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9. 如图21-14,在四边形ABCD中,
AD=BC,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为点
E,F,且AE=CF.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边
形;
(2)若AE=5,EB=12,EF=2,则四边
形ABCD的周长是
图21-14
AD=BC,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为点
E,F,且AE=CF.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边
形;
(2)若AE=5,EB=12,EF=2,则四边
形ABCD的周长是
$26+2\sqrt{221}$
.图21-14
答案
9. (1)
∵ $CF⊥BD$，$AE⊥BD$，
∴ $∠AED=∠CFB=90°$. 在$Rt△ADE$和$Rt△CBF$中，$\begin{cases}AD=CB,\\AE=CF,\end{cases}$
∴ $Rt△ADE≌Rt△CBF(HL)$.
∴ $∠ADE=∠CBF$.
∴ $AD// BC$. 又
∵ $AD=BC$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形. (2)$26+2\sqrt{221}$
∵ $CF⊥BD$，$AE⊥BD$，
∴ $∠AED=∠CFB=90°$. 在$Rt△ADE$和$Rt△CBF$中，$\begin{cases}AD=CB,\\AE=CF,\end{cases}$
∴ $Rt△ADE≌Rt△CBF(HL)$.
∴ $∠ADE=∠CBF$.
∴ $AD// BC$. 又
∵ $AD=BC$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形. (2)$26+2\sqrt{221}$
解析
【分析】
(1)要证明四边形ABCD是平行四边形，已知AD=BC，只需证明AD//BC即可。观察已知条件，AE⊥BD、CF⊥BD，且AE=CF、AD=BC，可通过HL证明Rt△ADE≌Rt△CBF，得到内错角∠ADE=∠CBF，即可推出AD//BC，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形完成证明。
(2)先在Rt△ABE中用勾股定理求出AB的长度，再利用全等三角形的性质得到DE=BF，求出DE的长度后，在Rt△ADE中用勾股定理求出AD的长度，最后根据平行四边形对边相等的性质计算周长即可。
【解析】
(1)证明：
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在Rt△ADE和Rt△CBF中，
$\begin{cases}AD=CB\\AE=CF\end{cases}$
∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL），
∴∠ADE=∠CBF，
∴AD//BC，
又
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
(2)解：
在Rt△ABE中，AE=5，EB=12，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2+EB^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$，
由(1)中Rt△ADE≌Rt△CBF得DE=BF，
∵BF=BE+EF=12+2=14，
∴DE=14，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{5^2+14^2}=\sqrt{25+196}=\sqrt{221}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴周长$=2(AB+AD)=2×(13+\sqrt{221})=26+2\sqrt{221}$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$26+2\sqrt{221}$
【知识点】
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是四边形的基础综合题，第一问通过全等三角形得到线平行，结合平行四边形判定定理即可得证；第二问需结合全等的性质得到对应边相等，再用勾股定理计算边长，解题时需注意梳理线段的和差关系，是考察几何基础应用的典型题目。
【难度系数】
0.7
(1)要证明四边形ABCD是平行四边形，已知AD=BC，只需证明AD//BC即可。观察已知条件，AE⊥BD、CF⊥BD，且AE=CF、AD=BC，可通过HL证明Rt△ADE≌Rt△CBF，得到内错角∠ADE=∠CBF，即可推出AD//BC，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形完成证明。
(2)先在Rt△ABE中用勾股定理求出AB的长度，再利用全等三角形的性质得到DE=BF，求出DE的长度后，在Rt△ADE中用勾股定理求出AD的长度，最后根据平行四边形对边相等的性质计算周长即可。
【解析】
(1)证明：
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在Rt△ADE和Rt△CBF中，
$\begin{cases}AD=CB\\AE=CF\end{cases}$
∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL），
∴∠ADE=∠CBF，
∴AD//BC，
又
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
(2)解：
在Rt△ABE中，AE=5，EB=12，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2+EB^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$，
由(1)中Rt△ADE≌Rt△CBF得DE=BF，
∵BF=BE+EF=12+2=14，
∴DE=14，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{5^2+14^2}=\sqrt{25+196}=\sqrt{221}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴周长$=2(AB+AD)=2×(13+\sqrt{221})=26+2\sqrt{221}$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$26+2\sqrt{221}$
【知识点】
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是四边形的基础综合题，第一问通过全等三角形得到线平行，结合平行四边形判定定理即可得证；第二问需结合全等的性质得到对应边相等，再用勾股定理计算边长，解题时需注意梳理线段的和差关系，是考察几何基础应用的典型题目。
【难度系数】
0.7
1. 如图 21-15, O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点, $OM // AB$ 交 AD 于点 M, 若 $OM=3,BC=10$, 则 OB 的长为 (
A.5
B.4
C.$\frac{\sqrt{34}}{2}$
D.$\sqrt{34}$
D
)A.5
B.4
C.$\frac{\sqrt{34}}{2}$
D.$\sqrt{34}$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先结合矩形的性质和已知的O是AC中点、OM//AB的条件，可判断OM是△ACD的中位线，据此求出CD的长度；再利用矩形对边相等得到AB的长度，在Rt△ABC中用勾股定理求出对角线AC的长度；最后根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出OB的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=90°，AB=CD，AD=BC=10，AB//CD
∵O是AC中点，OM//AB
∴OM//CD，OM是△ACD的中位线
∴CD=2OM=2×3=6，即AB=6
在Rt△ABC中，AB=6，BC=10，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+10^2}=\sqrt{36+100}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}$
又
∵O是AC的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半
∴$OB=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{34}=\sqrt{34}$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质；三角形中位线定理；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于四边形基础综合题，解题关键是先通过中位线定理求出矩形的边长，再结合勾股定理和直角三角形斜边中线的性质计算待求线段长度，需要熟练掌握相关几何性质，做到灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合矩形的性质和已知的O是AC中点、OM//AB的条件，可判断OM是△ACD的中位线，据此求出CD的长度；再利用矩形对边相等得到AB的长度，在Rt△ABC中用勾股定理求出对角线AC的长度；最后根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出OB的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=90°，AB=CD，AD=BC=10，AB//CD
∵O是AC中点，OM//AB
∴OM//CD，OM是△ACD的中位线
∴CD=2OM=2×3=6，即AB=6
在Rt△ABC中，AB=6，BC=10，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+10^2}=\sqrt{36+100}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}$
又
∵O是AC的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半
∴$OB=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{34}=\sqrt{34}$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质；三角形中位线定理；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于四边形基础综合题，解题关键是先通过中位线定理求出矩形的边长，再结合勾股定理和直角三角形斜边中线的性质计算待求线段长度，需要熟练掌握相关几何性质，做到灵活运用。
【难度系数】
0.7
2. 如图21-16，P是矩形ABCD的对
答案
证明：
过点P作EF⊥AD，分别交AD、BC于点E、F。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB⊥AD，
∴ EF⊥BC，即∠PEA=∠PFB=∠PFC=∠PED=90°，
∴ 四边形ABFE、四边形EFCD都是矩形，
∴ AE=BF，DE=CF。
由勾股定理得：
$PA^2 = AE^2 + PE^2$，
$PC^2 = PF^2 + CF^2$，
$PB^2 = BF^2 + PF^2$，
$PD^2 = PE^2 + DE^2$。
∴ $PA^2 + PC^2 = AE^2 + PE^2 + PF^2 + CF^2$，
$PB^2 + PD^2 = BF^2 + PF^2 + PE^2 + DE^2$。
又∵ AE=BF，CF=DE，
∴ $PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2$。
过点P作EF⊥AD，分别交AD、BC于点E、F。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB⊥AD，
∴ EF⊥BC，即∠PEA=∠PFB=∠PFC=∠PED=90°，
∴ 四边形ABFE、四边形EFCD都是矩形，
∴ AE=BF，DE=CF。
由勾股定理得：
$PA^2 = AE^2 + PE^2$，
$PC^2 = PF^2 + CF^2$，
$PB^2 = BF^2 + PF^2$，
$PD^2 = PE^2 + DE^2$。
∴ $PA^2 + PC^2 = AE^2 + PE^2 + PF^2 + CF^2$，
$PB^2 + PD^2 = BF^2 + PF^2 + PE^2 + DE^2$。
又∵ AE=BF，CF=DE，
∴ $PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2$。
解析
【分析】
要证明$PA^2+PC^2$与$PB^2+PD^2$相等，观察到等式是线段平方和的形式，优先联想到勾股定理。但目前$PA、PB、PC、PD$四条线段没有对应的直角三角形，因此需要作辅助线构造直角三角形，将四条线段分别作为直角三角形的斜边，再结合矩形对边相等的性质进行等量代换，即可验证等式是否成立。
【解析】
过点P作$EF⊥AD$，分别交AD、BC于点E、F。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AD//BC$，$∠A=∠B=∠C=∠D=90°$，$AB⊥AD$，
∴ $EF⊥BC$，即$∠PEA=∠PFB=∠PFC=∠PED=90°$，
∴ 四边形ABFE、四边形EFCD都是矩形，
∴ $AE=BF$，$DE=CF$。
由勾股定理得：
$PA^2 = AE^2 + PE^2$，
$PC^2 = PF^2 + CF^2$，
$PB^2 = BF^2 + PF^2$，
$PD^2 = PE^2 + DE^2$。
∴ $PA^2 + PC^2 = AE^2 + PE^2 + PF^2 + CF^2$，
$PB^2 + PD^2 = BF^2 + PF^2 + PE^2 + DE^2$。
又
∵ $AE=BF$，$CF=DE$，
∴ $PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2$。
【答案】
$PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2$，得证
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、等量代换
【点评】
本题是四边形与勾股定理结合的常见题型，解题核心是通过作垂直辅助线，将待研究的线段转化到直角三角形中，再利用矩形的边的性质进行代换推导，正确构造辅助线是解题的关键。
【难度系数】
0.6
要证明$PA^2+PC^2$与$PB^2+PD^2$相等，观察到等式是线段平方和的形式，优先联想到勾股定理。但目前$PA、PB、PC、PD$四条线段没有对应的直角三角形，因此需要作辅助线构造直角三角形，将四条线段分别作为直角三角形的斜边，再结合矩形对边相等的性质进行等量代换，即可验证等式是否成立。
【解析】
过点P作$EF⊥AD$，分别交AD、BC于点E、F。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AD//BC$，$∠A=∠B=∠C=∠D=90°$，$AB⊥AD$，
∴ $EF⊥BC$，即$∠PEA=∠PFB=∠PFC=∠PED=90°$，
∴ 四边形ABFE、四边形EFCD都是矩形，
∴ $AE=BF$，$DE=CF$。
由勾股定理得：
$PA^2 = AE^2 + PE^2$，
$PC^2 = PF^2 + CF^2$，
$PB^2 = BF^2 + PF^2$，
$PD^2 = PE^2 + DE^2$。
∴ $PA^2 + PC^2 = AE^2 + PE^2 + PF^2 + CF^2$，
$PB^2 + PD^2 = BF^2 + PF^2 + PE^2 + DE^2$。
又
∵ $AE=BF$，$CF=DE$，
∴ $PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2$。
【答案】
$PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2$，得证
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、等量代换
【点评】
本题是四边形与勾股定理结合的常见题型，解题核心是通过作垂直辅助线，将待研究的线段转化到直角三角形中，再利用矩形的边的性质进行代换推导，正确构造辅助线是解题的关键。
【难度系数】
0.6
角线 $ AC $ 上一点,过点 $ P $ 作 $ EF // BC $,分别交 $ AB,CD $ 于点 $ E,F $,连接 $ PB,PD $.若 $ AE = 2,PF = 8 $,则图中阴影部分的面积为
$(\quad)$
A.$ 10 $
B.$ 12 $
C.$ 16 $
D.$ 18 $
$(\quad)$
A.$ 10 $
B.$ 12 $
C.$ 16 $
D.$ 18 $
答案
2.C
解析
【分析】
解决本题首先要结合矩形和平行线的性质得到边的等量关系，再利用矩形对角线平分矩形面积的特点，推导得出两个阴影三角形的面积相等，最后代入数据计算面积和即可。首先由EF//BC，四边形ABCD是矩形，可证四边形AEFD是矩形，得到DF=AE=2；再通过三角形面积的和差关系，得出两个阴影所在的矩形面积相等，进而得到两个阴影三角形面积相等，最后计算求和。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，EF//BC，
∴EF//AD，AB//CD，∠ADC=∠BAD=90°，
∴四边形AEFD是矩形，
∴DF=AE=2，∠DFP=90°。
过点P作直线垂直于BC，分别交AD、BC于点N、M，
∵AC是矩形ABCD的对角线，
∴$S_{△ ABC} = S_{△ ADC} = \frac{1}{2}S_{矩形ABCD}$。
同理可得$S_{△ AEP} = S_{△ ANP}$，$S_{△ PMC} = S_{△ PFC}$，
∴$S_{矩形EPMB} = S_{△ ABC} - S_{△ AEP} - S_{△ PMC}$，
$S_{矩形NPFD} = S_{△ ADC} - S_{△ ANP} - S_{△ PFC}$，
∴$S_{矩形EPMB} = S_{矩形NPFD}$。
∵$S_{△ BEP} = \frac{1}{2}S_{矩形EPMB}$，$S_{△ DPF} = \frac{1}{2}S_{矩形NPFD}$，
∴$S_{△ BEP} = S_{△ DPF}$。
计算得$S_{△ DPF} = \frac{1}{2}×DF×PF = \frac{1}{2}×2×8 = 8$，
∴阴影部分总面积 = $S_{△ BEP} + S_{△ DPF} = 8 + 8 = 16$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是典型的矩形中的面积计算问题，核心是利用矩形对角线的面积性质做等量转化，不需要单独求解未知边的长度，掌握此类面积转化技巧可以快速解题。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要结合矩形和平行线的性质得到边的等量关系，再利用矩形对角线平分矩形面积的特点，推导得出两个阴影三角形的面积相等，最后代入数据计算面积和即可。首先由EF//BC，四边形ABCD是矩形，可证四边形AEFD是矩形，得到DF=AE=2；再通过三角形面积的和差关系，得出两个阴影所在的矩形面积相等，进而得到两个阴影三角形面积相等，最后计算求和。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，EF//BC，
∴EF//AD，AB//CD，∠ADC=∠BAD=90°，
∴四边形AEFD是矩形，
∴DF=AE=2，∠DFP=90°。
过点P作直线垂直于BC，分别交AD、BC于点N、M，
∵AC是矩形ABCD的对角线，
∴$S_{△ ABC} = S_{△ ADC} = \frac{1}{2}S_{矩形ABCD}$。
同理可得$S_{△ AEP} = S_{△ ANP}$，$S_{△ PMC} = S_{△ PFC}$，
∴$S_{矩形EPMB} = S_{△ ABC} - S_{△ AEP} - S_{△ PMC}$，
$S_{矩形NPFD} = S_{△ ADC} - S_{△ ANP} - S_{△ PFC}$，
∴$S_{矩形EPMB} = S_{矩形NPFD}$。
∵$S_{△ BEP} = \frac{1}{2}S_{矩形EPMB}$，$S_{△ DPF} = \frac{1}{2}S_{矩形NPFD}$，
∴$S_{△ BEP} = S_{△ DPF}$。
计算得$S_{△ DPF} = \frac{1}{2}×DF×PF = \frac{1}{2}×2×8 = 8$，
∴阴影部分总面积 = $S_{△ BEP} + S_{△ DPF} = 8 + 8 = 16$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是典型的矩形中的面积计算问题，核心是利用矩形对角线的面积性质做等量转化，不需要单独求解未知边的长度，掌握此类面积转化技巧可以快速解题。
【难度系数】
0.6
3. 如图21-17,把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,设重叠部分为△EBD,则下列说法错误的是 (
A.$AB=CD$
B.$∠BAE=∠DCE$
C.$EB=ED$
D.$∠ABE$一定等于$30°$
D
)A.$AB=CD$
B.$∠BAE=∠DCE$
C.$EB=ED$
D.$∠ABE$一定等于$30°$
答案
3.D
解析
【分析】
解决本题需要结合矩形的性质和折叠的性质逐一判断选项：首先明确矩形对边相等、四个角为直角、对边平行的基本性质，再利用折叠前后对应角相等的性质推导角的关系，最后判断各选项是否必然成立。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD，∠BAE=∠DCE=90°，故A、B选项说法正确，不符合题意；
∵AD//BC，
∴∠EDB=∠CBD
由折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，即∠CBD=∠EBD
∴∠EDB=∠EBD，根据等角对等边可得EB=ED，故C选项说法正确，不符合题意；
题中没有给出任意角的具体度数，无法推导得出∠ABE=30°，即∠ABE不一定等于30°，故D选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于四边形基础题，核心是掌握折叠前后图形的对应角、对应边相等的性质，结合矩形的边角特征推导边和角的关系，注意没有特殊角度的前提条件时，不能判定角的具体度数。
【难度系数】
0.8
解决本题需要结合矩形的性质和折叠的性质逐一判断选项：首先明确矩形对边相等、四个角为直角、对边平行的基本性质，再利用折叠前后对应角相等的性质推导角的关系，最后判断各选项是否必然成立。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD，∠BAE=∠DCE=90°，故A、B选项说法正确，不符合题意；
∵AD//BC，
∴∠EDB=∠CBD
由折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，即∠CBD=∠EBD
∴∠EDB=∠EBD，根据等角对等边可得EB=ED，故C选项说法正确，不符合题意；
题中没有给出任意角的具体度数，无法推导得出∠ABE=30°，即∠ABE不一定等于30°，故D选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于四边形基础题，核心是掌握折叠前后图形的对应角、对应边相等的性质，结合矩形的边角特征推导边和角的关系，注意没有特殊角度的前提条件时，不能判定角的具体度数。
【难度系数】
0.8
4. 如图21-18,一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A,B两点,P是线段AB上任意一点(不包括端点),过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10,则该直线的函数解析式是
(
A.$y=x+5$
B.$y=x+10$
C.$y=-x+5$
D.$y=-x+10$
(
C
)A.$y=x+5$
B.$y=x+10$
C.$y=-x+5$
D.$y=-x+10$
答案
4.C
解析
【分析】
我们可以先设点P的坐标为$(x,y)$，由于P在第一象限，过P向x轴、y轴作垂线，围成的矩形的长和宽就对应P点的横坐标$x$和纵坐标$y$。已知矩形周长为10，根据矩形周长公式可以推出$x$和$y$的等量关系，又因为P是直线AB上任意一点，所以这个等量关系就是直线的函数解析式，再结合直线与两坐标轴正半轴相交的特征验证即可得到答案。
【解析】
设点P的坐标为$(x,y)$（$x＞0,y＞0$）。
过P作两坐标轴的垂线，围成的矩形的长为$x$，宽为$y$。
根据矩形周长公式可得：
$2(x + y) = 10$
化简得：$x + y = 5$，变形为一次函数的标准形式为$y = -x + 5$。
因为P是线段AB上任意一点，因此直线AB上所有点都满足上述关系，即该直线的函数解析式为$y=-x+5$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数解析式，矩形周长计算，坐标的几何意义
【点评】
本题将坐标的几何含义与一次函数相结合，解题的核心是通过矩形周长得到直线上点的横、纵坐标的等量关系，只要掌握相关基础概念就能快速解题。
【难度系数】
0.7
我们可以先设点P的坐标为$(x,y)$，由于P在第一象限，过P向x轴、y轴作垂线，围成的矩形的长和宽就对应P点的横坐标$x$和纵坐标$y$。已知矩形周长为10，根据矩形周长公式可以推出$x$和$y$的等量关系，又因为P是直线AB上任意一点，所以这个等量关系就是直线的函数解析式，再结合直线与两坐标轴正半轴相交的特征验证即可得到答案。
【解析】
设点P的坐标为$(x,y)$（$x＞0,y＞0$）。
过P作两坐标轴的垂线，围成的矩形的长为$x$，宽为$y$。
根据矩形周长公式可得：
$2(x + y) = 10$
化简得：$x + y = 5$，变形为一次函数的标准形式为$y = -x + 5$。
因为P是线段AB上任意一点，因此直线AB上所有点都满足上述关系，即该直线的函数解析式为$y=-x+5$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数解析式，矩形周长计算，坐标的几何意义
【点评】
本题将坐标的几何含义与一次函数相结合，解题的核心是通过矩形周长得到直线上点的横、纵坐标的等量关系，只要掌握相关基础概念就能快速解题。
【难度系数】
0.7
5. 如图21-19,矩形OABC的顶点A,
C分别在坐标轴上,$B(8,7),D(5,0),P$是边AB或边BC上的一点,连接OP,DP,当$△ ODP$为等腰三角形时,点P的坐标为
C分别在坐标轴上,$B(8,7),D(5,0),P$是边AB或边BC上的一点,连接OP,DP,当$△ ODP$为等腰三角形时,点P的坐标为
$(8,4)$或$(\frac{5}{2},7)$
.答案
5. $(8,4)$或$(\frac{5}{2},7)$
解析
【分析】
解题时首先根据矩形顶点B的坐标确定矩形各边的坐标特征：AB边上的点横坐标均为8，纵坐标取值范围是0~7；BC边上的点纵坐标均为7，横坐标取值范围是0~8，且OD的长度为5。接下来按P的位置分两类：P在AB上、P在BC上，每一类中再对等腰三角形$△ ODP$的三条边分别作为腰的三种情况（$OD=OP$、$OD=DP$、$OP=DP$）依次计算，最后验证计算结果是否符合对应边上点的坐标取值范围，舍去不符合的结果即可。
【解析】
解：
∵矩形OABC中，$B(8,7)$，
∴$OA=8$，$OC=7$，AB边上点的横坐标为8（$0≤y≤7$），BC边上点的纵坐标为7（$0≤x≤8$），
又
∵$O(0,0)$，$D(5,0)$，
∴$OD=5$。
①当P在边AB上时，设$P(8,y)$（$0≤y≤7$）：
若$OD=OP$：$OP=\sqrt{8^2+y^2}=\sqrt{64+y^2}≥8＞5$，不可能，舍去；
若$OD=DP$：则$\sqrt{(8-5)^2+y^2}=5$，即$9+y^2=25$，解得$y=4$（$y=-4$舍去），此时$P(8,4)$，符合要求；
若$OP=DP$：则$\sqrt{8^2+y^2}=\sqrt{(8-5)^2+y^2}$，化简得$64=9$，不成立，舍去。
②当P在边BC上时，设$P(x,7)$（$0≤x≤8$）：
若$OD=OP$：$OP=\sqrt{x^2+7^2}≥7＞5$，不可能，舍去；
若$OD=DP$：$DP=\sqrt{(x-5)^2+7^2}≥7＞5$，不可能，舍去；
若$OP=DP$：则P在OD的垂直平分线上，OD中点为$(\frac{5}{2},0)$，垂直平分线为直线$x=\frac{5}{2}$，故$x=\frac{5}{2}$，符合取值范围，此时$P(\frac{5}{2},7)$。
综上，点P的坐标为$(8,4)$或$(\frac{5}{2},7)$。
【答案】
$(8,4)$或$(\dfrac{5}{2},7)$
【知识点】
矩形的性质，等腰三角形分类讨论，两点间距离公式
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时需要先确定点所在边的坐标范围，再对等腰三角形的腰和底分情况计算，最后要验证结果是否符合点的位置要求，避免出现多解或漏解的问题。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据矩形顶点B的坐标确定矩形各边的坐标特征：AB边上的点横坐标均为8，纵坐标取值范围是0~7；BC边上的点纵坐标均为7，横坐标取值范围是0~8，且OD的长度为5。接下来按P的位置分两类：P在AB上、P在BC上，每一类中再对等腰三角形$△ ODP$的三条边分别作为腰的三种情况（$OD=OP$、$OD=DP$、$OP=DP$）依次计算，最后验证计算结果是否符合对应边上点的坐标取值范围，舍去不符合的结果即可。
【解析】
解：
∵矩形OABC中，$B(8,7)$，
∴$OA=8$，$OC=7$，AB边上点的横坐标为8（$0≤y≤7$），BC边上点的纵坐标为7（$0≤x≤8$），
又
∵$O(0,0)$，$D(5,0)$，
∴$OD=5$。
①当P在边AB上时，设$P(8,y)$（$0≤y≤7$）：
若$OD=OP$：$OP=\sqrt{8^2+y^2}=\sqrt{64+y^2}≥8＞5$，不可能，舍去；
若$OD=DP$：则$\sqrt{(8-5)^2+y^2}=5$，即$9+y^2=25$，解得$y=4$（$y=-4$舍去），此时$P(8,4)$，符合要求；
若$OP=DP$：则$\sqrt{8^2+y^2}=\sqrt{(8-5)^2+y^2}$，化简得$64=9$，不成立，舍去。
②当P在边BC上时，设$P(x,7)$（$0≤x≤8$）：
若$OD=OP$：$OP=\sqrt{x^2+7^2}≥7＞5$，不可能，舍去；
若$OD=DP$：$DP=\sqrt{(x-5)^2+7^2}≥7＞5$，不可能，舍去；
若$OP=DP$：则P在OD的垂直平分线上，OD中点为$(\frac{5}{2},0)$，垂直平分线为直线$x=\frac{5}{2}$，故$x=\frac{5}{2}$，符合取值范围，此时$P(\frac{5}{2},7)$。
综上，点P的坐标为$(8,4)$或$(\frac{5}{2},7)$。
【答案】
$(8,4)$或$(\dfrac{5}{2},7)$
【知识点】
矩形的性质，等腰三角形分类讨论，两点间距离公式
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时需要先确定点所在边的坐标范围，再对等腰三角形的腰和底分情况计算，最后要验证结果是否符合点的位置要求，避免出现多解或漏解的问题。
【难度系数】
0.6
