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7. [2025·合肥瑶海区期末]如图,在$△ ABC$中,AD是$∠ BAC$的平分线,$AB=14\ \mathrm{cm}$,$AC=10\ \mathrm{cm}$,则$\dfrac{CD}{BD}=$
$\dfrac{5}{7}$
.答案
7.$\frac{5}{7}$
解析
【分析】
要求$\dfrac{CD}{BD}$的比值，可通过三角形面积的等量关系推导：①AD是$∠ BAC$的角平分线，根据角平分线的性质，点D到AB、AC的距离相等，此时$△ ABD$和$△ ACD$的面积比等于底AB与AC的比；②$△ ABD$和$△ ACD$以BD、CD为底时，高均为点A到BC的垂线段长度，因此面积比也等于$BD:CD$，联立两个面积比即可求出所求线段的比值。
【解析】
过点D作$DE⊥ AB$于点E，$DF⊥ AC$于点F。
$\because$ AD是$∠ BAC$的平分线，根据角平分线的性质，得$DE=DF$。
由三角形面积公式可得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· AB· DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}· AC· DF$，
$\therefore \frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{\frac{1}{2}· AB· DE}{\frac{1}{2}· AC· DF}=\frac{AB}{AC}=\frac{14}{10}=\frac{7}{5}$。
又$\because$ $△ ABD$和$△ ACD$以BD、CD为底时，高均为点A到BC的距离$h$，
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· BD· h$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}· CD· h$，
$\therefore \frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{\frac{1}{2}· BD· h}{\frac{1}{2}· CD· h}=\frac{BD}{CD}$。
联立得$\frac{BD}{CD}=\frac{7}{5}$，因此$\frac{CD}{BD}=\frac{5}{7}$。
【答案】
$\dfrac{5}{7}$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；比例的性质
【点评】
本题通过面积法将线段比值问题转化为三角形面积比的问题，巧妙结合角平分线的性质与同高三角形面积比等于对应底的比的规律求解，是几何中求解线段比值的典型方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
要求$\dfrac{CD}{BD}$的比值，可通过三角形面积的等量关系推导：①AD是$∠ BAC$的角平分线，根据角平分线的性质，点D到AB、AC的距离相等，此时$△ ABD$和$△ ACD$的面积比等于底AB与AC的比；②$△ ABD$和$△ ACD$以BD、CD为底时，高均为点A到BC的垂线段长度，因此面积比也等于$BD:CD$，联立两个面积比即可求出所求线段的比值。
【解析】
过点D作$DE⊥ AB$于点E，$DF⊥ AC$于点F。
$\because$ AD是$∠ BAC$的平分线，根据角平分线的性质，得$DE=DF$。
由三角形面积公式可得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· AB· DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}· AC· DF$，
$\therefore \frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{\frac{1}{2}· AB· DE}{\frac{1}{2}· AC· DF}=\frac{AB}{AC}=\frac{14}{10}=\frac{7}{5}$。
又$\because$ $△ ABD$和$△ ACD$以BD、CD为底时，高均为点A到BC的距离$h$，
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· BD· h$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}· CD· h$，
$\therefore \frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{\frac{1}{2}· BD· h}{\frac{1}{2}· CD· h}=\frac{BD}{CD}$。
联立得$\frac{BD}{CD}=\frac{7}{5}$，因此$\frac{CD}{BD}=\frac{5}{7}$。
【答案】
$\dfrac{5}{7}$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；比例的性质
【点评】
本题通过面积法将线段比值问题转化为三角形面积比的问题，巧妙结合角平分线的性质与同高三角形面积比等于对应底的比的规律求解，是几何中求解线段比值的典型方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
8. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 $40°$，求这个等腰三角形底角的度数.
答案
8.解:在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,BD 为腰 AC 上的高,∠ABD=40°. 分两种情况讨论:①若∠BAC＜90°,如图1所示.
∵BD⊥AC,
∴∠BAC+∠ABD=90°.
∵∠ABD=40°,
∴∠BAC=90°-40°=50°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$. ②若∠BAC＞90°,如图2所示. 同①可得∠DAB=90°-40°=50°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}∠DAB=25°$. 综上所述,这个等腰三角形底角的度数为 65°或 25°.
解析
【分析】
遇到等腰三角形与腰上的高相关的问题时，首先要考虑高的位置存在两种可能：当等腰三角形顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部；当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部，因此本题需要分类讨论。解题时先利用直角三角形两锐角互余求出顶角（或顶角的外角）的度数，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算底角的度数，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
设等腰三角形ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高，∠ABD=40°，分两种情况讨论：
①若∠BAC＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∵∠ABD=40°，
∴∠BAC=90°-40°=50°，
∵AB=AC，
∴底角∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$。
②若∠BAC＞90°，如图2所示：
同①可得∠DAB=90°-40°=50°，
∵AB=AC，∠DAB是等腰△ABC顶角的外角，等于两个底角的和，
∴底角∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}∠DAB=25°$。
【答案】
这个等腰三角形底角的度数为65°或25°。
【知识点】
等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时容易忽略顶角为钝角时腰上的高在三角形外部的情况，导致漏解，求解此类问题时要结合图形分析所有可能的情况，保证答案的完整性。
【难度系数】
0.6
遇到等腰三角形与腰上的高相关的问题时，首先要考虑高的位置存在两种可能：当等腰三角形顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部；当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部，因此本题需要分类讨论。解题时先利用直角三角形两锐角互余求出顶角（或顶角的外角）的度数，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算底角的度数，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
设等腰三角形ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高，∠ABD=40°，分两种情况讨论：
①若∠BAC＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∵∠ABD=40°，
∴∠BAC=90°-40°=50°，
∵AB=AC，
∴底角∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$。
②若∠BAC＞90°，如图2所示：
同①可得∠DAB=90°-40°=50°，
∵AB=AC，∠DAB是等腰△ABC顶角的外角，等于两个底角的和，
∴底角∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}∠DAB=25°$。
【答案】
这个等腰三角形底角的度数为65°或25°。
【知识点】
等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时容易忽略顶角为钝角时腰上的高在三角形外部的情况，导致漏解，求解此类问题时要结合图形分析所有可能的情况，保证答案的完整性。
【难度系数】
0.6
9. 如图,在$△ ABC$中,E是AB边上一点,$BE=CE$,$AD ⊥ BC$于点D,AD与EC相交于点G.若$∠ AGE=55°$,则下列各式一定正确的是
(
A.$DG=DC$
B.$AG=CG$
C.$AG=EG$
D.$AE=EG$
(
D
)A.$DG=DC$
B.$AG=CG$
C.$AG=EG$
D.$AE=EG$
答案
9.D
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到∠B=∠BCE；再结合AD⊥BC的垂直条件，根据直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质，逐步推导角的数量关系；最后通过判断△AEG中两角相等，利用“等角对等边”得到对应边的关系，进而判断选项。
【解析】
解：
1. 由$BE=CE$，根据等边对等角可得：$∠ B=∠ ECB$。
2. 由$AD⊥ BC$，根据垂直的定义可得：$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
3. $∠ AGE$与$∠ DGC$是对顶角，根据对顶角相等可得：$∠ DGC=∠ AGE=55°$。
4. 在$Rt△ GDC$中，直角三角形两锐角互余，因此$∠ ECB=90°-∠ DGC=90°-55°=35°$，结合$∠ B=∠ ECB$可得$∠ B=35°$。
5. 在$Rt△ ABD$中，直角三角形两锐角互余，因此$∠ BAD=90°-∠ B=90°-35°=55°$。
6. 此时$∠ EAG=∠ AGE=55°$，根据等角对等边可得：$AE=EG$。
逐一验证其余选项：没有已知条件可证明$DG=DC$、$AG=CG$、$AG=EG$，故A、B、C错误，D正确。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题属于基础几何推导题，解题核心是通过角的转化找到同一个三角形中相等的内角，解题时要注意结合图形梳理角与角之间的位置、数量关系，熟练运用等腰三角形和直角三角形的性质。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到∠B=∠BCE；再结合AD⊥BC的垂直条件，根据直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质，逐步推导角的数量关系；最后通过判断△AEG中两角相等，利用“等角对等边”得到对应边的关系，进而判断选项。
【解析】
解：
1. 由$BE=CE$，根据等边对等角可得：$∠ B=∠ ECB$。
2. 由$AD⊥ BC$，根据垂直的定义可得：$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
3. $∠ AGE$与$∠ DGC$是对顶角，根据对顶角相等可得：$∠ DGC=∠ AGE=55°$。
4. 在$Rt△ GDC$中，直角三角形两锐角互余，因此$∠ ECB=90°-∠ DGC=90°-55°=35°$，结合$∠ B=∠ ECB$可得$∠ B=35°$。
5. 在$Rt△ ABD$中，直角三角形两锐角互余，因此$∠ BAD=90°-∠ B=90°-35°=55°$。
6. 此时$∠ EAG=∠ AGE=55°$，根据等角对等边可得：$AE=EG$。
逐一验证其余选项：没有已知条件可证明$DG=DC$、$AG=CG$、$AG=EG$，故A、B、C错误，D正确。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题属于基础几何推导题，解题核心是通过角的转化找到同一个三角形中相等的内角，解题时要注意结合图形梳理角与角之间的位置、数量关系，熟练运用等腰三角形和直角三角形的性质。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在等边三角形 $ABC$ 中,$AB=4$,点 $P$ 在边 $AB$ 上,$PD ⊥ BC$ 于点 $D$,$DE ⊥ AC$ 于点 $E$.设 $PA=x$,则 $AE$ 的长为 ______.(用含 $x$ 的式子表示)
答案
10.$3-\frac{1}{4}x$
解析
【分析】
本题是等边三角形与含30°角的直角三角形结合的线段计算问题，解题思路如下：首先利用等边三角形的性质得到各边长、各角度数；再结合已知的垂直关系，得到两个含30°角的直角三角形，根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，依次求出BD、CD、CE的长度；最后利用AE=AC-CE代入化简，即可得到用x表示的AE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，$AB=4$
∴$AB=BC=AC=4$，$∠ B=∠ C=60°$
∵$PA=x$
∴$BP=AB-PA=4-x$
∵$PD⊥ BC$，即$∠ PDB=90°$
∴$∠ BPD=90°-∠ B=30°$
∴$BD=\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(4-x)=2-\frac{1}{2}x$
∴$CD=BC-BD=4-(2-\frac{1}{2}x)=2+\frac{1}{2}x$
∵$DE⊥ AC$，即$∠ DEC=90°$
∴$∠ CDE=90°-∠ C=30°$
∴$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}(2+\frac{1}{2}x)=1+\frac{1}{4}x$
∴$AE=AC-CE=4-(1+\frac{1}{4}x)=3-\frac{1}{4}x$
【答案】
$3-\frac{1}{4}x$
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是熟练掌握特殊三角形的性质，理清各线段之间的数量关系，逐步推导即可得到结果，是三角形章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
本题是等边三角形与含30°角的直角三角形结合的线段计算问题，解题思路如下：首先利用等边三角形的性质得到各边长、各角度数；再结合已知的垂直关系，得到两个含30°角的直角三角形，根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，依次求出BD、CD、CE的长度；最后利用AE=AC-CE代入化简，即可得到用x表示的AE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，$AB=4$
∴$AB=BC=AC=4$，$∠ B=∠ C=60°$
∵$PA=x$
∴$BP=AB-PA=4-x$
∵$PD⊥ BC$，即$∠ PDB=90°$
∴$∠ BPD=90°-∠ B=30°$
∴$BD=\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(4-x)=2-\frac{1}{2}x$
∴$CD=BC-BD=4-(2-\frac{1}{2}x)=2+\frac{1}{2}x$
∵$DE⊥ AC$，即$∠ DEC=90°$
∴$∠ CDE=90°-∠ C=30°$
∴$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}(2+\frac{1}{2}x)=1+\frac{1}{4}x$
∴$AE=AC-CE=4-(1+\frac{1}{4}x)=3-\frac{1}{4}x$
【答案】
$3-\frac{1}{4}x$
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是熟练掌握特殊三角形的性质，理清各线段之间的数量关系，逐步推导即可得到结果，是三角形章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
11.某勘测队计划修一条从 C 到铁路AB 的最短公路l,并在 l 上建一个维修站 D,使 D 到 A,C 的距离相等,请你在图中标出 l 和 D.(要求:利用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
答案
11.解:如图所示.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要结合两个几何性质思考：①点到直线的所有连线中，垂线段最短，因此从C到AB的最短公路l是过点C作AB的垂线；②到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此满足到A、C距离相等的点D在AC的垂直平分线上。只需作出上述的垂线和垂直平分线，二者的交点即为点D，即可完成作图。
【解析】
1. 作最短公路l：利用尺规过点C作直线AB的垂线，这条垂线就是l，符合C到AB的距离最短的要求；
2. 确定点D：利用尺规作线段AC的垂直平分线，该垂直平分线与l的交点即为D，此时D在AC的垂直平分线上，满足DA=DC的要求，作图保留相应痕迹即可。
【答案】
如图所示.
【知识点】
垂线段的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题是尺规作图在实际场景中的应用，需要结合几何性质确定作图的思路，考查了对基本几何性质的理解和基本尺规作图方法的掌握。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要结合两个几何性质思考：①点到直线的所有连线中，垂线段最短，因此从C到AB的最短公路l是过点C作AB的垂线；②到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此满足到A、C距离相等的点D在AC的垂直平分线上。只需作出上述的垂线和垂直平分线，二者的交点即为点D，即可完成作图。
【解析】
1. 作最短公路l：利用尺规过点C作直线AB的垂线，这条垂线就是l，符合C到AB的距离最短的要求；
2. 确定点D：利用尺规作线段AC的垂直平分线，该垂直平分线与l的交点即为D，此时D在AC的垂直平分线上，满足DA=DC的要求，作图保留相应痕迹即可。
【答案】
如图所示.
【知识点】
垂线段的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题是尺规作图在实际场景中的应用，需要结合几何性质确定作图的思路，考查了对基本几何性质的理解和基本尺规作图方法的掌握。
【难度系数】
0.7
