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10. (1)观察下列各数：$1,\dfrac{4}{3},\dfrac{9}{7},\dfrac{16}{15},···$，按照这样的规律，第5个数为________；
(2)如图，一个点表示一个数，不同位置的点表示不同的数，每行各点所表示的数自左向右按从小到大的顺序排列，且相邻两个点所表示的数相差1，每行数的和等于右边相应的数字.那么表示2025的点在第________行，从左向右第________个位置.
(2)如图，一个点表示一个数，不同位置的点表示不同的数，每行各点所表示的数自左向右按从小到大的顺序排列，且相邻两个点所表示的数相差1，每行数的和等于右边相应的数字.那么表示2025的点在第________行，从左向右第________个位置.
答案
10.(1)$\frac{25}{31}$ (2)45 89
解析
【分析】
(1) 解决数列规律题可将分子、分母拆分分别找规律：观察可知分子是对应序数的平方，分母是2的序数次方减1，代入序数5即可求出第5个数。
(2) 先分析每行数字的特征：第n行有(2n-1)个连续正整数，前n行的总数字个数为n²，即第n行的最后一个数正好是n²。先计算2025是哪个数的平方确定行数，再根据该行的总数字个数确定2025的位置。
【解析】
(1) 观察数列：
分子部分：第1个数分子为$1^2=1$，第2个数分子为$2^2=4$，第3个数分子为$3^2=9$，第4个数分子为$4^2=16$，可得第n个数的分子为$n^2$，因此第5个数的分子为$5^2=25$；
分母部分：第1个数分母为$2^1-1=1$，第2个数分母为$2^2-1=3$，第3个数分母为$2^3-1=7$，第4个数分母为$2^4-1=15$，可得第n个数的分母为$2^n-1$，因此第5个数的分母为$2^5-1=31$；
所以第5个数为$\frac{25}{31}$。
(2) 观察图形规律：
① 每行数字个数：第1行有1个，第2行有3个，第3行有5个，可推出第n行共有$(2n-1)$个数字，所有数字是从1开始的连续正整数，相邻两个数差1；
② 前n行总数字个数：$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$，因此第n行的最后一个数为$n^2$；
计算得$45^2=2025$，说明2025是第45行的最后一个数；
第45行的总数字个数为$2×45-1=89$，因此2025在第45行从左向右第89个位置。
【答案】
(1)$\dfrac{25}{31}$；(2)45，89
【知识点】
数列规律探究；整式的规律探究；有理数运算
【点评】
本题属于规律探究类常见题型，第一问拆分分子分母分别找规律即可求解，第二问需要先梳理每行数字个数、前n行总个数的特征，找到每行末尾数的规律即可快速解题，需要具备一定的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.65
(1) 解决数列规律题可将分子、分母拆分分别找规律：观察可知分子是对应序数的平方，分母是2的序数次方减1，代入序数5即可求出第5个数。
(2) 先分析每行数字的特征：第n行有(2n-1)个连续正整数，前n行的总数字个数为n²，即第n行的最后一个数正好是n²。先计算2025是哪个数的平方确定行数，再根据该行的总数字个数确定2025的位置。
【解析】
(1) 观察数列：
分子部分：第1个数分子为$1^2=1$，第2个数分子为$2^2=4$，第3个数分子为$3^2=9$，第4个数分子为$4^2=16$，可得第n个数的分子为$n^2$，因此第5个数的分子为$5^2=25$；
分母部分：第1个数分母为$2^1-1=1$，第2个数分母为$2^2-1=3$，第3个数分母为$2^3-1=7$，第4个数分母为$2^4-1=15$，可得第n个数的分母为$2^n-1$，因此第5个数的分母为$2^5-1=31$；
所以第5个数为$\frac{25}{31}$。
(2) 观察图形规律：
① 每行数字个数：第1行有1个，第2行有3个，第3行有5个，可推出第n行共有$(2n-1)$个数字，所有数字是从1开始的连续正整数，相邻两个数差1；
② 前n行总数字个数：$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$，因此第n行的最后一个数为$n^2$；
计算得$45^2=2025$，说明2025是第45行的最后一个数；
第45行的总数字个数为$2×45-1=89$，因此2025在第45行从左向右第89个位置。
【答案】
(1)$\dfrac{25}{31}$；(2)45，89
【知识点】
数列规律探究；整式的规律探究；有理数运算
【点评】
本题属于规律探究类常见题型，第一问拆分分子分母分别找规律即可求解，第二问需要先梳理每行数字个数、前n行总个数的特征，找到每行末尾数的规律即可快速解题，需要具备一定的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.65
11.(1)某校暑假组织该校“三好学生”去北京旅游，由3名老师带队，甲旅行社说：“如果带队老师买全票，则学生可享受半价优惠”，乙旅行社说：“包括带队老师在内全部按全票价的6折优惠”.若一个人的全票价是800元，设学生人数为x，分别计算两家旅行社的费用；
(2)一种商品每件成本为a元，原来按成本增加20%定价，现在由于库存积压进行降价，按原价的85%出售.原来每件售价多少元？现在每件售价多少元？现在每件盈利多少元？
(2)一种商品每件成本为a元，原来按成本增加20%定价，现在由于库存积压进行降价，按原价的85%出售.原来每件售价多少元？现在每件售价多少元？现在每件盈利多少元？
答案
11.解:(1)选择甲旅行社的费用为 $3×800+800x×0.5=(2400+400x)$元；
选择乙旅行社的费用为 $800×(x+3)×0.6=(480x+1440)$元.
(2)原来每件售价为$(1+20\%)a=1.2a$(元)，
现在每件售价为$1.2a×85\%=1.02a$(元)，
现在每件盈利$1.02a-a=0.02a$(元).
选择乙旅行社的费用为 $800×(x+3)×0.6=(480x+1440)$元.
(2)原来每件售价为$(1+20\%)a=1.2a$(元)，
现在每件售价为$1.2a×85\%=1.02a$(元)，
现在每件盈利$1.02a-a=0.02a$(元).
解析
【分析】
(1)计算两家旅行社费用时，先明确各自收费规则：甲旅行社费用分为3名老师的全票费用和x名学生的半价票费用两部分，分别计算后求和即可；乙旅行社是所有人员（3名老师+x名学生）统一按全票价6折收费，先算总人数，再乘单人折后票价就能得到总费用。
(2)解决销售类问题需理清对应数量关系：原售价=成本×(1+成本加价百分比)，现售价=原售价×折扣率，盈利=现售价-成本，将题目给出的字母代入对应关系即可列出代数式。
【解析】
(1)已知单人全票价为800元，学生人数为x：
甲旅行社总费用 = 老师全票总费用 + 学生半价总费用，即：
$3×800 + 800×0.5× x = 2400+400x$（元）
乙旅行社总费用 = 总人数×单人6折票价，即：
$800×0.6×(x+3)=480(x+3)=480x+1440$（元）
(2)已知每件商品成本为a元：
原售价按成本增加20%定价，即原售价为：
$(1+20\%)a=1.2a$（元）
现售价按原价的85%出售，即现售价为：
$1.2a×85\%=1.02a$（元）
盈利=现售价-成本，即每件盈利为：
$1.02a - a=0.02a$（元）
【答案】
(1)甲旅行社费用为$\boldsymbol{(2400+400x)}$元，乙旅行社费用为$\boldsymbol{(480x+1440)}$元；
(2)原来每件售价为$\boldsymbol{1.2a}$元，现在每件售价为$\boldsymbol{1.02a}$元，现在每件盈利为$\boldsymbol{0.02a}$元。
【知识点】
列代数式、代数式化简、销售盈亏计算
【点评】
本题考查代数式的实际应用，解题核心是准确理解题目中的规则描述，梳理清楚各数量之间的运算关系，将文字信息转化为代数式即可求解，是基础的应用型题目。
【难度系数】
0.8
(1)计算两家旅行社费用时，先明确各自收费规则：甲旅行社费用分为3名老师的全票费用和x名学生的半价票费用两部分，分别计算后求和即可；乙旅行社是所有人员（3名老师+x名学生）统一按全票价6折收费，先算总人数，再乘单人折后票价就能得到总费用。
(2)解决销售类问题需理清对应数量关系：原售价=成本×(1+成本加价百分比)，现售价=原售价×折扣率，盈利=现售价-成本，将题目给出的字母代入对应关系即可列出代数式。
【解析】
(1)已知单人全票价为800元，学生人数为x：
甲旅行社总费用 = 老师全票总费用 + 学生半价总费用，即：
$3×800 + 800×0.5× x = 2400+400x$（元）
乙旅行社总费用 = 总人数×单人6折票价，即：
$800×0.6×(x+3)=480(x+3)=480x+1440$（元）
(2)已知每件商品成本为a元：
原售价按成本增加20%定价，即原售价为：
$(1+20\%)a=1.2a$（元）
现售价按原价的85%出售，即现售价为：
$1.2a×85\%=1.02a$（元）
盈利=现售价-成本，即每件盈利为：
$1.02a - a=0.02a$（元）
【答案】
(1)甲旅行社费用为$\boldsymbol{(2400+400x)}$元，乙旅行社费用为$\boldsymbol{(480x+1440)}$元；
(2)原来每件售价为$\boldsymbol{1.2a}$元，现在每件售价为$\boldsymbol{1.02a}$元，现在每件盈利为$\boldsymbol{0.02a}$元。
【知识点】
列代数式、代数式化简、销售盈亏计算
【点评】
本题考查代数式的实际应用，解题核心是准确理解题目中的规则描述，梳理清楚各数量之间的运算关系，将文字信息转化为代数式即可求解，是基础的应用型题目。
【难度系数】
0.8
12.观察下列等式：
①$2^{2}-2^{1}=4-2=2^{1}$；
②$2^{3}-2^{2}=8-4=2^{2}$；
③$2^{4}-2^{3}=16-8=2^{3}$；
……
(1)请写出第④个等式：$\underline{2^{5}-2^{4}=32-16=2^{4}}$；
(2)根据你发现的规律，用含字母$n$的式子表示第ⓝ个等式：$\underline{2^{n+1}-2^{n}=2^{n}}$；
(3)请利用上述规律计算：$2^{1}+2^{2}+\dots+2^{1000}$。
①$2^{2}-2^{1}=4-2=2^{1}$；
②$2^{3}-2^{2}=8-4=2^{2}$；
③$2^{4}-2^{3}=16-8=2^{3}$；
……
(1)请写出第④个等式：$\underline{2^{5}-2^{4}=32-16=2^{4}}$；
(2)根据你发现的规律，用含字母$n$的式子表示第ⓝ个等式：$\underline{2^{n+1}-2^{n}=2^{n}}$；
(3)请利用上述规律计算：$2^{1}+2^{2}+\dots+2^{1000}$。
答案
12.(1)$2^{5}-2^{4}=32-16=2^{4}$
(2)$2^{n+1}-2^{n}=2^{n}$
(3)解:因为$2^{2}-2^{1}=4-2=2^{1}$,$2^{3}-2^{2}=8-4=2^{2}$,…,$2^{1001}-2^{1000}=2^{1000}$,
所以原式$=2^{2}-2^{1}+2^{3}-2^{2}+…+2^{1001}-2^{1000}=2^{1001}-2$.
(2)$2^{n+1}-2^{n}=2^{n}$
(3)解:因为$2^{2}-2^{1}=4-2=2^{1}$,$2^{3}-2^{2}=8-4=2^{2}$,…,$2^{1001}-2^{1000}=2^{1000}$,
所以原式$=2^{2}-2^{1}+2^{3}-2^{2}+…+2^{1001}-2^{1000}=2^{1001}-2$.
解析
【分析】
(1)观察前3个等式可知，第k个等式左侧为2的(k+1)次方减2的k次方，右侧为2的k次方，第④个等式对应k=4，按此规律书写即可；
(2)结合前几个等式的规律，将序号替换为n推导：$2^{n+1}$是2个$2^n$，减去1个$2^n$后剩余1个$2^n$，即可得到第n个通用等式；
(3)根据得到的规律，每一项$2^k$都可以写成$2^{k+1}-2^k$的形式，将原式所有项按此替换后，中间项会相互抵消，仅剩下首尾两项，计算即可得到结果。
【解析】
(1) 按照规律，第④个等式k=4，因此：
$2^{5}-2^{4}=32-16=2^{4}$
(2) 第n个等式左侧为$2^{n+1}-2^n$，计算得：
$2^{n+1}-2^n=2×2^n - 2^n=(2-1)×2^n=2^n$
因此第n个等式为：$2^{n+1}-2^n=2^n$
(3) 根据规律可得：$2^1=2^2-2^1$，$2^2=2^3-2^2$，……，$2^{1000}=2^{1001}-2^{1000}$，代入原式：
$\begin{aligned}2^{1}+2^{2}+\dots+2^{1000}&=(2^2-2^1)+(2^3-2^2)+\dots+(2^{1001}-2^{1000})\\&=2^{1001}-2^1\\&=2^{1001}-2\end{aligned}$
【答案】
(1)$2^{5}-2^{4}=32-16=2^{4}$
(2)$2^{n+1}-2^{n}=2^{n}$
(3)$2^{1001}-2$
【知识点】
乘方运算，规律探究，简便计算
【点评】
本题以乘方运算为载体，重点考查观察、归纳数字规律的能力，以及运用规律简化运算的应用能力，解题核心是准确提炼等式的通用表达，掌握裂项相消的运算技巧。
【难度系数】
0.7
(1)观察前3个等式可知，第k个等式左侧为2的(k+1)次方减2的k次方，右侧为2的k次方，第④个等式对应k=4，按此规律书写即可；
(2)结合前几个等式的规律，将序号替换为n推导：$2^{n+1}$是2个$2^n$，减去1个$2^n$后剩余1个$2^n$，即可得到第n个通用等式；
(3)根据得到的规律，每一项$2^k$都可以写成$2^{k+1}-2^k$的形式，将原式所有项按此替换后，中间项会相互抵消，仅剩下首尾两项，计算即可得到结果。
【解析】
(1) 按照规律，第④个等式k=4，因此：
$2^{5}-2^{4}=32-16=2^{4}$
(2) 第n个等式左侧为$2^{n+1}-2^n$，计算得：
$2^{n+1}-2^n=2×2^n - 2^n=(2-1)×2^n=2^n$
因此第n个等式为：$2^{n+1}-2^n=2^n$
(3) 根据规律可得：$2^1=2^2-2^1$，$2^2=2^3-2^2$，……，$2^{1000}=2^{1001}-2^{1000}$，代入原式：
$\begin{aligned}2^{1}+2^{2}+\dots+2^{1000}&=(2^2-2^1)+(2^3-2^2)+\dots+(2^{1001}-2^{1000})\\&=2^{1001}-2^1\\&=2^{1001}-2\end{aligned}$
【答案】
(1)$2^{5}-2^{4}=32-16=2^{4}$
(2)$2^{n+1}-2^{n}=2^{n}$
(3)$2^{1001}-2$
【知识点】
乘方运算，规律探究，简便计算
【点评】
本题以乘方运算为载体，重点考查观察、归纳数字规律的能力，以及运用规律简化运算的应用能力，解题核心是准确提炼等式的通用表达，掌握裂项相消的运算技巧。
【难度系数】
0.7
