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一、选择题
1. [2025·南充]如图,把含有$60°$的直角三角尺斜边放在直线$l$上,则$∠α$的度数是
（
）
A.$120°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$150°$
1. [2025·南充]如图,把含有$60°$的直角三角尺斜边放在直线$l$上,则$∠α$的度数是
（
）A.$120°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$150°$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先回忆含60°角的直角三角尺的内角特点，它的三个内角分别是90°、60°、30°，先找到和∠α同处于直线l上的那个锐角的度数，再根据平角为180°的性质，两个角相加等于180°，就可以求出∠α的度数。
【解析】
首先，含60°角的直角三角尺的三个内角分别为90°、60°、30°，因此三角尺和直线l接触的较小锐角为30°。
因为三角尺的斜边在直线l上，∠α与这个30°的角组成平角，二者和为180°，因此：
$∠α = 180° - 30° = 150°$
【答案】
D
【知识点】
三角尺的角度特征；邻补角的性质；平角的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握三角尺的内角度数，结合平角的性质进行简单计算即可得到结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆含60°角的直角三角尺的内角特点，它的三个内角分别是90°、60°、30°，先找到和∠α同处于直线l上的那个锐角的度数，再根据平角为180°的性质，两个角相加等于180°，就可以求出∠α的度数。
【解析】
首先，含60°角的直角三角尺的三个内角分别为90°、60°、30°，因此三角尺和直线l接触的较小锐角为30°。
因为三角尺的斜边在直线l上，∠α与这个30°的角组成平角，二者和为180°，因此：
$∠α = 180° - 30° = 150°$
【答案】
D
【知识点】
三角尺的角度特征；邻补角的性质；平角的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握三角尺的内角度数，结合平角的性质进行简单计算即可得到结果。
【难度系数】
0.9
2. 如图,三角形被遮住的两个角不可能是 (
A.一个锐角,一个钝角
B.两个锐角
C.一个锐角,一个直角
D.两个钝角
D
)A.一个锐角,一个钝角
B.两个锐角
C.一个锐角,一个直角
D.两个钝角
答案
2.D
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察图形确定外露的角是锐角，再回忆三角形内角和为180°的定理，逐一判断每个选项中两个角的和加上外露锐角的总度数是否符合三角形内角和要求：如果两个角的和已经大于等于180°，那么加上外露的锐角总度数必然超过180°，不符合要求，反之则可能成立。
【解析】
解：首先观察图形，可知三角形露出的角是锐角（度数小于90°），根据三角形内角和为180°的定理分析各选项：
A. 一个锐角加一个钝角的和小于180°，加上外露的锐角可以凑成180°，存在这种可能，不符合题意；
B. 两个锐角的和小于180°，加上外露的锐角可以凑成180°，存在这种可能，不符合题意；
C. 一个锐角加一个直角的和小于180°，加上外露的锐角可以凑成180°，存在这种可能，不符合题意；
D. 每个钝角的度数都大于90°，两个钝角的和已经大于180°，再加上外露的锐角，总度数必然大于180°，不符合三角形内角和定理，不可能存在这种情况，符合题意。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，角的分类
【点评】
本题是基础类题型，核心考查三角形内角和定理的灵活应用，结合不同类型角的度数范围即可快速判断，解题关键是牢记三角形三个内角的和固定为180°。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先观察图形确定外露的角是锐角，再回忆三角形内角和为180°的定理，逐一判断每个选项中两个角的和加上外露锐角的总度数是否符合三角形内角和要求：如果两个角的和已经大于等于180°，那么加上外露的锐角总度数必然超过180°，不符合要求，反之则可能成立。
【解析】
解：首先观察图形，可知三角形露出的角是锐角（度数小于90°），根据三角形内角和为180°的定理分析各选项：
A. 一个锐角加一个钝角的和小于180°，加上外露的锐角可以凑成180°，存在这种可能，不符合题意；
B. 两个锐角的和小于180°，加上外露的锐角可以凑成180°，存在这种可能，不符合题意；
C. 一个锐角加一个直角的和小于180°，加上外露的锐角可以凑成180°，存在这种可能，不符合题意；
D. 每个钝角的度数都大于90°，两个钝角的和已经大于180°，再加上外露的锐角，总度数必然大于180°，不符合三角形内角和定理，不可能存在这种情况，符合题意。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，角的分类
【点评】
本题是基础类题型，核心考查三角形内角和定理的灵活应用，结合不同类型角的度数范围即可快速判断，解题关键是牢记三角形三个内角的和固定为180°。
【难度系数】
0.8
3. [2024·长沙]如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=60°$,$∠ B=50°$,$AD// BC$,则$∠ 1$的度数为
(
A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
(
C
)A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
答案
3.C
解析
【分析】
解题可按两步思考：第一步，先利用三角形内角和为180°的性质，结合已知的△ABC两个内角的度数，计算出∠C的度数；第二步，根据AD平行BC的条件，利用平行线内错角相等的性质，得出∠1与∠C相等，进而求出∠1的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠C = 180° - ∠BAC - ∠B = 180° - 60° - 50° = 70°
∵AD//BC
∴∠1 = ∠C（两直线平行，内错角相等）
∴∠1 = 70°
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理、平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查三角形内角和与平行线性质的综合运用，解题的关键是熟练掌握相关基本定理，找准平行线对应的内错角。
【难度系数】
0.8
解题可按两步思考：第一步，先利用三角形内角和为180°的性质，结合已知的△ABC两个内角的度数，计算出∠C的度数；第二步，根据AD平行BC的条件，利用平行线内错角相等的性质，得出∠1与∠C相等，进而求出∠1的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠C = 180° - ∠BAC - ∠B = 180° - 60° - 50° = 70°
∵AD//BC
∴∠1 = ∠C（两直线平行，内错角相等）
∴∠1 = 70°
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理、平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查三角形内角和与平行线性质的综合运用，解题的关键是熟练掌握相关基本定理，找准平行线对应的内错角。
【难度系数】
0.8
1. 在$△ ABC$中，$AD$为边$BC$上的高，$∠ ABC = 30°$，$∠ CAD = 20°$，则$∠ BAC$的度数是________.
答案
1.$80°$或$40°$
解析
【分析】
首先根据AD是BC边上的高，可得∠ADB=90°，在直角三角形ABD中利用直角三角形两锐角互余可求出∠BAD的度数。由于三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需要分两种情况讨论：当高AD在△ABC内部时，∠BAC为∠BAD与∠CAD的和；当高AD在△ABC外部时，∠BAC为∠BAD与∠CAD的差，分别计算即可得到结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当高AD在△ABC内部时：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD中，∠ABC=30°，根据直角三角形两锐角互余得：
∠BAD=90°-∠ABC=90°-30°=60°
已知∠CAD=20°，则∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°
2. 当高AD在△ABC外部（即△ABC为钝角三角形，∠ACB为钝角，点D在BC的延长线上）时：
同理可得∠BAD=60°
此时∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-20°=40°
综上，∠BAC的度数为80°或40°。
【答案】
80°或40°
【知识点】
三角形高的性质，直角三角形两锐角互余，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略高在三角形外部的情况，只得到80°这一个解，解题时要全面考虑三角形高的位置的两种可能性，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先根据AD是BC边上的高，可得∠ADB=90°，在直角三角形ABD中利用直角三角形两锐角互余可求出∠BAD的度数。由于三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需要分两种情况讨论：当高AD在△ABC内部时，∠BAC为∠BAD与∠CAD的和；当高AD在△ABC外部时，∠BAC为∠BAD与∠CAD的差，分别计算即可得到结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当高AD在△ABC内部时：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD中，∠ABC=30°，根据直角三角形两锐角互余得：
∠BAD=90°-∠ABC=90°-30°=60°
已知∠CAD=20°，则∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°
2. 当高AD在△ABC外部（即△ABC为钝角三角形，∠ACB为钝角，点D在BC的延长线上）时：
同理可得∠BAD=60°
此时∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-20°=40°
综上，∠BAC的度数为80°或40°。
【答案】
80°或40°
【知识点】
三角形高的性质，直角三角形两锐角互余，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略高在三角形外部的情况，只得到80°这一个解，解题时要全面考虑三角形高的位置的两种可能性，避免漏解。
【难度系数】
0.6
2. 如图是某广告公司为某商品设计的商品图案,若每个小正方形的面积都表示1,则阴影部分的面积为
3.5
.答案
2.3.5
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，我们可以把不规则的阴影拆分为已学的规则图形分别计算，再求和。已知每个小正方形面积为1，可推出小正方形边长为1。观察阴影可分为左侧小三角形和右侧平行四边形两部分，分别代入对应面积公式计算后相加，即可得到阴影总面积。
【解析】
解：
∵每个小正方形的面积为1，
∴小正方形的边长为1。
阴影部分可分为两部分计算：
1. 左侧小三角形：底为1，高为1，面积 = $\frac{1}{2}×底×高$ = $\frac{1}{2}×1×1=0.5$；
2. 右侧平行四边形：底为1，高为3，面积 = $底×高$ = $1×3=3$。
阴影部分总面积 = $0.5+3=3.5$。
【答案】
3.5
【知识点】
三角形面积计算，平行四边形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题考查不规则图形的面积求解，核心思路是将不规则图形转化为熟悉的规则图形，再代入对应公式计算，解题时要准确找到规则图形对应的底和高，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，我们可以把不规则的阴影拆分为已学的规则图形分别计算，再求和。已知每个小正方形面积为1，可推出小正方形边长为1。观察阴影可分为左侧小三角形和右侧平行四边形两部分，分别代入对应面积公式计算后相加，即可得到阴影总面积。
【解析】
解：
∵每个小正方形的面积为1，
∴小正方形的边长为1。
阴影部分可分为两部分计算：
1. 左侧小三角形：底为1，高为1，面积 = $\frac{1}{2}×底×高$ = $\frac{1}{2}×1×1=0.5$；
2. 右侧平行四边形：底为1，高为3，面积 = $底×高$ = $1×3=3$。
阴影部分总面积 = $0.5+3=3.5$。
【答案】
3.5
【知识点】
三角形面积计算，平行四边形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题考查不规则图形的面积求解，核心思路是将不规则图形转化为熟悉的规则图形，再代入对应公式计算，解题时要准确找到规则图形对应的底和高，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
