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1. 已知一组数据为2,3,4,5,6,那么该组数据的方差为 （
A.2
B.4
C.6
D.10
A
）A.2
B.4
C.6
D.10
答案
1.A
解析
【分析】
要计算这组数据的方差，首先回忆方差的计算步骤：第一步先求出这组数据的平均数，第二步利用方差公式，计算每个数据与平均数的差的平方的平均值即可。解题时先算数据总和求出平均数，再代入方差公式逐一计算就能得到结果。
【解析】
首先计算这组数据的平均数：
$\overline{x}=\frac{2+3+4+5+6}{5}=\frac{20}{5}=4$
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$代入计算：
$s^2=\frac{1}{5}[(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2]$
$=\frac{1}{5}[(-2)^2+(-1)^2+0^2+1^2+2^2]$
$=\frac{1}{5}(4+1+0+1+4)$
$=\frac{1}{5}×10=2$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
方差的计算；平均数的计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查方差的计算公式，只要牢记计算步骤，仔细运算即可得分，是统计模块的基础常考题。
【难度系数】
0.8
要计算这组数据的方差，首先回忆方差的计算步骤：第一步先求出这组数据的平均数，第二步利用方差公式，计算每个数据与平均数的差的平方的平均值即可。解题时先算数据总和求出平均数，再代入方差公式逐一计算就能得到结果。
【解析】
首先计算这组数据的平均数：
$\overline{x}=\frac{2+3+4+5+6}{5}=\frac{20}{5}=4$
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$代入计算：
$s^2=\frac{1}{5}[(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2]$
$=\frac{1}{5}[(-2)^2+(-1)^2+0^2+1^2+2^2]$
$=\frac{1}{5}(4+1+0+1+4)$
$=\frac{1}{5}×10=2$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
方差的计算；平均数的计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查方差的计算公式，只要牢记计算步骤，仔细运算即可得分，是统计模块的基础常考题。
【难度系数】
0.8
2. 甲、乙、丙、丁四名学生4次数学测试成绩的平均数都是110分，方差分别是$s^{2}_{甲}=6$，$s^{2}_{乙}=24$，$s^{2}_{丙}=25.5$，$s^{2}_{丁}=36$，则这四名学生中数学成绩最稳定的是 （
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
A
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
2.A
解析
【分析】
拿到本题首先明确已知条件：四名学生4次数学测试的平均成绩相同，要求选出成绩最稳定的学生。判断数据稳定性的核心依据是方差的意义：方差是衡量一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定。因此只需比较四人的方差大小，找到方差最小的对象即可得到答案。
【解析】
解：方差是反映一组数据波动大小的统计量，当各组数据的平均数相同时，方差越小，数据的离散程度越小，对应的成绩越稳定。
已知四名学生的平均成绩均为110分，四人的方差满足：$s^{2}_{甲}=6 ＜ s^{2}_{乙}=24 ＜ s^{2}_{丙}=25.5 ＜ s^{2}_{丁}=36$，即甲的方差最小。
因此甲的数学成绩最稳定，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
方差的意义；数据稳定性判断
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查方差的实际应用，只要掌握“方差越小数据越稳定”的性质，结合题目给出的数值对比即可快速解题，不易出错。
【难度系数】
0.9
拿到本题首先明确已知条件：四名学生4次数学测试的平均成绩相同，要求选出成绩最稳定的学生。判断数据稳定性的核心依据是方差的意义：方差是衡量一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定。因此只需比较四人的方差大小，找到方差最小的对象即可得到答案。
【解析】
解：方差是反映一组数据波动大小的统计量，当各组数据的平均数相同时，方差越小，数据的离散程度越小，对应的成绩越稳定。
已知四名学生的平均成绩均为110分，四人的方差满足：$s^{2}_{甲}=6 ＜ s^{2}_{乙}=24 ＜ s^{2}_{丙}=25.5 ＜ s^{2}_{丁}=36$，即甲的方差最小。
因此甲的数学成绩最稳定，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
方差的意义；数据稳定性判断
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查方差的实际应用，只要掌握“方差越小数据越稳定”的性质，结合题目给出的数值对比即可快速解题，不易出错。
【难度系数】
0.9
3. 已知一组数据的离差平方和为200，现有甲、乙两种分组，甲种分组的组内离差平方和为98，乙种分组的组间离差平方和为103. 根据“组内离差平方和最小”的分组原则，则这两种分组（
A.甲种分组比乙种分组好
B.乙种分组比甲种分组好
C.甲、乙两种分组一样好
D.甲、乙两种分组无法比较好坏
B
）A.甲种分组比乙种分组好
B.乙种分组比甲种分组好
C.甲、乙两种分组一样好
D.甲、乙两种分组无法比较好坏
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心依据：①总离差平方和、组内离差平方和、组间离差平方和三者的关系：总离差平方和=组内离差平方和+组间离差平方和；②题目给出的分组判断原则：组内离差平方和越小，分组效果越好。我们已知总离差平方和为200，甲的组内离差平方和直接给出，乙只给出组间离差平方和，所以第一步先通过三者的关系算出乙的组内离差平方和，再比较甲、乙的组内离差平方和大小，就能判断两种分组的优劣。
【解析】
根据离差平方和的关系：总离差平方和 = 组内离差平方和 + 组间离差平方和。
首先计算乙种分组的组内离差平方和：
乙组内离差平方和 = 总离差平方和 - 乙组间离差平方和 = 200 - 103 = 97
已知甲种分组的组内离差平方和为98，比较可得：97 ＜ 98
根据“组内离差平方和最小”的分组原则，组内离差平方和更小的乙种分组更好，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 离差平方和的关系
2. 数据分组原则
【点评】
本题侧重考查对基础统计概念的理解和应用，解题的关键是熟练掌握总离差平方和的拆分公式，结合给定的分组规则进行比较判断，只要理清三者的数量关系就能轻松求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两个核心依据：①总离差平方和、组内离差平方和、组间离差平方和三者的关系：总离差平方和=组内离差平方和+组间离差平方和；②题目给出的分组判断原则：组内离差平方和越小，分组效果越好。我们已知总离差平方和为200，甲的组内离差平方和直接给出，乙只给出组间离差平方和，所以第一步先通过三者的关系算出乙的组内离差平方和，再比较甲、乙的组内离差平方和大小，就能判断两种分组的优劣。
【解析】
根据离差平方和的关系：总离差平方和 = 组内离差平方和 + 组间离差平方和。
首先计算乙种分组的组内离差平方和：
乙组内离差平方和 = 总离差平方和 - 乙组间离差平方和 = 200 - 103 = 97
已知甲种分组的组内离差平方和为98，比较可得：97 ＜ 98
根据“组内离差平方和最小”的分组原则，组内离差平方和更小的乙种分组更好，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 离差平方和的关系
2. 数据分组原则
【点评】
本题侧重考查对基础统计概念的理解和应用，解题的关键是熟练掌握总离差平方和的拆分公式，结合给定的分组规则进行比较判断，只要理清三者的数量关系就能轻松求解。
【难度系数】
0.7
4.一组数据1,1,3,4,5,5,6,7的第25百分位数是
2
.答案
4.2
解析
【分析】
要计算一组数据的第p百分位数，按固定步骤思考即可：第一步先确认数据是否按从小到大排序（本题数据已排序）；第二步计算索引值$i=n× p\%$，其中$n$是数据总个数；第三步判断$i$是否为整数：若$i$不是整数，向上取整后对应位置的数就是第p百分位数；若$i$是整数，第p百分位数是第$i$个和第$i+1$个数据的平均值。本题先确定总数据个数，再计算$i$，按规则求值即可。
【解析】
解：已知数据已经按从小到大排列为：$1,1,3,4,5,5,6,7$，数据总个数$n=8$。
计算索引值：$i = n×25\% = 8×0.25 = 2$。
因为$i$是整数，所以第25百分位数为第2项和第3项数据的平均数，即：
$\frac{1+3}{2}=2$
【答案】
2
【知识点】
百分位数计算，统计数据处理
【点评】
本题考查百分位数的基础计算，核心是掌握百分位数的三步计算规则，计算前要先确认数据是否排序，再根据索引值的整数性选择对应计算方法即可。
【难度系数】
0.7
要计算一组数据的第p百分位数，按固定步骤思考即可：第一步先确认数据是否按从小到大排序（本题数据已排序）；第二步计算索引值$i=n× p\%$，其中$n$是数据总个数；第三步判断$i$是否为整数：若$i$不是整数，向上取整后对应位置的数就是第p百分位数；若$i$是整数，第p百分位数是第$i$个和第$i+1$个数据的平均值。本题先确定总数据个数，再计算$i$，按规则求值即可。
【解析】
解：已知数据已经按从小到大排列为：$1,1,3,4,5,5,6,7$，数据总个数$n=8$。
计算索引值：$i = n×25\% = 8×0.25 = 2$。
因为$i$是整数，所以第25百分位数为第2项和第3项数据的平均数，即：
$\frac{1+3}{2}=2$
【答案】
2
【知识点】
百分位数计算，统计数据处理
【点评】
本题考查百分位数的基础计算，核心是掌握百分位数的三步计算规则，计算前要先确认数据是否排序，再根据索引值的整数性选择对应计算方法即可。
【难度系数】
0.7
5. 已知一组数据 10,10,9,8,x 的平均数是 9,则 x 的值为
8
,这组数据的离差平方和是 4
.答案
5.8;4
解析
【分析】
解题分两步完成：第一步求x的值，根据平均数的定义，一组数据的平均数等于所有数据之和除以数据的总个数，已知这组数据共5个，平均数为9，先求出5个数的总和，再减去已知的4个数值即可得到x；第二步求离差平方和，离差平方和是每个数据与平均数的差的平方的和，在得到x和已知平均数是9的前提下，分别计算每个数据与9的差的平方，再相加即可得到结果。
【解析】
1. 求x的值：
根据平均数计算公式：$\mathrm{平均数}=\frac{\mathrm{数据总和}}{\mathrm{数据个数}}$，代入已知条件得：
$\frac{10+10+9+8+x}{5}=9$
两边同乘5得：$10+10+9+8+x=9×5=45$
计算已知数的和：$10+10+9+8=37$
因此$x=45-37=8$
2. 求离差平方和：
离差平方和为每个数据与平均数9的差的平方之和，代入数据计算：
$\begin{aligned}&(10-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(8-9)^2\\=&1^2+1^2+0^2+(-1)^2+(-1)^2\\=&1+1+0+1+1\\=&4\end{aligned}$
【答案】
8；4
【知识点】
1. 平均数的计算 2. 离差平方和的计算
【点评】
本题是统计部分的基础计算题，核心是牢记平均数和离差平方和的计算公式，计算过程难度较低，只要细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
解题分两步完成：第一步求x的值，根据平均数的定义，一组数据的平均数等于所有数据之和除以数据的总个数，已知这组数据共5个，平均数为9，先求出5个数的总和，再减去已知的4个数值即可得到x；第二步求离差平方和，离差平方和是每个数据与平均数的差的平方的和，在得到x和已知平均数是9的前提下，分别计算每个数据与9的差的平方，再相加即可得到结果。
【解析】
1. 求x的值：
根据平均数计算公式：$\mathrm{平均数}=\frac{\mathrm{数据总和}}{\mathrm{数据个数}}$，代入已知条件得：
$\frac{10+10+9+8+x}{5}=9$
两边同乘5得：$10+10+9+8+x=9×5=45$
计算已知数的和：$10+10+9+8=37$
因此$x=45-37=8$
2. 求离差平方和：
离差平方和为每个数据与平均数9的差的平方之和，代入数据计算：
$\begin{aligned}&(10-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(8-9)^2\\=&1^2+1^2+0^2+(-1)^2+(-1)^2\\=&1+1+0+1+1\\=&4\end{aligned}$
【答案】
8；4
【知识点】
1. 平均数的计算 2. 离差平方和的计算
【点评】
本题是统计部分的基础计算题，核心是牢记平均数和离差平方和的计算公式，计算过程难度较低，只要细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
6. 如图是射箭爱好者 A,B,C 在某次射箭测试中获得的成绩箱线图,请根据图象填空.(填“A”“B”或“C”)
(1)
(2)如果从这三个人中选择一个作为代表去参加比赛,选择
(1)
B
的成绩的中位数最小；(2)如果从这三个人中选择一个作为代表去参加比赛,选择
C
最有可能争夺奖杯.答案
6.(1)B (2)C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确箱线图的构成意义：箱线图中箱体中间的横线代表对应组数据的中位数，中位数可以反映一组数据的中等水平。
解决第(1)问时，我们只需分别找到A、B、C三人成绩的中位数，比较大小即可得出结果；第(2)问选择参赛代表，需要挑选整体成绩水平更高、高分更多的选手，对比三人箱线图呈现的成绩分布就能判断。
【解析】
(1) 观察箱线图可知：A的成绩中位数为8环，B的成绩中位数为7环，C的成绩中位数为9环。因为7＜8＜9，所以B的成绩的中位数最小。
(2) 对比三人的成绩分布：C的成绩中位数最高，且多数成绩集中在8~10环，整体成绩最优，争夺奖杯的可能性最大，因此选择C。
【答案】
(1)B (2)C
【知识点】
箱线图、中位数
【点评】
本题考查统计图表的实际应用，解题关键是掌握箱线图各部分的含义，会结合中位数判断数据的整体水平，属于统计板块的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确箱线图的构成意义：箱线图中箱体中间的横线代表对应组数据的中位数，中位数可以反映一组数据的中等水平。
解决第(1)问时，我们只需分别找到A、B、C三人成绩的中位数，比较大小即可得出结果；第(2)问选择参赛代表，需要挑选整体成绩水平更高、高分更多的选手，对比三人箱线图呈现的成绩分布就能判断。
【解析】
(1) 观察箱线图可知：A的成绩中位数为8环，B的成绩中位数为7环，C的成绩中位数为9环。因为7＜8＜9，所以B的成绩的中位数最小。
(2) 对比三人的成绩分布：C的成绩中位数最高，且多数成绩集中在8~10环，整体成绩最优，争夺奖杯的可能性最大，因此选择C。
【答案】
(1)B (2)C
【知识点】
箱线图、中位数
【点评】
本题考查统计图表的实际应用，解题关键是掌握箱线图各部分的含义，会结合中位数判断数据的整体水平，属于统计板块的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
7. [2025·合肥四十五中期末]某村种植户王大叔想了解甲、乙两种黄瓜的挂果情况，现从种植田中随机各抽5株黄瓜，挂果记录数据如下(单位:个):
甲:7,8,5,7,8;乙:8,7,6,8,6.
(1)分别求这两组数据的平均值;
(2)分别计算两组数据的方差，并估计哪种黄瓜挂果均匀、长势更好.
甲:7,8,5,7,8;乙:8,7,6,8,6.
(1)分别求这两组数据的平均值;
(2)分别计算两组数据的方差，并估计哪种黄瓜挂果均匀、长势更好.
答案
7.解:(1)$\overline{x}_甲=7,\overline{x}_乙=7$.
(2)$s^2_甲=1.2,s^2_乙=0.8$,由(1)知$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙$,且$s^2_甲＞s^2_乙$,$\therefore$乙种黄瓜挂果均匀、长势更好.
(2)$s^2_甲=1.2,s^2_乙=0.8$,由(1)知$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙$,且$s^2_甲＞s^2_乙$,$\therefore$乙种黄瓜挂果均匀、长势更好.
解析
【分析】
第(1)问求平均值，回忆算术平均数的计算方法：一组数据的平均数等于所有数据的和除以数据的总个数，分别将甲、乙两组的5个数据求和后除以5即可。第(2)问求方差，方差的计算是先求每个数据与本组平均数的差的平方，再求这些平方值的平均数；最后比较两组方差大小，在平均数相同的前提下，方差越小说明数据波动越小，挂果越均匀、长势越稳定。
【解析】
(1) 计算甲组数据的平均值：
$\overline{x}_甲=\frac{7+8+5+7+8}{5}=\frac{35}{5}=7$
计算乙组数据的平均值：
$\overline{x}_乙=\frac{8+7+6+8+6}{5}=\frac{35}{5}=7$
(2) 计算甲组数据的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{5}×[(7-7)^2+(8-7)^2+(5-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2]$
$=\frac{1}{5}×(0+1+4+0+1)=\frac{6}{5}=1.2$
计算乙组数据的方差：
$s^2_乙=\frac{1}{5}×[(8-7)^2+(7-7)^2+(6-7)^2+(8-7)^2+(6-7)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+0+1+1+1)=\frac{4}{5}=0.8$
由(1)可知$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙$，且$s^2_甲＞s^2_乙$，说明乙种黄瓜挂果数量波动更小，因此乙种黄瓜挂果均匀、长势更好。
【答案】
(1) $\overline{x}_甲=7$，$\overline{x}_乙=7$；
(2) $s^2_甲=1.2$，$s^2_乙=0.8$，乙种黄瓜挂果均匀、长势更好。
【知识点】
平均数计算，方差计算，方差的意义
【点评】
本题是统计基础应用题，考查平均数和方差的计算方法，以及利用方差判断数据稳定性的实际应用，熟练掌握相关计算公式是解题的核心。
【难度系数】
0.8
第(1)问求平均值，回忆算术平均数的计算方法：一组数据的平均数等于所有数据的和除以数据的总个数，分别将甲、乙两组的5个数据求和后除以5即可。第(2)问求方差，方差的计算是先求每个数据与本组平均数的差的平方，再求这些平方值的平均数；最后比较两组方差大小，在平均数相同的前提下，方差越小说明数据波动越小，挂果越均匀、长势越稳定。
【解析】
(1) 计算甲组数据的平均值：
$\overline{x}_甲=\frac{7+8+5+7+8}{5}=\frac{35}{5}=7$
计算乙组数据的平均值：
$\overline{x}_乙=\frac{8+7+6+8+6}{5}=\frac{35}{5}=7$
(2) 计算甲组数据的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{5}×[(7-7)^2+(8-7)^2+(5-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2]$
$=\frac{1}{5}×(0+1+4+0+1)=\frac{6}{5}=1.2$
计算乙组数据的方差：
$s^2_乙=\frac{1}{5}×[(8-7)^2+(7-7)^2+(6-7)^2+(8-7)^2+(6-7)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+0+1+1+1)=\frac{4}{5}=0.8$
由(1)可知$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙$，且$s^2_甲＞s^2_乙$，说明乙种黄瓜挂果数量波动更小，因此乙种黄瓜挂果均匀、长势更好。
【答案】
(1) $\overline{x}_甲=7$，$\overline{x}_乙=7$；
(2) $s^2_甲=1.2$，$s^2_乙=0.8$，乙种黄瓜挂果均匀、长势更好。
【知识点】
平均数计算，方差计算，方差的意义
【点评】
本题是统计基础应用题，考查平均数和方差的计算方法，以及利用方差判断数据稳定性的实际应用，熟练掌握相关计算公式是解题的核心。
【难度系数】
0.8
