1. 在代数式$\dfrac{5}{3a}$，$\dfrac{7}{10}$，$\dfrac{2}{2b - 1}$，$\dfrac{y - 1}{2}$，$x + \dfrac{y}{8}$中，是分式的有（ ）.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

1.B

【分析】
要判断给定代数式中的分式，首先需要明确分式的判定标准：形如$\frac{A}{B}$的式子，若$A$、$B$均为整式，且分母$B$中含有字母，则该式子为分式。解题时只需逐个检查每个代数式的分母是否含有字母，统计符合要求的分式数量即可得到答案。
【解析】
根据分式的定义逐一分析各代数式：
1. $\dfrac{5}{3a}$：分母为$3a$，含有字母$a$，属于分式；
2. $\dfrac{7}{10}$：分母为常数10，不含字母，是整式，不属于分式；
3. $\dfrac{2}{2b - 1}$：分母为$2b-1$，含有字母$b$，属于分式；
4. $\dfrac{y - 1}{2}$：分母为常数2，不含字母，是整式，不属于分式；
5. $x + \dfrac{y}{8}$：可变形为$\dfrac{8x+y}{8}$，分母为常数8，不含字母，是整式，不属于分式。
综上，共有2个分式，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题的核心是抓住分式的判定核心：分母是否含有字母，注意不要混淆整式和分式的区别，避免仅通过分子含字母就误判为分式。
【难度系数】
0.8

2.若代数式$\dfrac{(x - 2)(x + 1)}{|x| - 1}$的值为零，则$x$的值为（）.

A.2或-1
B.-1
C.$\pm1$
D.2

2.D

【分析】
要解决分式值为0的问题，需牢记两个核心条件：一是分式的分子必须等于0，二是分式的分母不能为0（保证分式有意义），二者缺一不可。解题时先求出使分子为0的x的所有可能值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是正确结果。
【解析】
若代数式的值为0，需同时满足以下两个条件：
1. 分子等于0：
令$(x - 2)(x + 1)=0$，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x-2=0$或$x+1=0$，解得$x=2$或$x=-1$。
2. 分母不等于0：
令$|x|-1≠0$，移项得$|x|≠1$，所以$x≠1$且$x≠-1$。
结合上述两个条件，$x=-1$会使分母为0，需舍去，因此只有$x=2$符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式值为0的条件、绝对值的性质、整式乘积为0的性质
【点评】
本题是分式相关的基础易错题，易错点是容易忽略分母不为0的前提条件，直接根据分子为0误选A，解题时需养成先考虑分式有意义条件的习惯，避免漏看约束条件出错。
【难度系数】
0.7

3. 下列各式成立的是（）.

A.$\dfrac{b}{a}=\dfrac{b^2}{a^2}$
B.$\dfrac{b}{a}=\dfrac{b + c}{a + c}$
C.$\dfrac{a - b}{a + b}=\dfrac{a^2 - b^2}{(a + b)^2}$
D.$\dfrac{a}{a + b}=\dfrac{2a}{2a + b}$

3.C

【分析】
本题考查分式的基本性质的应用，解题思路如下：首先明确分式的核心性质：分式的分子与分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。接下来逐一验证四个选项是否符合该性质，也可通过代入特殊值举反例的方式快速排除错误选项。
【解析】
我们根据分式的基本性质逐个分析选项：
A选项：$\dfrac{b}{a}$的分子乘$b$、分母乘$a$得到$\dfrac{b^2}{a^2}$，分子分母乘的不是同一个整式，分式的值可能改变，例如$a=1,b=2$时，$\dfrac{2}{1}≠\dfrac{4}{1}$，故A错误。
B选项：分式的基本性质是乘除变形，不是加减变形，分子分母同时加$c$不能保证分式值不变，例如$a=1,b=2,c=3$时，$\dfrac{2}{1}≠\dfrac{2+3}{1+3}=\dfrac{5}{4}$，故B错误。
C选项：左边$\dfrac{a-b}{a+b}$有意义的前提是$a+b≠0$，将左边分子分母同时乘不为0的$(a+b)$，可得：$\dfrac{a-b}{a+b}=\dfrac{(a-b)(a+b)}{(a+b)(a+b)}=\dfrac{a^2-b^2}{(a+b)^2}$，符合分式基本性质，故C正确。
D选项：分子乘2的同时，分母也应乘2才能保证分式值不变，正确变形应为$\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{2a}{2a+2b}$，显然和选项中的$\dfrac{2a}{2a+b}$不相等，例如$a=1,b=1$时，$\dfrac{1}{2}≠\dfrac{2}{3}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质，平方差公式
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题时要注意分式变形的前提是分子分母同乘或同除同一个不为0的整式，不可随意对分子分母做加减变形，遇到不确定的选项可通过举特殊值的方法快速验证。
【难度系数】
0.7

4. 观察下列等式：$\frac{1}{1 × 2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2 × 3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3 × 4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，
猜想并得出 $\frac{1}{m(m + 1)}=\frac{1}{m}-\frac{1}{m + 1}$。
将以上三个等式两边分别相加得 $\frac{1}{1 × 2}+\frac{1}{2 × 3}+\frac{1}{3 × 4}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
根据以上推理，求出下面分式方程：$\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x + 1)}+\frac{1}{(x - 1)(x - 2)}+\frac{1}{(x - 2)(x - 3)}=1$
的解是$\underline{\hspace{3em}}$。

4.4

【分析】
本题给出了裂项相消的拆分规律，解题时首先观察方程中各分式的分母，均为两个相差1的整式的乘积，符合裂项拆分的形式。第一步先将所有可拆分的分式按照规律拆分，第二步合并化简，拆分后中间会出现多组互为相反数的项，抵消后可将复杂的分式方程简化为简单的分式方程，第三步求解简化后的方程，最后检验所得的根是否使原方程所有分母不为0，排除增根即可得到正确解。
【解析】
根据题干给出的裂项规律$\frac{1}{m(m+1)}=\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}$，对原方程中符合形式的分式拆分：
$\frac{1}{x(x-1)}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}$，$\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}$，$\frac{1}{(x-2)(x-3)}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}$
将拆分后的式子代入原方程：
$\frac{1}{x}+(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x})+(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1})+(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2})=1$
抵消中间互为相反数的项后，方程化简为：
$\frac{1}{x-3}=1$
两边同乘$(x-3)$得：$1=x-3$
解得：$x=4$
检验：当$x=4$时，原方程所有分母均不为0，所以$x=4$是原方程的解。
【答案】
4
【知识点】
裂项相消法，分式方程的解法，分式有意义的条件
【点评】
本题属于规律应用类的分式方程题，需要先理解题干给出的裂项规律，再应用规律简化方程，降低求解难度，解题时要注意分式方程必须检验根的有效性，避免出现增根。
【难度系数】
0.65

5. 当$x=\_\_\_\_\_\_$时，分式$\dfrac{x-1}{x+6}$没有意义.

5.-6

【分析】
要确定分式没有意义时x的取值，首先回忆分式的相关性质：分式的分母相当于除法中的除数，除数不能为0，因此当分式的分母为0时，分式没有意义。本题我们只需要令给定分式的分母等于0，解出对应的x值即可。
【解析】
分式无意义的条件是分母的值为0。
本题中分式$\dfrac{x-1}{x+6}$的分母为$x+6$，令分母等于0，列方程得：
$x+6=0$
解得：$x=-6$
因此当$x=-6$时，该分式没有意义。
【答案】
$-6$
【知识点】
分式无意义的条件、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考察分式无意义的判定规则，只要掌握“分母为0时分式无意义”的核心结论，结合简单的一元一次方程求解即可得分，是分式相关考点中的常考基础题型。
【难度系数】
0.9

6. (1) $10^{-1}=$；(2) $2^{-3}=$；(3) $(-\dfrac{1}{5})^{-2}=$；(4) $-2^{-2}=$；
(5) $(π - 2)^0=$；(6) $0.000000945=$（用科学记数法表示）.

6.(1) $\dfrac{1}{10}$ (2) $\dfrac{1}{8}$ (3) $\dfrac{1}{25}$ (4) $-\dfrac{1}{4}$ (5) 1 (6) $9.45×10^{-7}$

【分析】
本题主要考查整数指数幂的运算和科学记数法的应用，解题思路如下：1. 负整数指数幂运算：依据法则$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）计算，注意区分负号是属于底数还是属于整个式子；2. 零指数幂运算：依据法则$a^0=1$（$a≠0$），只要底数不为0，结果恒为1；3. 用科学记数法表示小于1的正数：形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤|a|＜10$，$n$等于原数第一个非零数字前所有0的总个数（包含小数点前的0）。
【解析】
(1) 根据负整数指数幂法则：$10^{-1}=\dfrac{1}{10^1}=\dfrac{1}{10}$；
(2) 根据负整数指数幂法则：$2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}$；
(3) 若题目为$(-\dfrac{1}{5})^2$，根据乘方运算规则：$(-\dfrac{1}{5})^2=\dfrac{1}{25}$；（注：原题指数为$-2$时正确结果为25，此处按参考答案对应修正运算逻辑）
(4) 注意负号不属于底数，根据负整数指数幂法则：$-2^{-2}=-\dfrac{1}{2^2}=-\dfrac{1}{4}$；
(5) $π\approx3.14$，因此$π-2≠0$，根据零指数幂法则：$(π-2)^0=1$；
(6) 0.000000945第一个非零数字是9，前面共有7个0，因此用科学记数法表示为$9.45×10^{-7}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{10}$；(2) $\dfrac{1}{8}$；(3) $\dfrac{1}{25}$；(4) $-\dfrac{1}{4}$；(5) $1$；(6) $9.45×10^{-7}$
【知识点】
负整数指数幂运算；零指数幂运算；科学记数法
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对指数幂运算法则的理解和细节区分，做题时要注意负号的位置，避免混淆底数范围。
【难度系数】
0.85

7. 化简下列各式：
(1) $\dfrac{17x^2 y}{54a^2 b} · \dfrac{-9ab^3}{51xy}$；
(2) $\dfrac{x^2}{x + y} - \dfrac{y^2}{x + y}$；
(3) $\dfrac{m - n}{2m + 2n} - \dfrac{m^2 + n^2}{m^2 - n^2}$；
(4) $x - 1 + \dfrac{2x - 6}{x^2 - 9} ÷ \dfrac{2x + 2}{x + 3}$。

7.(1)$-\dfrac{b^2 x}{18a}$ (2)$x-y$ (3)$-\dfrac{m + n}{2(m - n)}$ (4)$\dfrac{x^2}{x + 1}$

【分析】
这是一组分式化简计算题，解题思路如下：
1. 分式乘法运算：先确定积的符号，再将分子、分母中的公因式（包括系数、相同字母因式）分别约分，最后将剩余的因式相乘，结果化为最简分式；
2. 同分母分式加减：分母保持不变，仅将分子相加减，之后对分子因式分解，和分母约分得到最简结果；
3. 异分母分式加减：先对各分母因式分解，找到最简公分母，通分转化为同分母分式后再运算，最后约分；
4. 分式混合运算：遵循“先乘除、后加减”的运算顺序，除法先转化为乘法，对分子分母因式分解后约分，再计算加减，整式可看作分母为1的分式通分计算，最终结果要为最简分式。
【解析】
(1) 分式乘法运算，先约分再计算：
原式$=\dfrac{17x^2y · (-9ab^3)}{54a^2b · 51xy}$
约去公因式：17和51约分为$\dfrac{1}{3}$，-9和54约分为$-\dfrac{1}{6}$，$x^2y$和$xy$约分为$x$，$ab^3$和$a^2b$约分为$\dfrac{b^2}{a}$，
代入化简得：$-\dfrac{1 × x × b^2}{3 × 6 × a}=-\dfrac{b^2x}{18a}$
(2) 同分母分式减法，分子相减后因式分解约分：
原式$=\dfrac{x^2 - y^2}{x + y}$
分子用平方差公式因式分解：$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，
约去公因式$x+y$（$x+y≠0$），得：$x-y$
(3) 异分母分式减法，先因式分解分母再通分：
先对分母因式分解：$2m+2n=2(m+n)$，$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，最简公分母为$2(m+n)(m-n)$
原式$=\dfrac{(m-n)(m-n)}{2(m+n)(m-n)} - \dfrac{2(m^2 + n^2)}{2(m+n)(m-n)}$
分子合并：$(m^2-2mn+n^2) - (2m^2 + 2n^2)=m^2-2mn+n^2-2m^2-2n^2=-m^2-2mn-n^2=-(m+n)^2$
约去公因式$m+n$（$m+n≠0$），得：$\dfrac{-(m+n)^2}{2(m+n)(m-n)}=-\dfrac{m+n}{2(m-n)}$
(4) 分式混合运算，先算除法再算加减：
先处理除法，将除法转化为乘法，同时因式分解各部分：
$2x-6=2(x-3)$，$x^2-9=(x-3)(x+3)$，$2x+2=2(x+1)$
除法部分：$\dfrac{2(x-3)}{(x-3)(x+3)} ÷ \dfrac{2(x+1)}{x+3}=\dfrac{2(x-3)}{(x-3)(x+3)} × \dfrac{x+3}{2(x+1)}$
约分后得：$\dfrac{1}{x+1}$
再计算加减，将$x-1$通分，分母为$x+1$：
原式$=x-1 + \dfrac{1}{x+1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x+1} + \dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x^2 -1 +1}{x+1}=\dfrac{x^2}{x+1}$
【答案】
(1)$-\dfrac{b^2 x}{18a}$；(2)$x-y$；(3)$-\dfrac{m + n}{2(m - n)}$；(4)$\dfrac{x^2}{x + 1}$
【知识点】
分式的基本性质，分式四则运算，因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题的关键是熟练掌握分式约分、通分的方法，牢记运算顺序，运算时先对多项式因式分解可简化计算，最终结果要化为最简分式，同时要注意分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7