二、填空题
1. 如图,图中有个三角形,把它们用符号表示分别为.

1. 6 $△ ABC,△ ABD,△ ABE,△ ACD,△ ACE,△ ADE$

【分析】
要数图中三角形的个数，首先观察发现所有三角形都有公共顶点A，底边都在BE线段上，因此三角形的个数和BE上的线段数量是相等的。我们可以按照从左到右的顺序数BE上的线段，每一条线段对应一个以A为顶点、该线段为底的三角形，这样计数就不会重复也不会遗漏。
【解析】
第一步：观察图形特征，所有三角形共顶点A，底边均在直线BE上，BE上共有B、C、D、E四个点。
第二步：按顺序计数BE上的线段：
①单段小线段：BC、CD、DE，共3条；
②两段组成的线段：BD、CE，共2条；
③三段组成的线段：BE，共1条；
总线段数为3+2+1=6条，对应6个三角形。
第三步：逐一写出三角形的符号表示，分别为△ABC、△ABD、△ABE、△ACD、△ACE、△ADE。
【答案】
6；$△ ABC,△ ABD,△ ABE,△ ACD,△ ACE,△ ADE$
【知识点】
1.三角形的概念
2.有序计数法
【点评】
本题是几何计数的基础题型，核心是掌握有序计数的方法，通过固定公共顶点、转化为数底边上的线段的方式简化计数过程，避免出现重复或遗漏的错误。
【难度系数】
0.8

2. [2025·平顶山一模]三角形的三边长度数据如图,则x的取值范围为.

2.$-2＜x＜0$

【分析】
解题时首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。据此可以得到关于第三边3-2x的不等式组，再正确解这个一元一次不等式组，就能得到x的取值范围，注意解不等式时两边除以负数，不等号方向要改变。
【解析】
根据三角形三边关系，第三边的长度大于另外两边的差，小于另外两边的和。
已知三角形另外两边长为2和5，因此第三边3-2x满足：
5-2 ＜ 3-2x ＜ 5+2
即3 ＜ 3-2x ＜ 7解左侧不等式：3 ＜ 3-2x移项得：0 ＜ -2x两边同时除以-2，不等号方向改变，得：x ＜ 0解右侧不等式：3-2x ＜ 7移项得：-2x ＜ 4两边同时除以-2，不等号方向改变，得：x ＞ -2取两个解集的公共部分，可得x的取值范围是-2 ＜ x ＜ 0。【答案】-2＜x＜0
【知识点】
三角形三边关系；解一元一次不等式组
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形三边关系的应用，易错点是解含负数系数的不等式时忘记改变不等号的方向，掌握三边关系和不等式的解法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

3. 一个等腰三角形的周长为14 cm,且一边长为4 cm,则它的腰长为.

3. 5 cm 或 4 cm

【分析】
首先，等腰三角形的边分为腰和底边，题目中仅给出一边长为4cm，未明确该边是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论：①4cm为腰长；②4cm为底边长。其次，计算出对应边长后，需要用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，符合条件的结果才是正确答案。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若长为4cm的边是腰长：
则底边长 = 周长 - 2×腰长 = 14 - 2×4 = 6(cm)
此时三角形三边长为4cm、4cm、6cm，验证三边关系：4+4＞6，满足三角形三边关系，此时腰长为4cm。
2. 若长为4cm的边是底边长：
则腰长 = (周长 - 底边长)÷2 = (14 - 4)÷2 = 5(cm)
此时三角形三边长为5cm、5cm、4cm，验证三边关系：5+4＞5，满足三角形三边关系，此时腰长为5cm。
综上，腰长为5cm或4cm。
【答案】
5 cm 或 4 cm
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题考查等腰三角形边长计算，易错点是忽略分类讨论，或未用三边关系验证构成三角形的合理性，解题时需注意没有明确边的类型时要分类讨论，排除不符合三边关系的情况。
【难度系数】
0.7

4. 如下左图,在$△ ABC$中,$∠ BAC = 60°, ∠ B = 45°, AD$是$△ ABC$的一条角平分线,则$∠ DAC = \_\_\_\_\_\_°, ∠ ADB = \_\_\_\_\_\_°$.

4. 30 105

【分析】
首先求∠DAC：已知AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的定义，角平分线会将对应角分成两个相等的角，因此∠DAC是∠BAC的一半，代入∠BAC的度数即可直接计算。
再求∠ADB：∠ADB是△ABD的内角，我们已经得到∠BAD的度数（和∠DAC相等），又已知∠B的度数，根据三角形内角和为180°，用180°减去△ABD中另外两个内角的度数，即可求出∠ADB的度数。
【解析】
解：
1. 求∠DAC的度数
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°
∴$∠ DAC=∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$
2. 求∠ADB的度数
在△ABD中，∠B=45°，∠BAD=30°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ADB=180°-∠ B-∠ BAD=180°-45°-30°=105°$
【答案】
30；105
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，只要熟练掌握角平分线的性质和三角形内角和定理，就能快速得出结果，解题时注意角度计算不要出错即可。
【难度系数】
0.9

5. 如上右图，$∠ 1=∠ 2=30°$，$∠ 3=∠ 4$，$∠ A=80°$，则$x=$，$y=$。

5. 110 130

【分析】
解题思路如下：1. 首先运用三角形内角和定理，在△ABC中已知∠A的度数，先求出∠ABC与∠ACB的度数总和；2. 结合∠1=∠2=30°算出∠ABC的度数，进而求出∠ACB的度数，再根据∠3=∠4的条件算出∠3的度数；3. 求x时，找到x所在的三角形，利用三角形内角和，用180°减去该三角形另外两个已知内角的度数即可；求y时同理，找到y所在三角形的另外两个内角，用内角和计算即可。
【解析】
1. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 80° = 100°$
2. 已知$∠ 1=∠ 2=30°$，因此$∠ ABC = ∠1+∠2 = 30°+30°=60°$，代入上式得：
$∠ ACB = 100° - 60° = 40°$
3. 因为$∠3=∠4$，所以$∠3 = ∠4 = ∠ ACB ÷ 2 = 40°÷2=20°$
4. 求x：x所在三角形的两个内角为$∠2=30°$、$∠ ACB=40°$，因此：
$x=180° - 30° - 40° = 110°$
5. 求y：y所在三角形的两个内角为$∠2=30°$、$∠3=20°$，因此：
$y=180° - 30° - 20° = 130°$
【答案】
110；130
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，需要熟练掌握三角形内角和定理，结合角平分线的性质逐步推导未知角的度数，解题时注意理清各角之间的位置和数量关系即可。
【难度系数】
0.7

三、解答题
如图,将三角形纸片$ABC$的一个角折叠,点$C$落在点$C'$处,折痕为$EF$,若$∠A=80°,∠B=68°,∠C'FE=78°$.求$∠CEF$的度数.

$70°$

【分析】
要计算∠CEF的度数，首先可利用三角形内角和定理求出△ABC中∠C的度数；再根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，得到∠CFE与已知∠C'FE相等；最后在△CEF中再次运用三角形内角和定理即可求出∠CEF的度数。
【解析】
1. 计算△ABC中∠C的度数：
根据三角形内角和为180°，已知∠A=80°，∠B=68°，可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 80° - 68° = 32°$
2. 根据折叠的性质可知：
折叠前后对应角相等，因此$∠ CFE = ∠ C'FE = 78°$
3. 计算∠CEF的度数：
在△CEF中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ CEF = 180° - ∠ C - ∠ CFE = 180° - 32° - 78° = 70°$
【答案】
$70°$
【知识点】
三角形内角和定理；折叠的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是熟练掌握折叠前后对应角相等的性质，结合三角形内角和定理进行角的度数计算，这类题型是几何角度计算的常见考法。
【难度系数】
0.8