8.综合与探究
【感知】如图21-5①,在$△ ABC$中,BP,CP分别是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线.
【应用】
(1)若$∠ ABC=50°,∠ ACB=70°$,则$∠ BPC$的度数为________;若$∠ BAC=70°$,则$∠ BPC$的度数为________.
(2)求$∠ BPC$与$∠ A$之间的数量关系并证明.
【拓展】
(3)如图21-5②,在四边形ABCD中,BP,CP分别是$∠ ABC$和$∠ BCD$的平分线,求$∠ BPC$与$∠ A+∠ D$之间的数量关系.

8. (1)$120°$ $125°$
(2)$∠ BPC=90°+\frac{1}{2}∠ A$. 证明：
∵ BP,CP分别是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线，
∴ $∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ACB$.
∴ $∠ BPC=180°-∠ PBC-∠ PCB=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ A)=90°+\frac{1}{2}∠ A$.
(3)$∠ A+∠ D=2∠ BPC$. 如图，延长BA,CD交于点E，由(2)知，$∠ BPC=90°+\frac{1}{2}∠ E$. 由条件可知，$∠ BAD+∠ CDA=∠ E+∠ ADE+∠ DAE=180°+∠ E$.
∴ $∠ E=∠ BAD+∠ CDA-180°$.
∴ $∠ BPC=90°+\frac{1}{2}∠ E = 90°+\frac{1}{2}(∠ BAD+∠ CDA - 180°) = 90° + \frac{1}{2}(∠ BAD+∠ CDA) -90° = \frac{1}{2}(∠ BAD + ∠ CDA)$，即$∠ BAD+∠ CDA=2∠ BPC$.

【分析】
(1) 第一空已知两个底角的度数，先根据角平分线定义求出两个底角一半的度数，再利用三角形内角和为180°即可计算出∠BPC的度数；第二空已知∠BAC的度数，先由三角形内角和求出∠ABC与∠ACB的和，再计算两个角一半的和，最后用180°减去这个和就能得到∠BPC的度数。
(2) 推导∠BPC与∠A的数量关系时，沿用(1)的思路，将具体数值替换为角的通用表示，结合角平分线定义和三角形内角和定理，把∠ABC+∠ACB替换为180°-∠A，整理即可得到结论。
(3) 解决四边形中的问题时，通过延长BA、CD构造三角形，将四边形问题转化为已经解决的三角形双角平分线夹角问题，先利用(2)的结论得到∠BPC和新构造的∠E的关系，再结合三角形外角性质找到∠A+∠D和∠E的关系，代入化简即可得到结果。
【解析】
(1) ①已知∠ABC=50°，∠ACB=70°，BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，
∴$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC=25°$，$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ACB=35°$，
在△PBC中，$∠ BPC=180°-∠ PBC-∠ PCB=180°-25°-35°=120°$。
②已知∠BAC=70°，在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=110°$，
∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，
∴$∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=55°$，
在△PBC中，$∠ BPC=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-55°=125°$。
(2) 数量关系：$∠ BPC=90°+\frac{1}{2}∠ A$，证明如下：
∵BP，CP分别是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线，
∴$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△PBC中，$∠ BPC=180°-∠ PBC-∠ PCB$
$=180°-(∠ PBC+∠ PCB)$
$=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$，代入上式得：
$∠ BPC=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ A)=90°+\frac{1}{2}∠ A$。
(3) 数量关系：$∠ A+∠ D=2∠ BPC$，推导如下：
如图，延长BA、CD交于点E，
由(2)的结论可知，在△BEC中，$∠ BPC=90°+\frac{1}{2}∠ E$。
∵∠BAD、∠CDA都是△EAD的外角，
∴$∠ BAD=∠ E+∠ ADE$，$∠ CDA=∠ E+∠ DAE$，
∴$∠ BAD+∠ CDA=∠ E+∠ ADE+∠ E+∠ DAE=∠ E+(∠ ADE+∠ E+∠ DAE)=∠ E+180°$，
整理得$∠ E=∠ BAD+∠ CDA-180°$，
将∠E代入$∠ BPC=90°+\frac{1}{2}∠ E$得：
$∠ BPC=90°+\frac{1}{2}(∠ BAD+∠ CDA - 180°)=\frac{1}{2}(∠ BAD+∠ CDA)$，
即$∠ A+∠ D=2∠ BPC$。
【答案】
(1)$120°$；$125°$
(2)$∠ BPC=90°+\frac{1}{2}∠ A$，证明见解析
(3)$∠ A+∠ D=2∠ BPC$，推导见解析

【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 三角形内角和定理
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题是双角平分线夹角模型的典型应用，从三角形场景拓展到四边形场景，既考察了基础几何性质的应用，也考察了知识迁移、构造辅助线转化陌生问题的能力，掌握该类基础模型能有效提升同类型题的解题效率。
【难度系数】
0.7

二、平行四边形的性质与判定
1. 如图 21-6, $□ ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O, AB ⊥ AC$, 若 $AB = 4$, $AC = 4\sqrt{5}$, 则 $BD$ 的长是（）

A.$8\sqrt{5}$
B.$8\sqrt{6}$
C.$8$
D.$12$

1.D

【分析】
解题思路如下：首先回忆平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，由此可以先求出对角线AC的一半即OA的长度；已知AB⊥AC，可得△ABO是直角三角形，结合已知AB的长度，利用勾股定理可求出OB的长度；最后根据BD=2OB即可算出BD的长，对应选出正确选项。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴对角线互相平分，即$OA = \frac{1}{2}AC$，$OB = \frac{1}{2}BD$
已知$AC = 4\sqrt{5}$，
∴$OA = \frac{1}{2} × 4\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$
又
∵$AB⊥AC$，
∴$∠BAO = 90°$，△ABO为直角三角形
在Rt△ABO中，$AB=4$，$OA=2\sqrt{5}$，由勾股定理得：
$OB = \sqrt{AB^2 + OA^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{16 + 20} = \sqrt{36} = 6$
∴$BD = 2OB = 2×6 = 12$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理
【点评】
本题是平行四边形性质与勾股定理结合的基础题型，解题的关键是熟练运用平行四边形对角线互相平分的性质转化线段长度，找到直角三角形利用勾股定理计算未知线段，是四边形章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8

2. 如图 21-7,在四边形 ABCD 中, $AD // BC$,对角线 AC 和 BD 交于点 O,要使四边形 ABCD 成为平行四边形,则可以添加的条件是 ()

A.$AB=CD$
B.$AC=BD$
C.$AO=DO$
D.$AO=CO$


图21-6
图21-7

2.D

【分析】
首先已知四边形ABCD中AD//BC，要判定它为平行四边形，需结合平行四边形的判定定理，逐一分析各选项：先回忆平行四边形的判定方法，包括一组对边平行且相等、两组对边分别平行、对角线互相平分等，再判断每个选项添加后能否满足判定条件，同时注意排除等腰梯形这类满足部分条件但不是平行四边形的情况。
【解析】
已知AD//BC，可得∠OAD=∠OCB，∠ADO=∠OBC（两直线平行，内错角相等）。
对各选项分析如下：
A. 添加AB=CD时，四边形ABCD可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，不符合要求；
B. 添加AC=BD时，等腰梯形也满足对角线相等，无法判定为平行四边形，不符合要求；
C. 添加AO=DO时，无法推导得到AD=BC或AB//CD，不能判定为平行四边形，不符合要求；
D. 添加AO=CO时，在△AOD和△COB中：
$\{\begin{array}{l}∠ OAD=∠ OCB\\ ∠ ADO=∠ CBO\\ AO=CO\end{array} $
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴AD=BC，
又
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定；全等三角形的判定；平行线的性质
【点评】
本题是平行四边形判定的基础应用题，解题时要结合已知的平行条件，灵活选用判定定理，同时注意区分平行四边形和等腰梯形的性质差异，避免错选。
【难度系数】
0.7

3. 如图 21-8, 在 $□ ABCD$ 中, $AB=6$, $BC=8, ∠ BCD$ 的平分线交 $AD$ 于点 $E$, 交 $BA$ 的延长线于点 $F$, 则 $AE+AF$ 的值等于
$\begin{pmatrix}A. 2 & B. 3 & C. 4 & D. 6\end{pmatrix}$

3.C

【分析】
解题时先从平行四边形的性质入手，明确对边平行且相等的关系，再结合角平分线的定义，利用“平行线+角平分线可推导等腰三角形”的常用结论，分别求出AE和AF的长度，最后求和得到结果。具体思考步骤：①先根据平行四边形对边相等得到AD、CD的长度；②结合AD//BC和角平分线，得到△DEC为等腰三角形，求出DE后即可计算AE；③结合BF//CD和角平分线，得到△FBC为等腰三角形，求出BF后即可计算AF；④将AE与AF相加得到最终答案。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，AD=BC=8，CD=AB=6，
∴∠DEC=∠BCE（两直线平行，内错角相等），∠F=∠DCE（两直线平行，内错角相等），
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∴∠DEC=∠DCE，∠F=∠BCE，
∴DE=DC=6（等角对等边），BF=BC=8（等角对等边），
∴AE=AD-DE=8-6=2，
AF=BF-AB=8-6=2，
∴AE+AF=2+2=4。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题是四边形的基础题型，核心考查平行四边形性质与等腰三角形判定的结合，解题关键是熟练掌握“平行线+角平分线”的组合能推出等腰三角形的规律，该规律在几何题中应用十分广泛。
【难度系数】
0.7