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3. 如图，D是AB边的中点，将△ABC沿过D的直线DE折叠，使点A落在BC上的F处，若∠B=50°，则∠BDF=
80
°.答案
3. 80
解析
【分析】
解决这道题的思路如下：第一步，先根据折叠的性质，得到折叠前后对应边相等，即AD=DF；第二步，结合D是AB中点的条件，可推出BD=DF，由此可知△BDF是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，得到∠BFD=∠B；第三步，利用三角形内角和为180°，即可计算出∠BDF的度数。
【解析】
∵△ABC沿过D的直线DE折叠，点A落在BC上的F处
∴AD=DF
∵D是AB边的中点
∴AD=BD
∴BD=DF
∴∠BFD=∠B=50°
在△BDF中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BDF=180°-∠B-∠BFD=180°-50°-50°=80°
【答案】
80
【知识点】
折叠的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是结合折叠性质和中点条件，推导出△BDF为等腰三角形，再结合三角形内角和即可求解，整体解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.7
解决这道题的思路如下：第一步，先根据折叠的性质，得到折叠前后对应边相等，即AD=DF；第二步，结合D是AB中点的条件，可推出BD=DF，由此可知△BDF是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，得到∠BFD=∠B；第三步，利用三角形内角和为180°，即可计算出∠BDF的度数。
【解析】
∵△ABC沿过D的直线DE折叠，点A落在BC上的F处
∴AD=DF
∵D是AB边的中点
∴AD=BD
∴BD=DF
∴∠BFD=∠B=50°
在△BDF中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BDF=180°-∠B-∠BFD=180°-50°-50°=80°
【答案】
80
【知识点】
折叠的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是结合折叠性质和中点条件，推导出△BDF为等腰三角形，再结合三角形内角和即可求解，整体解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 如图,已知$∠1=∠2,∠3=∠4,∠A=100^{\circ }$,求$x$的值.
1. 如图,已知$∠1=∠2,∠3=∠4,∠A=100^{\circ }$,求$x$的值.
答案
1. 140
解析
【分析】
解题时先利用三角形内角和定理，求出大△ABC中∠ABC与∠ACB的和；再结合已知∠1=∠2、∠3=∠4，可知∠2和∠4分别是∠ABC、∠ACB的一半，即可算出∠2+∠4的度数；最后在下方的小三角形中，再次利用三角形内角和定理就能求出x的值。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ ABC + ∠ ACB + ∠ A = 180°$
已知$∠ A=100°$，代入得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - 100° = 80°$
∵$∠1=∠2$，
∴$∠2=\frac{1}{2}∠ ABC$
∵$∠3=∠4$，
∴$∠4=\frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠2 + ∠4 = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×80°=40°$
在含$x°$的三角形中，根据三角形内角和为180°，得：
$x° + ∠2 + ∠4 = 180°$
∴$x=180-40=140$
【答案】
140
【知识点】
三角形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，通过整体计算∠ABC与∠ACB的和，再结合角的等分关系推导未知角的和，避免了单独求每个小角的繁琐，能很好地考查对三角形内角和的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先利用三角形内角和定理，求出大△ABC中∠ABC与∠ACB的和；再结合已知∠1=∠2、∠3=∠4，可知∠2和∠4分别是∠ABC、∠ACB的一半，即可算出∠2+∠4的度数；最后在下方的小三角形中，再次利用三角形内角和定理就能求出x的值。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ ABC + ∠ ACB + ∠ A = 180°$
已知$∠ A=100°$，代入得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - 100° = 80°$
∵$∠1=∠2$，
∴$∠2=\frac{1}{2}∠ ABC$
∵$∠3=∠4$，
∴$∠4=\frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠2 + ∠4 = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×80°=40°$
在含$x°$的三角形中，根据三角形内角和为180°，得：
$x° + ∠2 + ∠4 = 180°$
∴$x=180-40=140$
【答案】
140
【知识点】
三角形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，通过整体计算∠ABC与∠ACB的和，再结合角的等分关系推导未知角的和，避免了单独求每个小角的繁琐，能很好地考查对三角形内角和的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
2. 如图,已知在$△ ABC$中,$CE$平分$∠ ACB$,$BF ⊥ AC$,垂足为$F$,$CE$,$BF$相交于点$M$,若$∠ A=50°$,$∠ ACB=70°$,求$∠ BMC$,$∠ BEC$的度数.
答案
2. $∠BMC=125°, ∠BEC=85°.$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据CE是∠ACB的角平分线，可求出∠BCE和∠ACE的度数；再结合BF⊥AC得到直角，利用三角形内角和或邻补角的性质计算∠BMC；求∠BEC时，可利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，直接用已知的∠A和求出的∠ACE相加即可，也可先求出△ABC中∠ABC的度数，再在△BEC中用内角和计算。
【解析】
解：
1. 求∠BMC的度数：
∵ CE平分∠ACB，∠ACB=70°，
∴ ∠ACE=∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=35°。
∵ BF⊥AC，垂足为F，
∴ ∠CFM=90°。
在△CFM中，根据三角形内角和为180°，得：
∠CMF=180°-∠CFM-∠ACE=180°-90°-35°=55°。
又
∵ ∠BMC与∠CMF互为邻补角，
∴ ∠BMC=180°-∠CMF=180°-55°=125°。
2. 求∠BEC的度数：
∵ ∠BEC是△AEC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴ ∠BEC=∠A+∠ACE。
∵ ∠A=50°，∠ACE=35°，
∴ ∠BEC=50°+35°=85°。
【答案】
∠BMC=125°，∠BEC=85°
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题，解题的关键是梳理清楚角与角之间的位置关系，结合角平分线、垂直的性质，灵活选用内角和或外角性质简化计算过程。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先根据CE是∠ACB的角平分线，可求出∠BCE和∠ACE的度数；再结合BF⊥AC得到直角，利用三角形内角和或邻补角的性质计算∠BMC；求∠BEC时，可利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，直接用已知的∠A和求出的∠ACE相加即可，也可先求出△ABC中∠ABC的度数，再在△BEC中用内角和计算。
【解析】
解：
1. 求∠BMC的度数：
∵ CE平分∠ACB，∠ACB=70°，
∴ ∠ACE=∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=35°。
∵ BF⊥AC，垂足为F，
∴ ∠CFM=90°。
在△CFM中，根据三角形内角和为180°，得：
∠CMF=180°-∠CFM-∠ACE=180°-90°-35°=55°。
又
∵ ∠BMC与∠CMF互为邻补角，
∴ ∠BMC=180°-∠CMF=180°-55°=125°。
2. 求∠BEC的度数：
∵ ∠BEC是△AEC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴ ∠BEC=∠A+∠ACE。
∵ ∠A=50°，∠ACE=35°，
∴ ∠BEC=50°+35°=85°。
【答案】
∠BMC=125°，∠BEC=85°
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题，解题的关键是梳理清楚角与角之间的位置关系，结合角平分线、垂直的性质，灵活选用内角和或外角性质简化计算过程。
【难度系数】
0.8
四、趣味题
小明准备用 20 cm, 90 cm, 100 cm 的三根木条钉成三角形架,由于不小心,将100 cm 的一根折断了,怎么也钉不成三角形架,问:
(1)小明把最长的木条至少折去了多长?
(2)若最长的木条折去了 40 cm,你能通过截木条的办法,帮助小明钉成一个小三角形架吗?
小明准备用 20 cm, 90 cm, 100 cm 的三根木条钉成三角形架,由于不小心,将100 cm 的一根折断了,怎么也钉不成三角形架,问:
(1)小明把最长的木条至少折去了多长?
(2)若最长的木条折去了 40 cm,你能通过截木条的办法,帮助小明钉成一个小三角形架吗?
答案
(1)30 cm (2)略
解析
【分析】
本题考查三角形三边关系的实际应用，解题思路如下：
(1) 要解决最长木条至少折去多长的问题，先设折后剩余长度为x cm，先求出能构成三角形时x的取值范围，再反向推出不能构成三角形时x的最大值，即可算出最少折去的长度；
(2) 先算出折去40cm后三根木条的长度，再根据三边关系，通过截较长的90cm木条，列出不等式求出可截去的长度范围，给出符合要求的方案即可。
【解析】
(1) 设100cm的木条折去后剩余长度为x cm。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，要构成三角形需同时满足：
① 较短两边之和大于最长边：$20 + 90 ＞ x$，解得$x ＜ 110$；
② 另外两边之和大于第三边：$20 + x ＞ 90$，解得$x ＞ 70$；
结合x的实际取值：$x ≤ 100$，因此能构成三角形时x的范围为$70 ＜ x ≤ 100$。
现在钉不成三角形，说明$x ≤ 70$，那么折去的长度为$100 - x ≥ 100 - 70 = 30\ \mathrm{cm}$，即至少折去了30cm。
(2) 最长木条折去40cm后，剩余长度为$100 - 40 = 60\ \mathrm{cm}$，此时三根木条长度为20cm、60cm、90cm，因为$20 + 60 = 80 ＜ 90$，不满足三边关系，无法构成三角形。
设将90cm的木条截去y cm，剩余长度为$(90 - y)\ \mathrm{cm}$，要构成三角形需满足：
① $20 + 60 ＞ 90 - y$，解得$y ＞ 10$；
② $20 + (90 - y) ＞ 60$，解得$y ＜ 50$；
③ $60 + (90 - y) ＞ 20$，该式恒成立。
因此只要将90cm的木条截去长度在10cm到50cm之间的部分，就可以钉成三角形架，例如截去20cm，剩余70cm，三根木条为20cm、60cm、70cm，满足三角形三边关系。
【答案】
(1) $\boxed{30\ \mathrm{cm}}$
(2) 示例：将90 cm长的木条截去20 cm（截去长度大于10 cm且小于50 cm均可）
【知识点】
三角形三边关系，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活实际考查三角形三边关系的应用，解题核心是牢牢把握“三角形任意两边之和大于第三边”的判定规则，通过列不等式求解边长的可行范围即可解决问题，第二问属于开放性问题，只要符合三边关系要求均正确。
【难度系数】
0.7
本题考查三角形三边关系的实际应用，解题思路如下：
(1) 要解决最长木条至少折去多长的问题，先设折后剩余长度为x cm，先求出能构成三角形时x的取值范围，再反向推出不能构成三角形时x的最大值，即可算出最少折去的长度；
(2) 先算出折去40cm后三根木条的长度，再根据三边关系，通过截较长的90cm木条，列出不等式求出可截去的长度范围，给出符合要求的方案即可。
【解析】
(1) 设100cm的木条折去后剩余长度为x cm。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，要构成三角形需同时满足：
① 较短两边之和大于最长边：$20 + 90 ＞ x$，解得$x ＜ 110$；
② 另外两边之和大于第三边：$20 + x ＞ 90$，解得$x ＞ 70$；
结合x的实际取值：$x ≤ 100$，因此能构成三角形时x的范围为$70 ＜ x ≤ 100$。
现在钉不成三角形，说明$x ≤ 70$，那么折去的长度为$100 - x ≥ 100 - 70 = 30\ \mathrm{cm}$，即至少折去了30cm。
(2) 最长木条折去40cm后，剩余长度为$100 - 40 = 60\ \mathrm{cm}$，此时三根木条长度为20cm、60cm、90cm，因为$20 + 60 = 80 ＜ 90$，不满足三边关系，无法构成三角形。
设将90cm的木条截去y cm，剩余长度为$(90 - y)\ \mathrm{cm}$，要构成三角形需满足：
① $20 + 60 ＞ 90 - y$，解得$y ＞ 10$；
② $20 + (90 - y) ＞ 60$，解得$y ＜ 50$；
③ $60 + (90 - y) ＞ 20$，该式恒成立。
因此只要将90cm的木条截去长度在10cm到50cm之间的部分，就可以钉成三角形架，例如截去20cm，剩余70cm，三根木条为20cm、60cm、70cm，满足三角形三边关系。
【答案】
(1) $\boxed{30\ \mathrm{cm}}$
(2) 示例：将90 cm长的木条截去20 cm（截去长度大于10 cm且小于50 cm均可）
【知识点】
三角形三边关系，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活实际考查三角形三边关系的应用，解题核心是牢牢把握“三角形任意两边之和大于第三边”的判定规则，通过列不等式求解边长的可行范围即可解决问题，第二问属于开放性问题，只要符合三边关系要求均正确。
【难度系数】
0.7
