例 1 直线 $ l_1 $，$ l_2 $，$ l_3 $，$ l_4 $ 的位置如图所示。给出下列说法：① $ ∠ 3 $ 与 $ ∠ 4 $ 是同旁内角；② $ ∠ 2 $ 与 $ ∠ 1 $ 是内错角；③ $ ∠ 3 $ 与 $ ∠ 5 $ 是内错角；④ $ ∠ 3 $ 与 $ ∠ 1 $ 是同位角。其中，正确的有()


A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

【答案】C

【分析】
要判断各说法是否正确，需先明确同位角、内错角、同旁内角的定义：同位角是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁且在被截两直线同一侧的角；内错角是两条直线被第三条直线所截，在截线两侧且在被截两直线之间的角；同旁内角是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁且在被截两直线之间的角。再结合图形，逐个分析四个说法，确定正确结论。
【解析】
根据三线八角的定义逐一判断：
① ∠3与∠4是直线$ l_2 $、$ l_3 $被直线$ l_1 $所截形成的同旁内角，符合同旁内角定义，故①正确；
② ∠2与∠1是直线$ l_1 $、$ l_4 $被直线$ l_2 $所截形成的内错角，符合内错角定义，故②正确；
③ ∠3与∠5是直线$ l_2 $、$ l_3 $被直线$ l_4 $所截形成的内错角，符合内错角定义，故③正确；
④ ∠3与∠1不符合同位角的位置特征（同位角需在截线同旁、被截线同侧，二者位置不满足），故④错误。
综上，正确的说法有①②③，共3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
同位角、内错角、同旁内角
【点评】
本题考查三线八角中各类角的识别，核心是牢记三类角的定义，结合图形准确判断角的位置关系，属于基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6

【变式训练 1】如图，下列说法正确的是()

A.由 $ ∠ 1 = ∠ 3 $，可得直线 $ EF // GH $
B.由 $ ∠ 1 = ∠ 2 $，可得直线 $ AB // CD $
C.由 $ ∠ 1 = ∠ 3 $，可得直线 $ AB // CD $
D.由 $ ∠ 2 = ∠ 4 $，可得直线 $ EF // GH $

变式训练 1 B

证明：
选项A：∠1与∠3不是EF、GH被截形成的同位角、内错角或同旁内角，无法判定EF//GH，A错误。
选项B：∠1与∠2是AB、CD被EF所截形成的同位角，由∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行，可得AB//CD，B正确。
选项C：∠1与∠3不是AB、CD被截形成的同位角、内错角或同旁内角，无法判定AB//CD，C错误。
选项D：∠2与∠4不是EF、GH被截形成的同位角、内错角或同旁内角，无法判定EF//GH，D错误。
B

例 2 如图，请补全下列解题过程。

(1) 因为 $ ∠ A = $(已知)，
所以 $ AC // ED $（）。
(2) 因为 $ ∠ EDF = $(已知)，
所以 $ AC // ED $（）。
(3) 因为 $ ∠ A + ∠ DFA = 180° $（已知），
所以 $ // $（）。

本题可根据平行线的判定定理来补全解题过程。
$(1)$
已知$∠ A = ∠ BED$（已知），
根据“同位角相等，两直线平行”（两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行），
所以$AC// ED$。
$(2)$
已知$∠ EDF = ∠ CFD$（已知），
根据“内错角相等，两直线平行”（两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行），
所以$AC// ED$。

$(3)$
已知$∠ A + ∠ DFA = 180^{\circ}$（已知），
根据“同旁内角互补，两直线平行”（两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行），
所以$DF// AB$。
综上，答案依次为：$\boldsymbol{∠ BED}$；同位角相等，两直线平行；$\boldsymbol{∠ CFD}$；内错角相等，两直线平行；$\boldsymbol{DF}$；$\boldsymbol{AB}$；同旁内角互补，两直线平行。

【分析】
要解决本题，需结合平行线的三个判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。先观察图形中角的位置关系，判断每个小题中角对应的截线和被截直线，再结合判定定理完成填空：
（1）需找AC与ED被AB所截的同位角，对应∠A的同位角是∠BED；
（2）需找AC与ED被DF所截的内错角，对应∠EDF的内错角是∠CFD；
（3）∠A与∠DFA是AB和DF被AC所截的同旁内角，互补时可判定AB与DF平行。
【解析】
（1）AC和ED被直线AB所截，∠A与∠BED是同位角，当∠A = ∠BED时，根据“同位角相等，两直线平行”，可得AC//ED；
（2）AC和ED被直线DF所截，∠EDF与∠CFD是内错角，当∠EDF = ∠CFD时，根据“内错角相等，两直线平行”，可得AC//ED；
（3）AB和DF被直线AC所截，∠A与∠DFA是同旁内角，当∠A + ∠DFA = 180°时，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得DF//AB。
【答案】
∠BED；同位角相等，两直线平行；∠CFD；内错角相等，两直线平行；DF；AB；同旁内角互补，两直线平行
【知识点】
平行线的判定定理
【点评】
本题考查平行线判定定理的基础应用，核心是识别图形中角的位置关系，结合判定定理对应直线，属于基础题型，侧重对基础知识点的掌握。
【难度系数】
0.6

【变式训练 2】如图，一条街道有两个拐角($ ∠ ABC $ 和 $ ∠ BCD $)，现已测得 $ ∠ ABC = 140° $。如果 $ ∠ BCD = 140° $，就可以知道 $ AB // CD $，其依据是()


A.同位角相等，两直线平行
B.同旁内角互补，两直线平行
C.内错角相等，两直线平行
D.平行于同一条直线的两条直线平行

变式训练 2 C

【分析】要判断AB与CD是否平行，需明确∠ABC和∠BCD的位置关系：这两个角是直线AB、CD被直线BC所截形成的内错角，当内错角相等时，可依据平行线的判定定理推导两直线平行，据此确定答案。
【解析】直线AB、CD被直线BC所截，∠ABC和∠BCD位于截线BC的两侧，且在被截直线AB、CD之间，属于内错角。已知∠ABC=140°，∠BCD=140°，即∠ABC=∠BCD，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出AB//CD，因此对应的选项为C。
【答案】C
【知识点】平行线的判定、内错角
【点评】本题考查平行线的判定定理，核心是识别内错角的位置并运用对应判定定理，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7

1. 如图，直线 $ AB $，$ CD $ 被直线 $ ED $ 所截，则与 $ ∠ EDC $ 是同旁内角的是()


A.$ ∠ 1 $
B.$ ∠ 2 $
C.$ ∠ 3 $
D.$ ∠ 4 $

1. D

解：直线 $AB$，$CD$ 被直线 $ED$ 所截，$∠ EDC$ 的同旁内角需满足：在截线 $ED$ 同旁，且在被截线 $AB$，$CD$ 之间。
$∠ EDC$ 与 $∠ 4$ 符合同旁内角定义。
答案：D

2. 如图，点 $ A $，$ D $，$ E $ 在同一条直线上。给出下列条件：① $ ∠ 1 = ∠ 2 $；② $ ∠ 3 = ∠ 4 $；③ $ ∠ C = ∠ 5 $；④ $ ∠ A + ∠ ADC = 180° $。其中，一定能得到 $ AD // BC $ 的是()

A.①②
B.②③
C.①④
D.③④

2. B

证明：
①若$∠1 = ∠2$，则$AB// CD$（内错角相等，两直线平行），无法得到$AD// BC$；
②若$∠3 = ∠4$，则$AD// BC$（内错角相等，两直线平行）；
③若$∠C = ∠5$，则$AD// BC$（同位角相等，两直线平行）；
④若$∠A + ∠ADC = 180°$，则$AB// CD$（同旁内角互补，两直线平行），无法得到$AD// BC$。
综上，一定能得到$AD// BC$的是②③。
B