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1. [2025·信阳一模]下列图形中具有稳定性的是 (
A.平行四边形
B.长方形
C.正方形
D.三角形
D
)A.平行四边形
B.长方形
C.正方形
D.三角形
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先回忆几何图形稳定性的相关性质：三角形是具有稳定性的多边形，所有四边形都具有不稳定性，容易发生变形。接下来逐个排查选项，排除属于四边形的选项，剩下的就是具有稳定性的图形。
【解析】
根据几何图形的性质可知：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。
对各选项逐一分析：
A. 平行四边形属于四边形，不具有稳定性，不符合要求；
B. 长方形属于四边形，不具有稳定性，不符合要求；
C. 正方形是特殊的四边形，不具有稳定性，不符合要求；
D. 三角形具有稳定性，符合要求。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形的稳定性、四边形的不稳定性
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要牢记三角形具有稳定性、四边形具有不稳定性的性质，就能快速判断出正确选项，得分率较高。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆几何图形稳定性的相关性质：三角形是具有稳定性的多边形，所有四边形都具有不稳定性，容易发生变形。接下来逐个排查选项，排除属于四边形的选项，剩下的就是具有稳定性的图形。
【解析】
根据几何图形的性质可知：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。
对各选项逐一分析：
A. 平行四边形属于四边形，不具有稳定性，不符合要求；
B. 长方形属于四边形，不具有稳定性，不符合要求；
C. 正方形是特殊的四边形，不具有稳定性，不符合要求；
D. 三角形具有稳定性，符合要求。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形的稳定性、四边形的不稳定性
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要牢记三角形具有稳定性、四边形具有不稳定性的性质，就能快速判断出正确选项，得分率较高。
【难度系数】
0.9
2. [2024·开封二模]将一副三角尺如图摆放,点 D 在 AC 上,延长 EA 交 CB 的延长线于点 F,$∠ABC=∠ADE=90°,∠C=30°,∠E=45°$,则$∠F$的度数是 （
A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
B
）A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先明确两个三角尺的已知角度，找到包含所求角∠F的三角形△AFC，已知∠C=30°，只需求出∠FAC的度数即可结合三角形内角和定理算出∠F。首先根据△ADE的内角和算出∠EAD的度数，再利用邻补角的性质得到∠FAC的度数，最后代入△AFC的内角和公式计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ ADE=90°$，$∠ E=45°$，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ EAD=180° - ∠ ADE - ∠ E=180° -90° -45°=45°$
因为点$F$、$A$、$E$共线，$∠ FAC$与$∠ EAD$是邻补角，所以：
$∠ FAC=180° - ∠ EAD=180° -45°=135°$
在$△ AFC$中，$∠ C=30°$，再次利用三角形内角和：
$∠ F=180° - ∠ FAC - ∠ C=180° -135° -30°=15°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；邻补角的性质；三角尺特殊角度
【点评】
本题结合三角尺的摆放考查角度计算，解题的关键是准确识别各角的位置关系，结合已学的角度性质计算，属于基础的角度计算类题型。
【难度系数】
0.8
解题时先明确两个三角尺的已知角度，找到包含所求角∠F的三角形△AFC，已知∠C=30°，只需求出∠FAC的度数即可结合三角形内角和定理算出∠F。首先根据△ADE的内角和算出∠EAD的度数，再利用邻补角的性质得到∠FAC的度数，最后代入△AFC的内角和公式计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ ADE=90°$，$∠ E=45°$，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ EAD=180° - ∠ ADE - ∠ E=180° -90° -45°=45°$
因为点$F$、$A$、$E$共线，$∠ FAC$与$∠ EAD$是邻补角，所以：
$∠ FAC=180° - ∠ EAD=180° -45°=135°$
在$△ AFC$中，$∠ C=30°$，再次利用三角形内角和：
$∠ F=180° - ∠ FAC - ∠ C=180° -135° -30°=15°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；邻补角的性质；三角尺特殊角度
【点评】
本题结合三角尺的摆放考查角度计算，解题的关键是准确识别各角的位置关系，结合已学的角度性质计算，属于基础的角度计算类题型。
【难度系数】
0.8
3. 如图,直线 $ l_1,l_2,l_3 $ 表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则供选择的地址有 (
A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
D
)A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
答案
3.D
解析
【分析】
要找到到三条相互交叉的公路距离相等的点，我们首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。因此到两条相交直线距离相等的点，一定在这两条直线所成角的角平分线上。我们需要找同时在三条直线两两所成角的角平分线上的交点：首先考虑三条直线围成的三角形内部，三个内角的角平分线会交于1个点，满足到三条直线距离相等；其次还要考虑三角形外部的情况，每两个外角的角平分线也会交于1个点，这类交点共有3个，同样满足到三条直线的距离相等，把两类交点数量相加就是总地址数。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
1. 三条直线两两相交围成三角形，其三个内角的角平分线交于1个点，该点到三条直线的距离相等，符合要求；
2. 三角形任意两个外角的角平分线相交，共形成3个交点，每个交点到三条直线的距离也相等，同样符合要求。
因此符合条件的地址总共有$1+3=4$处。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；相交线特征
【点评】
本题易错点是容易遗漏三角形外部的3个外角平分线交点，仅考虑内部的1个内角平分线交点从而错选A，解题时要全面考虑内角和外角的角平分线的所有交点情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要找到到三条相互交叉的公路距离相等的点，我们首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。因此到两条相交直线距离相等的点，一定在这两条直线所成角的角平分线上。我们需要找同时在三条直线两两所成角的角平分线上的交点：首先考虑三条直线围成的三角形内部，三个内角的角平分线会交于1个点，满足到三条直线距离相等；其次还要考虑三角形外部的情况，每两个外角的角平分线也会交于1个点，这类交点共有3个，同样满足到三条直线的距离相等，把两类交点数量相加就是总地址数。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
1. 三条直线两两相交围成三角形，其三个内角的角平分线交于1个点，该点到三条直线的距离相等，符合要求；
2. 三角形任意两个外角的角平分线相交，共形成3个交点，每个交点到三条直线的距离也相等，同样符合要求。
因此符合条件的地址总共有$1+3=4$处。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；相交线特征
【点评】
本题易错点是容易遗漏三角形外部的3个外角平分线交点，仅考虑内部的1个内角平分线交点从而错选A，解题时要全面考虑内角和外角的角平分线的所有交点情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
4. 甲地离学校4 km,乙地离学校1 km,记甲、乙两地之间的距离为d km,则d的取值为
(
A.3
B.5
C.3或5
D.$3≤ d≤ 5$
(
D
)A.3
B.5
C.3或5
D.$3≤ d≤ 5$
答案
4.D
解析
【分析】
解题时需考虑甲地、乙地、学校三点的位置关系，分两种情况讨论：①三点共线；②三点不共线。共线时可通过线段的和差计算出d的边界值，不共线时利用三角形三边关系得到d的取值范围，最后综合两种情况得到d的全部取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当甲地、学校、乙地三点在同一条直线上时：
①若甲、乙在学校的同侧，此时甲乙两地距离$d = 4 - 1 = 3\ \mathrm{km}$；
②若甲、乙在学校的两侧，此时甲乙两地距离$d = 4 + 1 = 5\ \mathrm{km}$。
2. 当甲地、学校、乙地三点不在同一条直线上时，三点可构成三角形，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，可得：
$4 - 1 ＜ d ＜ 4 + 1$，即$3 ＜ d ＜ 5$。
综合两种情况，d的取值范围是$3≤ d≤5$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系；线段和差计算；分类讨论
【点评】
本题容易只考虑三点共线的特殊情况错选C，解题时要全面分析三点的所有位置关系，结合几何性质综合判断取值范围，注意不要遗漏非共线的一般情况。
【难度系数】
0.7
解题时需考虑甲地、乙地、学校三点的位置关系，分两种情况讨论：①三点共线；②三点不共线。共线时可通过线段的和差计算出d的边界值，不共线时利用三角形三边关系得到d的取值范围，最后综合两种情况得到d的全部取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当甲地、学校、乙地三点在同一条直线上时：
①若甲、乙在学校的同侧，此时甲乙两地距离$d = 4 - 1 = 3\ \mathrm{km}$；
②若甲、乙在学校的两侧，此时甲乙两地距离$d = 4 + 1 = 5\ \mathrm{km}$。
2. 当甲地、学校、乙地三点不在同一条直线上时，三点可构成三角形，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，可得：
$4 - 1 ＜ d ＜ 4 + 1$，即$3 ＜ d ＜ 5$。
综合两种情况，d的取值范围是$3≤ d≤5$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系；线段和差计算；分类讨论
【点评】
本题容易只考虑三点共线的特殊情况错选C，解题时要全面分析三点的所有位置关系，结合几何性质综合判断取值范围，注意不要遗漏非共线的一般情况。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 用长度相等的火柴棒拼成如图所示的图形.
观察图形,然后填写下表:
1. 用长度相等的火柴棒拼成如图所示的图形.
观察图形,然后填写下表:
答案
1. 11 2n+1
解析
【分析】
这是一道图形规律探究题，解题时我们可以先数出前几个序号对应的图形火柴棒数量，再对比序号和火柴棒数量的对应关系，总结出通用规律，再用规律计算要求的数值即可。首先观察图形数出：第1个图形有3根火柴棒，第2个有5根，第3个有7根，第4个有9根，能发现每增加1个图形单元，火柴棒就多2根，由此可推导第n个图形的火柴棒数量表达式，再代入对应n值就能算出结果。
【解析】
先统计前几个图形的火柴棒数量：
第1个图形：火柴棒根数为$3 = 2×1 + 1$
第2个图形：火柴棒根数为$5 = 2×2 + 1$
第3个图形：火柴棒根数为$7 = 2×3 + 1$
第4个图形：火柴棒根数为$9 = 2×4 + 1$
由此可归纳出规律：第$n$个图形的火柴棒根数为$2n + 1$。
若填写第5个图形的火柴棒数量，代入$n=5$得：$2×5 +1 =11$。
【答案】
$11$；$2n+1$
【知识点】
图形规律探究；列代数式
【点评】
本题是规律探究类基础题型，核心是通过观察特殊个例的共同特征，归纳出通用的规律，能有效锻炼逻辑推理和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道图形规律探究题，解题时我们可以先数出前几个序号对应的图形火柴棒数量，再对比序号和火柴棒数量的对应关系，总结出通用规律，再用规律计算要求的数值即可。首先观察图形数出：第1个图形有3根火柴棒，第2个有5根，第3个有7根，第4个有9根，能发现每增加1个图形单元，火柴棒就多2根，由此可推导第n个图形的火柴棒数量表达式，再代入对应n值就能算出结果。
【解析】
先统计前几个图形的火柴棒数量：
第1个图形：火柴棒根数为$3 = 2×1 + 1$
第2个图形：火柴棒根数为$5 = 2×2 + 1$
第3个图形：火柴棒根数为$7 = 2×3 + 1$
第4个图形：火柴棒根数为$9 = 2×4 + 1$
由此可归纳出规律：第$n$个图形的火柴棒根数为$2n + 1$。
若填写第5个图形的火柴棒数量，代入$n=5$得：$2×5 +1 =11$。
【答案】
$11$；$2n+1$
【知识点】
图形规律探究；列代数式
【点评】
本题是规律探究类基础题型，核心是通过观察特殊个例的共同特征，归纳出通用的规律，能有效锻炼逻辑推理和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.7
2. 小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转$30°$，再沿直线前进10米后又向左转$30°$，照这样走下去，第一次回到出发地A点时共走了________米.
答案
2. 120
解析
【分析】
要解决这道题，首先梳理小亮的行走规律：每次行走的路程都是10米，每次左转的角度都是30°，当他第一次回到出发点A时，走过的路径恰好是一个各边相等、各外角相等的正多边形。我们可以利用多边形外角和的固定值，先算出这个正多边形的边数，再乘单段路程长度就能得到总路程。
【解析】
小亮第一次回到A点时，走过的路线是正多边形，该正多边形的边长为10米，每个外角的大小等于每次左转的角度30°。
因为任意多边形的外角和均为360°，所以该正多边形的边数为：
$360° ÷ 30° = 12$
总路程为边数乘单段路程长度：
$12 × 10 = 120$（米）
【答案】
120
【知识点】
多边形外角和定理；正多边形的性质
【点评】
本题结合生活行走场景考查几何知识的应用，解题的核心是能将实际行走路径转化为正多边形模型，明确左转角度对应多边形的外角，是几何知识生活化应用的典型题目。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先梳理小亮的行走规律：每次行走的路程都是10米，每次左转的角度都是30°，当他第一次回到出发点A时，走过的路径恰好是一个各边相等、各外角相等的正多边形。我们可以利用多边形外角和的固定值，先算出这个正多边形的边数，再乘单段路程长度就能得到总路程。
【解析】
小亮第一次回到A点时，走过的路线是正多边形，该正多边形的边长为10米，每个外角的大小等于每次左转的角度30°。
因为任意多边形的外角和均为360°，所以该正多边形的边数为：
$360° ÷ 30° = 12$
总路程为边数乘单段路程长度：
$12 × 10 = 120$（米）
【答案】
120
【知识点】
多边形外角和定理；正多边形的性质
【点评】
本题结合生活行走场景考查几何知识的应用，解题的核心是能将实际行走路径转化为正多边形模型，明确左转角度对应多边形的外角，是几何知识生活化应用的典型题目。
【难度系数】
0.7
