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19.八(1)班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛.在相同的条件下,分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试,现将测试成绩绘制成如图所示的统计图：
第 19 题图
根据图中信息绘制下面的统计表：
请根据统计图、表中的信息解答下列问题：
(1)填空：$a=\_\_\_\_\_\_,b=\_\_\_\_\_\_,c=\_\_\_\_\_\_$；
(2)请计算乙跳绳成绩的方差$d$；
(3)根据以上数据,请你运用所学的统计知识,评价甲、乙两名男生中谁的一分钟跳绳成绩更稳定.
第 19 题图
根据图中信息绘制下面的统计表：
请根据统计图、表中的信息解答下列问题：
(1)填空：$a=\_\_\_\_\_\_,b=\_\_\_\_\_\_,c=\_\_\_\_\_\_$；
(2)请计算乙跳绳成绩的方差$d$；
(3)根据以上数据,请你运用所学的统计知识,评价甲、乙两名男生中谁的一分钟跳绳成绩更稳定.
答案
19.(1)175 175 185
(2)37.5
(3)
∵93.75＞37.5,
∴乙的一分钟跳绳成绩更稳定.
(2)37.5
(3)
∵93.75＞37.5,
∴乙的一分钟跳绳成绩更稳定.
解析
【分析】
(1) 求解a、b、c时，先明确三个统计量的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将数据按大小顺序排列后，数据个数为偶数时取中间两个数的平均数，数据个数为奇数时取中间位置的数。先整理甲的8次测试成绩，出现次数最多的数就是众数a，排序后取第4、5个成绩的平均数就是中位数b；再整理乙的8次测试成绩，出现次数最多的数就是众数c。
(2) 计算乙的方差d时，先求出乙8次成绩的平均数，再代入方差公式$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算即可。
(3) 评价成绩稳定性时，根据方差的意义：方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，比较甲、乙两人成绩的方差大小即可判断。
【解析】
(1) 将甲的8次测试成绩从小到大排列为：160，165，170，175，175，180，185，190。其中175出现次数最多，故$a=175$；数据共8个，中位数为第4、5个数据的平均数，即$b=\frac{175+175}{2}=175$。整理乙的8次测试成绩，185出现的次数最多，故$c=185$。
(2) 先计算乙8次跳绳成绩的平均数：$\overline{x}_乙=\frac{170+175+175+180+180+185+185+185}{8}=180$
代入方差公式计算：
$d=\frac{1}{8}[(170-180)^2+2×(175-180)^2+2×(180-180)^2+3×(185-180)^2]$
$=\frac{1}{8}×(100+50+0+75)$
$=\frac{1}{8}×300=37.5$
(3) 已知甲的成绩方差为93.75，乙的成绩方差为37.5，$\because93.75＞37.5$，方差越小成绩越稳定，$\therefore$乙的一分钟跳绳成绩更稳定。
【答案】
(1) $175$；$175$；$185$
(2) $37.5$
(3) 乙的一分钟跳绳成绩更稳定
【知识点】
众数与中位数，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题结合统计图表考查数据特征量的计算与应用，解题关键是牢记众数、中位数、方差的定义，能正确运用方差判断数据的稳定性，是统计部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 求解a、b、c时，先明确三个统计量的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将数据按大小顺序排列后，数据个数为偶数时取中间两个数的平均数，数据个数为奇数时取中间位置的数。先整理甲的8次测试成绩，出现次数最多的数就是众数a，排序后取第4、5个成绩的平均数就是中位数b；再整理乙的8次测试成绩，出现次数最多的数就是众数c。
(2) 计算乙的方差d时，先求出乙8次成绩的平均数，再代入方差公式$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算即可。
(3) 评价成绩稳定性时，根据方差的意义：方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，比较甲、乙两人成绩的方差大小即可判断。
【解析】
(1) 将甲的8次测试成绩从小到大排列为：160，165，170，175，175，180，185，190。其中175出现次数最多，故$a=175$；数据共8个，中位数为第4、5个数据的平均数，即$b=\frac{175+175}{2}=175$。整理乙的8次测试成绩，185出现的次数最多，故$c=185$。
(2) 先计算乙8次跳绳成绩的平均数：$\overline{x}_乙=\frac{170+175+175+180+180+185+185+185}{8}=180$
代入方差公式计算：
$d=\frac{1}{8}[(170-180)^2+2×(175-180)^2+2×(180-180)^2+3×(185-180)^2]$
$=\frac{1}{8}×(100+50+0+75)$
$=\frac{1}{8}×300=37.5$
(3) 已知甲的成绩方差为93.75，乙的成绩方差为37.5，$\because93.75＞37.5$，方差越小成绩越稳定，$\therefore$乙的一分钟跳绳成绩更稳定。
【答案】
(1) $175$；$175$；$185$
(2) $37.5$
(3) 乙的一分钟跳绳成绩更稳定
【知识点】
众数与中位数，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题结合统计图表考查数据特征量的计算与应用，解题关键是牢记众数、中位数、方差的定义，能正确运用方差判断数据的稳定性，是统计部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
