4. 如图21-9,已知$△ ABC$,分别以点C,A为圆心,AB,BC的长为半径作弧,两弧交于点D,连接AD,CD,则四边形ABCD是平行四边形的依据是
.


图21-8
图21-9

4. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

【分析】
首先根据题目给出的作图描述，结合圆的半径相等的性质，先把作图语言转化为线段的等量关系：①以A为圆心，BC长为半径画弧得到线段AD，因此AD和BC长度相等；②以C为圆心，AB长为半径画弧得到线段CD，因此CD和AB长度相等。再回忆平行四边形的判定定理，即可对应找到判断四边形是平行四边形的依据。
【解析】
根据作图规则可得：
1. 以点A为圆心、BC的长为半径作弧，所以AD = BC（同圆的半径相等）；
2. 以点C为圆心、AB的长为半径作弧，所以CD = AB（同圆的半径相等）。
在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，即两组对边分别相等，根据平行四边形的判定定理，可判定四边形ABCD是平行四边形，因此对应的判定依据就是两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
【答案】
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【知识点】
平行四边形的判定；圆的基本性质
【点评】
本题是作图与几何判定结合的基础题，解题核心是能将作图描述转化为线段的等量关系，重点考查对平行四边形基础判定定理的掌握程度。
【难度系数】
0.8

5. 如图21-10,在$□ ABCD$中,对角线AC与BD交于点O,$BD=12$,过点O作$EF⊥BD$分别交BC,AD于点E,F,若$∠ADB=30°$,则EF的长为.

5. $4\sqrt{3}$

【分析】
解题时先从平行四边形的性质入手：首先平行四边形对角线互相平分，可求出OD的长度，且平行四边形对边平行可得AD//BC；再结合EF⊥BD、∠ADB=30°的条件，在Rt△ODF中利用30°直角三角形的性质和勾股定理求出OF的长度；接下来通过证明△DOF和△BOE全等，得到OE=OF，即可推出EF=2OF，最终算出EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，$OB=OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×12=6$。
∵EF⊥BD，
∴∠DOF=∠BOE=90°。
在Rt△DOF中，∠ODF=∠ADB=30°，
∴DF=2OF（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
设OF=x，则DF=2x，由勾股定理得：
$OD^2 + OF^2 = DF^2$，
即$6^2 + x^2 = (2x)^2$，
$36 + x^2 = 4x^2$，
$3x^2=36$，
$x^2=12$，
解得$x=2\sqrt{3}$（线段长度为正，舍去负根），即$OF=2\sqrt{3}$。
在△DOF和△BOE中：
$\begin{cases}∠ODF=∠OBE（两直线平行，内错角相等）\\OD=OB\\∠DOF=∠BOE\end{cases}$
∴△DOF≌△BOE（ASA），
∴$OE=OF=2\sqrt{3}$，
∴$EF=OE+OF=2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于四边形的综合基础题，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质得到相等的边和角，结合全等三角形的性质转化线段关系，再借助特殊直角三角形的性质计算线段长度，是平行四边形章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7

6. 如图21-11,在平面直角坐标系中,$A(1,0),B(4,0),C(2,3)$,在坐标系中找一点$D$,使以点$A,B,C,D$为顶点的四边形是平行四边形,则点$D$的坐标是
.

6. $(5,3)$或$(3,-3)$或$(-1,3)$

【分析】
由于题目未明确以A、B、C、D为顶点的平行四边形的顶点顺序，因此需分三种情况讨论：分别将AB、AC、BC作为平行四边形的对角线，结合平行四边形“对角线互相平分”的性质，可知两条对角线的中点重合，再利用中点坐标公式即可求出对应点D的坐标。
【解析】
已知点$A(1,0)$，$B(4,0)$，$C(2,3)$，设点$D$的坐标为$(x,y)$，中点坐标公式为：若有两点$P(a,b)$、$Q(c,d)$，则$PQ$的中点坐标为$(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2})$，分以下三种情况计算：
1. 当$AB$为平行四边形的对角线时，$AB$的中点与$CD$的中点重合：
$AB$的中点坐标为$(\frac{1+4}{2},\frac{0+0}{2})=(2.5,0)$，因此$CD$的中点也为$(2.5,0)$，列方程得：
$\frac{2+x}{2}=2.5$，解得$x=3$；$\frac{3+y}{2}=0$，解得$y=-3$，此时$D$点坐标为$(3,-3)$。
2. 当$AC$为平行四边形的对角线时，$AC$的中点与$BD$的中点重合：
$AC$的中点坐标为$(\frac{1+2}{2},\frac{0+3}{2})=(1.5,1.5)$，因此$BD$的中点也为$(1.5,1.5)$，列方程得：
$\frac{4+x}{2}=1.5$，解得$x=-1$；$\frac{0+y}{2}=1.5$，解得$y=3$，此时$D$点坐标为$(-1,3)$。
3. 当$BC$为平行四边形的对角线时，$BC$的中点与$AD$的中点重合：
$BC$的中点坐标为$(\frac{4+2}{2},\frac{0+3}{2})=(3,1.5)$，因此$AD$的中点也为$(3,1.5)$，列方程得：
$\frac{1+x}{2}=3$，解得$x=5$；$\frac{0+y}{2}=1.5$，解得$y=3$，此时$D$点坐标为$(5,3)$。
【答案】
$(5,3)$或$(3,-3)$或$(-1,3)$
【知识点】
平行四边形对角线性质、中点坐标公式、分类讨论思想
【点评】
本题核心是结合平行四边形的性质求解未知点坐标，易错点是忽略平行四边形顶点顺序的不确定性，未进行分类讨论导致漏解，解题时要牢记分三种对角线的情况逐一计算。
【难度系数】
0.6

7. 如图 21-12, $□ ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$,点 $M,N$ 在 $BD$ 上,且 $BM=DN$,求证:$AM=CN$.

7. 法一：在$□ABCD$中，$OA=OC$，$OB=OD$.
∵ $BM=DN$，
∴ $OM=ON$.
∵ $∠AOM=∠CON$，
∴ $△AOM≌△CON(SAS)$.
∴ $AM=CN$. 法二：如图，连接$CM,AN$. 在$□ABCD$中，$OA=OC$，$OB=OD$.
∵ $BM=DN$，
∴ $OM=ON$.
∴ 四边形$AMCN$是平行四边形.
∴ $AM=CN$.

【分析】
要证明线段$AM=CN$，可从平行四边形的性质入手推导：首先回忆平行四边形对角线互相平分的性质，可得$OA=OC$，$OB=OD$。结合已知$BM=DN$，通过等式性质可推出$OM=ON$。有两种常见解题思路：一是利用对顶角相等，结合$OA=OC$、$OM=ON$，用SAS判定$△ AOM$和$△ CON$全等，根据全等三角形对应边相等得$AM=CN$；二是连接$AN$、$CM$，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”先判定四边形$AMCN$是平行四边形，再根据平行四边形对边相等得$AM=CN$。
【解析】
法一：
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore OA=OC$，$OB=OD$（平行四边形对角线互相平分）。
$\because BM=DN$，
$\therefore OB-BM=OD-DN$，即$OM=ON$。
在$△ AOM$和$△ CON$中：
$\begin{cases}OA=OC\\∠ AOM=∠ CON \mathrm{（对顶角相等）}\\OM=ON\end{cases}$
$\therefore △ AOM ≌ △ CON \mathrm{（SAS）}$，
$\therefore AM=CN$（全等三角形对应边相等）。
法二：
连接$CM$、$AN$，
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore OA=OC$，$OB=OD$（平行四边形对角线互相平分）。
$\because BM=DN$，
$\therefore OB-BM=OD-DN$，即$OM=ON$。
$\because OA=OC$，$OM=ON$，
$\therefore$ 四边形$AMCN$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
$\therefore AM=CN$（平行四边形对边相等）。
【答案】
法一：在$□ABCD$中，$OA=OC$，$OB=OD$.
∵ $BM=DN$，
∴ $OM=ON$.
∵ $∠AOM=∠CON$，
∴ $△AOM≌△CON(SAS)$.
∴ $AM=CN$. 法二：如图，连接$CM,AN$. 在$□ABCD$中，$OA=OC$，$OB=OD$.
∵ $BM=DN$，
∴ $OM=ON$.
∴ 四边形$AMCN$是平行四边形.
∴ $AM=CN$.

【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定
【点评】
本题解法灵活，可通过全等三角形、平行四边形判定两种思路求解，解题的核心是熟练应用平行四边形对角线互相平分的性质，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

8. 如图21-13,在$□ ABCD$中,AC,BD相交于点O,延长CD到点E,使$CD=DE$,连接AE.
(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;
(2)连接BE,交AD于点F,连接OF,则CE与OF的关系为
.

图21-13

8. (1)
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AB=CD$.
∵ $CD=DE$，
∴ $AB=DE$.
∴ 四边形$ABDE$是平行四边形. (2)$CE// OF$ 且 $CE=4OF$

【分析】
（1）要证明四边形ABDE是平行四边形，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理推导：首先根据平行四边形ABCD的性质得到AB与CD的位置和数量关系，再结合已知CD=DE，即可推出AB与DE平行且相等，完成证明。
（2）探究CE与OF的关系需分别分析位置关系和数量关系：首先由平行四边形ABDE的对角线互相平分，可得F是AD的中点；再结合平行四边形ABCD对角线互相平分的性质，可得O是AC的中点，由此可知OF是△ACD的中位线，利用中位线性质得到OF与CD的位置、数量关系，最后结合CE=2CD的条件，即可推出CE与OF的关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AB=CD$。
∵ $CD=DE$，
∴ $AB=DE$，且$AB// DE$，
∴ 四边形$ABDE$是平行四边形。
(2) 推导：
由(1)得四边形ABDE是平行四边形，其对角线AD、BE交于点F，
∴ F是AD的中点（平行四边形对角线互相平分）。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴ O是AC的中点（平行四边形对角线互相平分）。
∴ OF是△ACD的中位线，根据三角形中位线定理可得：$OF// CD$，$OF=\frac{1}{2}CD$。
又
∵ $CE=CD+DE=2CD$，
∴ $CD=\frac{1}{2}CE$，代入得$OF=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}CE=\frac{1}{4}CE$，即$CE=4OF$。
又
∵ $OF// CD$，点C、D、E共线，故$OF// CE$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $CE// OF$且$CE=4OF$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理
【点评】
本题属于四边形的基础综合题，核心考查平行四边形的判定、性质及三角形中位线定理的应用，解题时需注意探究两条线段的关系要同时考虑位置关系和数量关系，此类题型是四边形章节的常规考法，熟练掌握相关性质定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.6