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1. 一个三角形的三个内角中 (
A.至少有一个钝角
B.至少有一个直角
C.最多有一个锐角
D.至少有两个锐角
D
)A.至少有一个钝角
B.至少有一个直角
C.最多有一个锐角
D.至少有两个锐角
答案
1.D
解析
【分析】
解题要用到三角形内角和为180°的核心定理，我们可以通过举反例排除错误选项，再验证正确选项的合理性：首先回忆不同类型三角形的内角特点，锐角三角形三个角都是锐角，直角三角形有1个直角2个锐角，钝角三角形有1个钝角2个锐角，再结合内角和定理逐一判断每个选项即可。
【解析】
已知三角形的三个内角和为180°，逐一分析选项：
A. 锐角三角形的三个内角都是锐角，没有钝角，因此“至少有一个钝角”的说法错误；
B. 锐角三角形、钝角三角形中都没有直角，因此“至少有一个直角”的说法错误；
C. 锐角三角形有3个锐角，因此“最多有一个锐角”的说法错误；
D. 假设三角形中锐角的个数少于2个，即只有0个或1个锐角，那么剩余的2个或3个角都≥90°，此时内角和会≥90°×2=180°：如果有2个角≥90°，第三个角只能≤0°，不符合三角形内角的定义；如果有3个角≥90°，内角和远超180°，这种情况不可能存在。因此三角形至少有两个锐角，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题考查三角形内角相关的基础性质，解题时可结合内角和定理，通过举反例快速排除错误选项，是对基础概念应用能力的考查，熟练掌握不同类型三角形的内角特点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题要用到三角形内角和为180°的核心定理，我们可以通过举反例排除错误选项，再验证正确选项的合理性：首先回忆不同类型三角形的内角特点，锐角三角形三个角都是锐角，直角三角形有1个直角2个锐角，钝角三角形有1个钝角2个锐角，再结合内角和定理逐一判断每个选项即可。
【解析】
已知三角形的三个内角和为180°，逐一分析选项：
A. 锐角三角形的三个内角都是锐角，没有钝角，因此“至少有一个钝角”的说法错误；
B. 锐角三角形、钝角三角形中都没有直角，因此“至少有一个直角”的说法错误；
C. 锐角三角形有3个锐角，因此“最多有一个锐角”的说法错误；
D. 假设三角形中锐角的个数少于2个，即只有0个或1个锐角，那么剩余的2个或3个角都≥90°，此时内角和会≥90°×2=180°：如果有2个角≥90°，第三个角只能≤0°，不符合三角形内角的定义；如果有3个角≥90°，内角和远超180°，这种情况不可能存在。因此三角形至少有两个锐角，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题考查三角形内角相关的基础性质，解题时可结合内角和定理，通过举反例快速排除错误选项，是对基础概念应用能力的考查，熟练掌握不同类型三角形的内角特点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是 （
A.3,4,8
B.5,6,11
C.1,2,3
D.5,6,10
D
）A.3,4,8
B.5,6,11
C.1,2,3
D.5,6,10
答案
2.D
解析
【分析】
要判断三条线段能否组成三角形，依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们只需找出三条线段里较短的两条，计算它们的和，再和最长的线段对比：如果较短两边的和大于最长边，就能组成三角形，反之则不能，接下来逐个验证选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，用简便方法逐一判断：
A. 三条线段长3、4、8，较短两边为3和4，$3+4=7＜8$，不满足三边关系，不能组成三角形；
B. 三条线段长5、6、11，较短两边为5和6，$5+6=11$，两边之和等于第三边，不满足要求，不能组成三角形；
C. 三条线段长1、2、3，较短两边为1和2，$1+2=3$，两边之和等于第三边，不满足要求，不能组成三角形；
D. 三条线段长5、6、10，较短两边为5和6，$5+6=11＞10$，满足三边关系，可以组成三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形部分的基础常考题，核心考查三边关系的应用，掌握“较短两边之和大于最长边即可构成三角形”的判断技巧，能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要判断三条线段能否组成三角形，依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们只需找出三条线段里较短的两条，计算它们的和，再和最长的线段对比：如果较短两边的和大于最长边，就能组成三角形，反之则不能，接下来逐个验证选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，用简便方法逐一判断：
A. 三条线段长3、4、8，较短两边为3和4，$3+4=7＜8$，不满足三边关系，不能组成三角形；
B. 三条线段长5、6、11，较短两边为5和6，$5+6=11$，两边之和等于第三边，不满足要求，不能组成三角形；
C. 三条线段长1、2、3，较短两边为1和2，$1+2=3$，两边之和等于第三边，不满足要求，不能组成三角形；
D. 三条线段长5、6、10，较短两边为5和6，$5+6=11＞10$，满足三边关系，可以组成三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形部分的基础常考题，核心考查三边关系的应用，掌握“较短两边之和大于最长边即可构成三角形”的判断技巧，能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
3. [2024·开封一模]如下左图,直线$a// b$,$∠ 2=31°$,$∠ A=28°$,则$∠ 1$的度数是
(
A.$61°$
B.$60°$
C.$59°$
D.$58°$
(
C
)A.$61°$
B.$60°$
C.$59°$
D.$58°$
答案
3.C
解析
【分析】
要求∠1的度数，已知直线a//b，可先找∠1的同位角∠ABD，求出∠ABD的度数即可得到∠1的度数。观察发现∠ABD是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合已知的∠A和∠2的度数，可先算出∠ABD的度数，再利用平行线的性质得到∠1的度数。
【解析】
在△ABD中，∠ABD是三角形的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ ABD = ∠ A + ∠ 2$
代入$∠ A=28°$，$∠ 2=31°$，计算得：
$∠ ABD=28°+31°=59°$
∵直线$a//b$，∠1和∠ABD是同位角，根据两直线平行，同位角相等，
∴$∠ 1=∠ ABD=59°$
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是通过三角形外角性质搭建已知角和待求角之间的桥梁，再结合平行线的性质求解，熟练掌握基础几何性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
要求∠1的度数，已知直线a//b，可先找∠1的同位角∠ABD，求出∠ABD的度数即可得到∠1的度数。观察发现∠ABD是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合已知的∠A和∠2的度数，可先算出∠ABD的度数，再利用平行线的性质得到∠1的度数。
【解析】
在△ABD中，∠ABD是三角形的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ ABD = ∠ A + ∠ 2$
代入$∠ A=28°$，$∠ 2=31°$，计算得：
$∠ ABD=28°+31°=59°$
∵直线$a//b$，∠1和∠ABD是同位角，根据两直线平行，同位角相等，
∴$∠ 1=∠ ABD=59°$
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是通过三角形外角性质搭建已知角和待求角之间的桥梁，再结合平行线的性质求解，熟练掌握基础几何性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
4. 如上中图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD$是$AB$边上的高,那么图中与$∠ A$相等的角是（
A.$∠ B$
B.$∠ ACD$
C.$∠ BCD$
D.$∠ BDC$
C
）A.$∠ B$
B.$∠ ACD$
C.$∠ BCD$
D.$∠ BDC$
答案
4.C
解析
【分析】
解题时可利用直角三角形两锐角互余的性质推导角的关系：第一步先分析Rt△ABC的内角关系，得到与∠A互余的角；第二步分析高CD形成的Rt△BCD的内角关系，得到和同一个角互余的另一个角；第三步根据“同角的余角相等”即可确定和∠A相等的角。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A + ∠B = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
∵CD是AB边上的高，
∴∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠BCD + ∠B = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
根据“同角的余角相等”，可得∠A = ∠BCD。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题主要考查直角三角形的性质和余角的性质，借助公共角∠B作为中间量推导角的等量关系是解题的核心，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时可利用直角三角形两锐角互余的性质推导角的关系：第一步先分析Rt△ABC的内角关系，得到与∠A互余的角；第二步分析高CD形成的Rt△BCD的内角关系，得到和同一个角互余的另一个角；第三步根据“同角的余角相等”即可确定和∠A相等的角。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A + ∠B = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
∵CD是AB边上的高，
∴∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠BCD + ∠B = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
根据“同角的余角相等”，可得∠A = ∠BCD。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题主要考查直角三角形的性质和余角的性质，借助公共角∠B作为中间量推导角的等量关系是解题的核心，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 如上右图,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC$,且与$BC$相交于点$D$,$∠ B=40°$,$∠ BAD=30°$,则$∠ C$的度数是 （
A.$70°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$110°$
B
）A.$70°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$110°$
答案
5.B
解析
【分析】解题时首先利用角平分线的定义，由已知的∠BAD的度数求出∠BAC的总度数，再结合三角形内角和为180°的性质，用内角和减去已知的∠B和求出的∠BAC的度数，即可得到∠C的度数。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，∠BAD=30°，
∴∠BAC=2∠BAD=2×30°=60°，
∵三角形内角和为180°，即∠B+∠BAC+∠C=180°，
又
∵∠B=40°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-60°=80°。
【答案】B
【知识点】角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握角平分线的定义和三角形内角和定理，结合已知条件逐步计算即可得出结果。
【难度系数】0.9
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，∠BAD=30°，
∴∠BAC=2∠BAD=2×30°=60°，
∵三角形内角和为180°，即∠B+∠BAC+∠C=180°，
又
∵∠B=40°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-60°=80°。
【答案】B
【知识点】角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握角平分线的定义和三角形内角和定理，结合已知条件逐步计算即可得出结果。
【难度系数】0.9
