【变式训练 2】 如图，将一把纸扇完全打开后，外侧竹条$AB$，$AC$的夹角为$120^{\circ}$，$AB$的长度为$30\mathrm{cm}$，$BD$的长度为$24\mathrm{cm}$，求贴纸部分(阴影部分)的面积。

变式训练 2 $ 288π \mathrm{cm}^2 $

贴纸部分的面积为扇形$ABC$的面积减去扇形$ADE$的面积。
$AD = AB - BD = 30 - 24 = 6\space \mathrm{cm}$
扇形面积公式：$S = \frac{n}{360}πr^2$
扇形$ABC$的面积：$\frac{120}{360}π× 30^2 = \frac{1}{3}π× 900 = 300π\space \mathrm{cm}^2$
扇形$ADE$的面积：$\frac{120}{360}π× 6^2 = \frac{1}{3}π× 36 = 12π\space \mathrm{cm}^2$
贴纸部分面积：$300π - 12π = 288π\space \mathrm{cm}^2$
答：贴纸部分的面积为$288π\space \mathrm{cm}^2$

1. 战国时期的著作《墨经》中“……一中同长也”描述的图形是()

A.等边三角形
B.正方形
C.正六边形
D.圆

1. D

【分析】首先明确“一中同长”的含义：“一中”指存在一个共同的中心，“同长”指该中心到图形上任意一点的长度都相等。接着逐一分析选项：等边三角形、正方形、正六边形的中心到顶点的距离虽相等，但中心到边的距离不相等，不符合“同长”的全部要求；而圆的定义是同一平面内到定点（圆心，即“一中”）的距离等于定长（半径，即“同长”）的所有点组成的图形，完全匹配“一中同长”的描述。
【解析】“一中同长”的核心是“一个中心，到图形各点距离都相等”。对选项逐一判断：A.等边三角形，中心到顶点与到边的距离不等，排除；B.正方形，中心到顶点与到边的距离不等，排除；C.正六边形，中心到顶点距离相等但到边的距离不等，排除；D.圆，圆心是唯一中心，圆上任意点到圆心的距离（半径）都相等，符合要求，故选D。
【答案】D
【知识点】圆的定义、古代数学常识
【点评】本题结合《墨经》的文言表述考查圆的基本定义，需准确理解文言含义，属于基础概念题，难度较低，同时渗透了古代数学成就的文化常识。
【难度系数】0.7

2. 如图，这是六(1)班参加课外兴趣小组人数的扇形统计图，则声乐兴趣小组对应扇形的圆心角为()


A.$36^{\circ}$
B.$72^{\circ}$
C.$108^{\circ}$
D.$180^{\circ}$

2. B

声乐兴趣小组占比：$1 - 50\% - 30\% = 20\%$，圆心角：$360° × 20\% = 72°$，答案选B。

3. 如图，现要从五边形纸片$ABCDE$中剪去一个三角形，则剩余部分是()


A.四边形
B.五边形
C.六边形
D.以上都有可能

3. D

从五边形纸片$ABCDE$中剪去一个三角形，有以下三种情况：
若剪去一个角后，经过相邻的两个顶点，剩余部分为四边形；
若剪去一个角后，经过一个顶点和一条边，剩余部分为五边形；
若剪去一个角后，经过两条边（不经过顶点），剩余部分为六边形。
综上，剩余部分可能是四边形、五边形或六边形。
D

4. 六边形有个顶点、个内角、条边。过六边形的一个顶点能画条对角线。六边形一共有条对角线。

4. 6 6 6 3 9

【分析】
先明确多边形的基本性质：任意n边形的顶点数、内角数、边数均等于n；过n边形一个顶点的对角线数量为(n-3)条（排除自身和相邻两个顶点）；n边形总对角线数公式为$\frac{n(n-3)}{2}$。本题是六边形，即n=6，代入对应规则计算各空即可。
【解析】
1. 六边形中n=6，根据多边形基本性质，顶点数=6，内角数=6，边数=6；
2. 过六边形一个顶点的对角线数：$6-3=3$；
3. 六边形总对角线数：$\frac{6×(6-3)}{2}=9$；
【答案】
6 6 6 3 9
【知识点】
多边形的概念、多边形的对角线
【点评】
本题考查多边形的基础知识点，属于几何入门的基础题，只要掌握多边形顶点、内角、边的数量关系及对角线计算公式，即可轻松解答，难度较低。
【难度系数】
0.8

5. 一个正五边形的周长是$15\mathrm{cm}$，则这个正五边形的边长是$\mathrm{cm}$。

5. 3

【分析】首先明确正五边形的核心性质：正五边形的五条边长度完全相等；而多边形的周长是所有边长的总和，因此正五边形的周长等于边长乘以边数（5）。要求正五边形的边长，只需将周长除以边数5即可。
【解析】因为正五边形的5条边长度相等，根据周长公式：周长=边长×边数，变形可得边长=周长÷边数。代入数据计算：边长=15÷5=3（cm）。
【答案】3
【知识点】正多边形的性质、周长计算
【点评】本题考查正多边形的基础性质，属于直接应用知识点的简单计算题，只要掌握正多边形各边相等的特点，就能快速得出结果，是对基础概念的直接考察。
【难度系数】0.9

6. 已知一个扇形的圆心角是$90^{\circ}$，半径是$4$，则这个扇形的面积是。

6. $ 4π $

扇形面积公式为$S = \frac{n}{360}πr^2$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径）。已知圆心角$n = 90^{\circ}$，半径$r = 4$，则扇形面积$S=\frac{90}{360}π×4^2=\frac{1}{4}π×16 = 4π$。
$4π$

7. 将如图所示的圆分割成四个扇形，使它们的圆心角的度数比为$2:3:4:3$。
(1)求这四个扇形的圆心角的度数，并画出这四个扇形；
(2)若这个圆的半径为$2$，求这四个扇形的面积。

7. (1) 这四个扇形的圆心角分别为 $ 60° $，$ 90° $，$ 120° $，$ 90° $。
这四个扇形如图所示。

(2) 这四个扇形的面积分别为 $ \dfrac{2}{3}π $，$ π $，$ \dfrac{4}{3}π $，$ π $。

【分析】
要解决这道题，首先利用圆的圆心角总和为360°，结合四个扇形圆心角的度数比，通过比例分配求出各扇形的圆心角度数；再根据扇形面积公式（扇形面积=（圆心角度数/360°）×πr²，其中r为圆的半径），代入半径数值计算各扇形的面积。
【解析】
(1) 计算四个扇形的圆心角度数：
四个圆心角的总份数为：2+3+4+3=12
根据比例分配，各圆心角分别为：
第一个：$360°×\frac{2}{12}=60°$
第二个：$360°×\frac{3}{12}=90°$
第三个：$360°×\frac{4}{12}=120°$
第四个：$360°×\frac{3}{12}=90°$
按上述角度在圆中画出对应扇形即可，如图所示。
(2) 计算四个扇形的面积：
已知圆的半径$r=2$，圆的面积为$π r^2=π×2^2=4π$
根据扇形面积公式，各扇形面积分别为：
第一个：$4π×\frac{60°}{360°}=4π×\frac{1}{6}=\frac{2}{3}π$
第二个：$4π×\frac{90°}{360°}=4π×\frac{1}{4}=π$
第三个：$4π×\frac{120°}{360°}=4π×\frac{1}{3}=\frac{4}{3}π$
第四个：与第二个扇形面积相同，为$π$。
【答案】
(1) 四个扇形的圆心角分别为$60°$，$90°$，$120°$，$90°$；
(2) 四个扇形的面积分别为$\dfrac{2}{3}π$，$π$，$\dfrac{4}{3}π$，$π$。
【知识点】
扇形圆心角计算，扇形面积计算，圆的性质
【点评】
本题是基础的扇形相关计算题目，核心是利用圆的圆心角总和和比例分配求圆心角，再结合扇形面积公式计算面积，考查学生对比例分配和扇形面积公式的掌握，难度不大。
【难度系数】
0.6

8. 已知线段$PQ = 2\mathrm{cm}$。
(1)在同一平面内，画出所有到点$P$的距离等于$1\mathrm{cm}$的点，画出所有到点$Q$的距离等于$1.5\mathrm{cm}$的点。
(2)在所画的图形中，到点$P$的距离等于$1\mathrm{cm}$，且到点$Q$的距离等于$1.5\mathrm{cm}$的点有几个？

8. (1) 如图所示。

(2) 2 个

【分析】
这道题的解题思路是：第一问利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合是圆），分别以P、Q为圆心，对应长度为半径画圆；第二问通过计算两圆的半径和、半径差，结合已知圆心距PQ的长度，依据两圆位置关系的判定规则，确定符合条件的点的个数。
【解析】
(1) 根据圆的定义，所有到点P的距离等于1cm的点组成以P为圆心、1cm为半径的圆；所有到点Q的距离等于1.5cm的点组成以Q为圆心、1.5cm为半径的圆，据此画出两个圆即可。
(2) 计算两圆的半径之和：$1 + 1.5 = 2.5\mathrm{cm}$，半径之差：$1.5 - 1 = 0.5\mathrm{cm}$，已知圆心距$PQ = 2\mathrm{cm}$，满足$0.5\mathrm{cm} ＜ 2\mathrm{cm} ＜ 2.5\mathrm{cm}$，因此两圆相交，交点个数为2个，即符合条件的点有2个。
【答案】
(1) 如图所示。 (2) 2个
【知识点】
圆的定义、两圆的位置关系
【点评】
本题结合圆的定义考查两圆位置关系的应用，是几何基础题型，核心是掌握圆的集合定义和两圆相交的判定条件，难度适中，适合巩固几何基础。
【难度系数】
0.5