12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ACB＞60°,在AC边上取点D,连接BD,使BD=BC.以AD为一边作等边三角形ADE,且使点E与点B位于直线AC的同侧,∠EAB=2∠BAC.
(1)求∠BDE的度数;
(2)若点F在AB上,连接DF,DF=BD,请判断△BDF是不是等边三角形,并说明理由.

12.解:(1)在等边三角形 ADE 中,∠EAC=∠ADE=60°.
∵∠EAB=2∠BAC,
∴∠BAC=20°.
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=80°.
∵BD=BC,
∴∠BDC=∠ACB=80°,
∴∠BDE=180°-∠BDC-∠ADE=40°.
(2)△BDF 是等边三角形. 理由:由(1)可得∠BDC=∠ACB=80°,
∴∠CBD=180°-∠BDC-∠ACB=20°
∵∠ABC=80°,
∴∠FBD=∠ABC-∠CBD=60°.
∵DF=BD,
∴△BDF 是等边三角形.

【分析】
(1) 要求∠BDE的度数，首先利用等边三角形的性质得到∠ADE=60°，再结合∠EAB=2∠BAC以及∠EAD=∠EAB+∠BAC求出∠BAC的度数；接着根据等腰三角形AB=AC的性质求出底角∠ACB的度数，再由BD=BC得到∠BDC=∠ACB；最后根据平角为180°，用180°减去∠ADE和∠BDC的度数即可得到∠BDE的度数。
(2) 要判断△BDF是否为等边三角形，已知DF=BD，即△BDF是等腰三角形，只需证明它有一个内角为60°即可。先利用三角形内角和定理求出∠CBD的度数，再结合∠ABC的度数求出∠FBD的度数，若∠FBD=60°，即可根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”完成判定。
【解析】
(1)
∵△ADE是等边三角形，
∴∠EAD=∠ADE=60°，
∵∠EAD=∠EAB+∠BAC，且∠EAB=2∠BAC，
∴2∠BAC+∠BAC=60°，解得∠BAC=20°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{180°-∠ BAC}{2}$=$\frac{180°-20°}{2}$=80°，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠ACB=80°，
∴∠BDE=180°-∠BDC-∠ADE=180°-80°-60°=40°。
(2) △BDF是等边三角形，理由如下：
由(1)可得∠BDC=∠ACB=80°，
在△BDC中，∠CBD=180°-∠BDC-∠ACB=180°-80°-80°=20°，
∵∠ABC=80°，
∴∠FBD=∠ABC-∠CBD=80°-20°=60°，
又
∵DF=BD，
∴△BDF是有一个内角为60°的等腰三角形，即△BDF是等边三角形。
【答案】
(1)∠BDE的度数为40°；
(2)△BDF是等边三角形，理由见解析。
【知识点】
等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形基础综合题，解题核心是理清图中角的和差关系，结合特殊三角形的性质推导相关角度，侧重考查对等腰、等边三角形基本性质的理解和应用能力，解题时注意结合图形定位角的位置，避免角度关系混淆。
【难度系数】
0.7

13. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$P$从点$B$出发沿线段$BA$移动,同时,点$Q$从点$C$出发沿线段$AC$的延长线移动,点$P,Q$移动的速度相同,$PQ$与$BC$相交于点$D$.
(1)如图1,求证:$PD=QD$.
(2)如图2,过点$P$作$BC$的垂线,垂足为$E$.在点$P,Q$移动的过程中,$BE,ED,CD$中是否存在长度为定值的线段?请说明理由.

13.解:(1)证明:过点 P 作 PM//AC 交 BD 于点 M.
∵点 P 和点 Q 同时出发,且速度相同,
∴BP=CQ.
∵PM//AQ,
∴∠PMB=∠ACB,∠DPM=∠DQC.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠PMB,
∴BP=MP
∴MP=CQ. 在△PDM 和△QDC 中,$\because \begin{cases} ∠PDM=∠QDC, \\ ∠DPM=∠DQC, \\ MP=CQ, \end{cases}$
∴△PDM≌△QDC(AAS),
∴PD=QD.
(2)ED 的长度为定值. 理由:过点 P 作 PF//AC 交 BC 于点 F. 由(1)知 PB=PF.
∵PE⊥BF,
∴BE=EF. 由(1)知△PFD≌△QCD,
∴FD=CD,
∴ED=EF+FD=BE+CD=$\frac{1}{2}BC$,
∴ED 的长度为定值.(本题亦可通过过点 Q 作 BC 的垂线来证明)

【分析】
(1)要证$PD=QD$，可通过证明两线段所在三角形全等实现。已知P、Q移动速度相同，可得$BP=CQ$，结合$△ ABC$是等腰三角形，过P作$AC$的平行线交$BC$于$M$，可构造等腰$△ PBM$得到$BP=PM$，将$CQ$转化为$PM$，再用AAS证明$△ PDM$和$△ QDC$全等即可得证。
(2)要判断是否存在定长线段，可沿用(1)的辅助线思路，过P作$AC$平行线交$BC$于$F$，由等腰三角形三线合一得$BE=EF$，结合(1)的全等结论得$FD=CD$，推导可得$ED$等于固定边$BC$的一半，即可确定$ED$为定值。
【解析】
(1)证明：过点$P$作$PM// AC$交$BD$于点$M$。
∵点$P$和点$Q$同时出发，且移动速度相同，
∴$BP=CQ$。
∵$PM// AQ$，
∴$∠ PMB=∠ ACB$，$∠ DPM=∠ DQC$。
∵$AB=AC$，
∴$∠ B=∠ ACB$，
∴$∠ B=∠ PMB$，
∴$BP=MP$，
∴$MP=CQ$。
在$△ PDM$和$△ QDC$中：
$\begin{cases} ∠ PDM=∠ QDC \\ ∠ DPM=∠ DQC \\ MP=CQ \end{cases}$
∴$△ PDM≌△ QDC(\mathrm{AAS})$，
∴$PD=QD$。
(2)解：$ED$的长度为定值，理由如下：
过点$P$作$PF// AC$交$BC$于点$F$。
由(1)的推导可知$PB=PF$，即$△ PBF$为等腰三角形。
∵$PE⊥ BF$，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴$BE=EF$。
同(1)可证$△ PFD≌△ QCD$，
∴$FD=CD$。
∴$ED=EF+FD=BE+CD$，又
∵$BE+EF+FD+CD=BC$，即$2(EF+FD)=BC$，
∴$ED=\frac{1}{2}BC$，$BC$是$△ ABC$的固定边长，因此$ED$的长度为定值。
【答案】
(1)$PD=QD$，证明成立；
(2)长度为定值的线段是$ED$，$ED=\frac{1}{2}BC$。
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题是动态几何与三角形知识结合的典型题型，核心是通过作平行线构造全等三角形和等腰三角形，对动态线段进行转化，找到变化过程中的不变量，考查了几何辅助线构造能力和转化思想的应用。
【难度系数】
0.6