等变形，同时注意因式分解和整式乘法是互逆变形，不要混淆，接下来逐个分析选项即可。
【解析】
因式分解的核心特征是：变形结果为若干个整式的乘积。
A选项：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故A错误；
B选项：左边是多项式$x^2-9$，右边是$(x-3)$和$(x+3)$两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故B正确；
C选项：右边是$(x-1)(x+1)$与$y^2$的和，不是乘积的形式，不属于因式分解，故C错误；
D选项：右边是$x(a+b)$与$c$的和，不是乘积的形式，不属于因式分解，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
1.因式分解的定义 2.整式的乘法
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确掌握因式分解的定义，抓住“结果为整式乘积”这一核心判断标准，注意区分因式分解与整式乘法的互逆关系，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
10. 若$x+y=2$，$xy=-2$，则$(1-x)(1-y)$的值是（
A.$-1$
B.$1$
C.$5$
D.$-3$
D
）。A.$-1$
B.$1$
C.$5$
D.$-3$
答案
10. D
解析
【分析】
本题给出了x+y与xy的整体值，直接求解x、y的具体值比较繁琐，因此我们可以先利用多项式乘多项式的法则将待求代数式(1-x)(1-y)展开，再整理为含有x+y和xy的形式，最后将已知条件整体代入计算即可得到结果。
【解析】
首先根据多项式乘多项式的运算法则展开待求式：
$\begin{aligned}(1-x)(1-y)&=1×1 - 1× y - x×1 + x× y\\&=1 - x - y + xy\\&=1 - (x+y) + xy\end{aligned}$
已知$x+y=2$，$xy=-2$，将其代入上式：
$\begin{aligned}原式&=1 - 2 + (-2)\\&=-1 -2\\&=-3\end{aligned}$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘法，代数式求值，整体代入
【点评】
本题是整式运算中的常见题型，解题核心是掌握整式乘法的展开规则，灵活运用整体代入的思想，无需计算x、y的具体值即可快速求解，能很好地考查学生对整式运算和整体思想的掌握程度。
【难度系数】
0.8
本题给出了x+y与xy的整体值，直接求解x、y的具体值比较繁琐，因此我们可以先利用多项式乘多项式的法则将待求代数式(1-x)(1-y)展开，再整理为含有x+y和xy的形式，最后将已知条件整体代入计算即可得到结果。
【解析】
首先根据多项式乘多项式的运算法则展开待求式：
$\begin{aligned}(1-x)(1-y)&=1×1 - 1× y - x×1 + x× y\\&=1 - x - y + xy\\&=1 - (x+y) + xy\end{aligned}$
已知$x+y=2$，$xy=-2$，将其代入上式：
$\begin{aligned}原式&=1 - 2 + (-2)\\&=-1 -2\\&=-3\end{aligned}$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘法，代数式求值，整体代入
【点评】
本题是整式运算中的常见题型，解题核心是掌握整式乘法的展开规则，灵活运用整体代入的思想，无需计算x、y的具体值即可快速求解，能很好地考查学生对整式运算和整体思想的掌握程度。
【难度系数】
0.8
