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6. 如图21-20,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OA=OC,OB=OD,且∠AOB=2∠DAO.
图21-20
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若∠AOB : ∠ODC = 4 : 3,求∠ADO的度数.
图21-20
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若∠AOB : ∠ODC = 4 : 3,求∠ADO的度数.
答案
6. (1)
∵ $OA=OC$，$OB=OD$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形.
∵ $∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠DAO$，
∴ $∠DAO=∠ADO$.
∴ $OA=OD$.
∴ $AC=BD$.
∴ 四边形$ABCD$是矩形.
(2)
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $AB// CD$.
∴ $∠ABO=∠ODC$.
∵ $∠AOB : ∠ODC = 4 : 3$，
∴ $∠AOB : ∠ABO = 4 : 3$.
∴ $∠BAO : ∠AOB : ∠ABO = 3 : 4 : 3$.
∴ $∠AOB=72°$.
∴ $∠ADO=\frac{1}{2}∠AOB=36°$
∵ $OA=OC$，$OB=OD$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形.
∵ $∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠DAO$，
∴ $∠DAO=∠ADO$.
∴ $OA=OD$.
∴ $AC=BD$.
∴ 四边形$ABCD$是矩形.
(2)
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $AB// CD$.
∴ $∠ABO=∠ODC$.
∵ $∠AOB : ∠ODC = 4 : 3$，
∴ $∠AOB : ∠ABO = 4 : 3$.
∴ $∠BAO : ∠AOB : ∠ABO = 3 : 4 : 3$.
∴ $∠AOB=72°$.
∴ $∠ADO=\frac{1}{2}∠AOB=36°$
解析
【分析】
(1) 要证明四边形ABCD是矩形，首先根据对角线互相平分的条件先判定四边形为平行四边形，再证明平行四边形的对角线相等即可。利用三角形外角的性质，∠AOB是△AOD的外角，等于∠DAO+∠ADO，结合已知∠AOB=2∠DAO，可推导出∠DAO=∠ADO，得到OA=OD，进而得到AC=BD，即可证得矩形。
(2) 求∠ADO的度数，首先利用矩形对边平行的性质可得内错角∠ABO=∠ODC，结合已知的角度比例可得△AOB中三个角的比例关系；再根据矩形对角线相等且平分可知OA=OB，即∠BAO=∠ABO，结合三角形内角和求出∠AOB的度数，最后利用∠AOB=2∠ADO的关系即可求出∠ADO的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ $OA=OC$，$OB=OD$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形。
∵ $∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠DAO$，
∴ $∠DAO=∠ADO$，
∴ $OA=OD$。
∴ $AC=2OA=2OD=BD$，
∴ 平行四边形$ABCD$是矩形。
(2) 解：
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $AB// CD$，
∴ $∠ABO=∠ODC$。
∵ $∠AOB : ∠ODC = 4 : 3$，
∴ $∠AOB : ∠ABO = 4 : 3$。
∵ 矩形对角线相等且平分，$OA=OB$，$\therefore ∠BAO=∠ABO$，
∴ $∠BAO : ∠AOB : ∠ABO = 3 : 4 : 3$。
由三角形内角和为$180°$，可得$∠AOB=180°×\frac{4}{3+4+3}=72°$，
∴ $∠ADO=\frac{1}{2}∠AOB=36°$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{36°}$
【知识点】
平行四边形的判定，矩形的判定与性质，三角形外角性质
【点评】
本题是特殊四边形章节的典型考题，综合考查了平行四边形、矩形的判定和三角形角度的计算，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定定理，结合三角形的角度关系逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形ABCD是矩形，首先根据对角线互相平分的条件先判定四边形为平行四边形，再证明平行四边形的对角线相等即可。利用三角形外角的性质，∠AOB是△AOD的外角，等于∠DAO+∠ADO，结合已知∠AOB=2∠DAO，可推导出∠DAO=∠ADO，得到OA=OD，进而得到AC=BD，即可证得矩形。
(2) 求∠ADO的度数，首先利用矩形对边平行的性质可得内错角∠ABO=∠ODC，结合已知的角度比例可得△AOB中三个角的比例关系；再根据矩形对角线相等且平分可知OA=OB，即∠BAO=∠ABO，结合三角形内角和求出∠AOB的度数，最后利用∠AOB=2∠ADO的关系即可求出∠ADO的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ $OA=OC$，$OB=OD$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形。
∵ $∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠DAO$，
∴ $∠DAO=∠ADO$，
∴ $OA=OD$。
∴ $AC=2OA=2OD=BD$，
∴ 平行四边形$ABCD$是矩形。
(2) 解：
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $AB// CD$，
∴ $∠ABO=∠ODC$。
∵ $∠AOB : ∠ODC = 4 : 3$，
∴ $∠AOB : ∠ABO = 4 : 3$。
∵ 矩形对角线相等且平分，$OA=OB$，$\therefore ∠BAO=∠ABO$，
∴ $∠BAO : ∠AOB : ∠ABO = 3 : 4 : 3$。
由三角形内角和为$180°$，可得$∠AOB=180°×\frac{4}{3+4+3}=72°$，
∴ $∠ADO=\frac{1}{2}∠AOB=36°$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{36°}$
【知识点】
平行四边形的判定，矩形的判定与性质，三角形外角性质
【点评】
本题是特殊四边形章节的典型考题，综合考查了平行四边形、矩形的判定和三角形角度的计算，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定定理，结合三角形的角度关系逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.7
7. 如图21-21,在$□ ABCD$中,AC,BD相交于点O.E,F分别是OA,OC的中点.
(1)求证:$BE=DF$.
(2)设$\frac{AC}{BD}=k$,当k为何值时,四边形DEBF是矩形?请说明理由.
图21-21
(1)求证:$BE=DF$.
(2)设$\frac{AC}{BD}=k$,当k为何值时,四边形DEBF是矩形?请说明理由.
图21-21
答案
7. (1)如图，连接$DE,BF$.
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OB=OD$，$OA=OC$.
∵ E,F分别是OA,OC的中点，
∴ $OE=\frac{1}{2}OA$，$OF=\frac{1}{2}OC$.
∴ $OE=OF$.
∵ $OB=OD$，$OE=OF$，
∴ 四边形$BFDE$是平行四边形.
∴ $BE=DF$.
(2)当$k=2$时，四边形$DEBF$是矩形. 理由如下：当$BD=EF$时，四边形$DEBF$是矩形，
∴ 当$OD=OE$时，四边形$DEBF$是矩形.
∵ $AE=OE$，
∴ $AC=2BD$.
∴ 当$k=2$时，四边形$DEBF$是矩形.
解析
【分析】
(1)要证明$BE=DF$，可先证明四边形BEDF是平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质得到结论。首先根据平行四边形ABCD的性质得到对角线互相平分，即$OB=OD$，$OA=OC$，再结合E、F是OA、OC的中点，推出$OE=OF$，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证明四边形BFDE是平行四边形，进而得到$BE=DF$。
(2)已知四边形DEBF是平行四边形，要使其为矩形，根据矩形的判定定理，需要满足对角线相等，即$BD=EF$。先推导EF和AC的数量关系：E、F分别是OA、OC的中点，因此$EF=OE+OF=\frac{1}{2}OA+\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}AC$，结合$BD=EF$可得$AC=2BD$，即可求出k的值。
【解析】
(1)证明：连接$DE,BF$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OB=OD$，$OA=OC$。
∵ E,F分别是OA,OC的中点，
∴ $OE=\frac{1}{2}OA$，$OF=\frac{1}{2}OC$，
∴ $OE=OF$。
又
∵ $OB=OD$，
∴ 四边形$BFDE$是平行四边形，
∴ $BE=DF$。
(2)解：当$k=2$时，四边形$DEBF$是矩形，理由如下：
∵ 四边形$DEBF$是平行四边形，当平行四边形对角线相等时，该平行四边形为矩形，即当$BD=EF$时，四边形$DEBF$是矩形。
∵ $OE=\frac{1}{2}OA$，$OF=\frac{1}{2}OC$，$OA=OC$，
∴ $EF=OE+OF=\frac{1}{2}(OA+OC)=\frac{1}{2}AC$。
令$BD=EF$，则$BD=\frac{1}{2}AC$，即$\frac{AC}{BD}=2$，因此$k=2$时，四边形$DEBF$是矩形。
【答案】
(1)证明见上述解析；
(2)当$k=2$时，四边形$DEBF$是矩形，理由见上述解析。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；矩形的判定
【点评】
本题围绕平行四边形、矩形的性质及判定展开考查，解题核心是灵活运用对角线相关的判定定理，第一问属于基础题型，第二问需要结合矩形的判定条件推导线段的比例关系，是四边形章节的典型中档题。
【难度系数】
0.7
(1)要证明$BE=DF$，可先证明四边形BEDF是平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质得到结论。首先根据平行四边形ABCD的性质得到对角线互相平分，即$OB=OD$，$OA=OC$，再结合E、F是OA、OC的中点，推出$OE=OF$，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证明四边形BFDE是平行四边形，进而得到$BE=DF$。
(2)已知四边形DEBF是平行四边形，要使其为矩形，根据矩形的判定定理，需要满足对角线相等，即$BD=EF$。先推导EF和AC的数量关系：E、F分别是OA、OC的中点，因此$EF=OE+OF=\frac{1}{2}OA+\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}AC$，结合$BD=EF$可得$AC=2BD$，即可求出k的值。
【解析】
(1)证明：连接$DE,BF$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OB=OD$，$OA=OC$。
∵ E,F分别是OA,OC的中点，
∴ $OE=\frac{1}{2}OA$，$OF=\frac{1}{2}OC$，
∴ $OE=OF$。
又
∵ $OB=OD$，
∴ 四边形$BFDE$是平行四边形，
∴ $BE=DF$。
(2)解：当$k=2$时，四边形$DEBF$是矩形，理由如下：
∵ 四边形$DEBF$是平行四边形，当平行四边形对角线相等时，该平行四边形为矩形，即当$BD=EF$时，四边形$DEBF$是矩形。
∵ $OE=\frac{1}{2}OA$，$OF=\frac{1}{2}OC$，$OA=OC$，
∴ $EF=OE+OF=\frac{1}{2}(OA+OC)=\frac{1}{2}AC$。
令$BD=EF$，则$BD=\frac{1}{2}AC$，即$\frac{AC}{BD}=2$，因此$k=2$时，四边形$DEBF$是矩形。
【答案】
(1)证明见上述解析；
(2)当$k=2$时，四边形$DEBF$是矩形，理由见上述解析。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；矩形的判定
【点评】
本题围绕平行四边形、矩形的性质及判定展开考查，解题核心是灵活运用对角线相关的判定定理，第一问属于基础题型，第二问需要结合矩形的判定条件推导线段的比例关系，是四边形章节的典型中档题。
【难度系数】
0.7
