12. [新课标·情境题]如图,一种单肩包的背带由双层部分、单层部分和调节扣构成. 背带的长度(其中调节扣所占长度忽略不计)可以通过调节扣调节.设双层部分的长度为 $ x $ cm,背带的长度为 $ y $ cm,$ y $ 与 $ x $ 之间满足一次函数关系.当双层部分的长度为 30 cm 时,背带的长度为 90 cm;当双层部分的长度为 20 cm 时,背带的长度为 100 cm.
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式;
(2)当单层部分的长度与双层部分的长度相等时,求背带的长度.

12.解:(1)设 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y=kx+b(k≠0)$,将$(30,90)$,$(20,100)$代入,得$\begin{cases}30k+b=90,\\20k+b=100,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=120,\end{cases}$所以 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y=-x+120$.
(2)令 $x=0$,得 $y=120$,即背带的总长度为 120 cm. 由题意可得 $x=120-2x$,解得 $x=40$,此时 $y=-x+120=-40+120=80(\mathrm{cm})$.答:背带的长度为 80 cm.

【分析】
(1) 题目已说明$y$与$x$满足一次函数关系，因此可先设一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入表达式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解出$k$、$b$的值即可得到函数表达式。
(2) 先求出背带全部为单层时的总长度（即$x=0$时$y$的值，也就是背带的总材料长度），再根据“单层部分长度与双层部分长度相等”的条件列方程求出$x$的值，最后将$x$代入第一问得到的函数表达式，即可求出此时背带的长度。
【解析】
(1) 设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$\begin{cases}x=30\\y=90\end{cases}$和$\begin{cases}x=20\\y=100\end{cases}$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}30k+b=90\\20k+b=100\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$10k=-10$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$20k+b=100$，得$-20+b=100$，解得$b=120$，
因此$y$与$x$之间的函数表达式为$y=-x+120$。
(2) 当双层部分长度$x=0$时，背带全部为单层，此时$y=-0+120=120\mathrm{cm}$，即背带的总材料长度为$120\mathrm{cm}$。
双层部分长度为$x\mathrm{cm}$时，需要消耗$2x\mathrm{cm}$的材料，因此剩余的材料长度$120-2x$就是单层部分的长度。
根据题意单层部分长度与双层部分长度相等，可列方程：
$x=120-2x$
移项合并得$3x=120$，解得$x=40$，
将$x=40$代入$y=-x+120$，得$y=-40+120=80(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) $y=-x+120$
(2) $80\mathrm{cm}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，二元一次方程组的解法，一元一次方程的实际应用
【点评】
本题结合生活中的背包背带调节场景考查一次函数的实际应用，既考查了一次函数、方程的基础知识点，也锻炼了将实际问题转化为数学问题的能力，解题的核心是理解背带双层部分和单层部分的材料长度关系。
【难度系数】
0.7