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9. 如图，把一个圆分成甲、乙、丙、丁四个扇形，请分别求出这四个扇形的圆心角的度数。
答案
9. 解：甲扇形的圆心角为 $ 360° × 35\% = 126° $。
乙扇形的圆心角为 $ 360° × 10\% = 36° $。
丙扇形的圆心角为 $ 360° × 25\% = 90° $。
丁扇形的圆心角为 $ 360° × 30\% = 108° $。
乙扇形的圆心角为 $ 360° × 10\% = 36° $。
丙扇形的圆心角为 $ 360° × 25\% = 90° $。
丁扇形的圆心角为 $ 360° × 30\% = 108° $。
解析
【分析】
要计算扇形的圆心角，需明确整个圆的圆心角为360°，扇形统计图中各部分的百分比表示该部分占整体的比例，因此某扇形的圆心角等于360°乘以该扇形对应的百分比，据此分别计算甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角度数。
【解析】
因为整个圆的圆心角是360°，所以：
甲扇形的圆心角：$ 360° × 35\% = 126° $；
乙扇形的圆心角：$ 360° × 10\% = 36° $；
丙扇形的圆心角：$ 360° × 25\% = 90° $；
丁扇形的圆心角：$ 360° × 30\% = 108° $。
【答案】
甲扇形圆心角126°，乙扇形圆心角36°，丙扇形圆心角90°，丁扇形圆心角108°
【知识点】
扇形圆心角计算，扇形统计图
【点评】
本题是扇形统计图的基础应用，核心是利用圆的圆心角总和与各部分占比的关系计算扇形圆心角，步骤清晰，难度较低，主要考查对扇形圆心角计算方法的掌握。
【难度系数】
0.7
要计算扇形的圆心角，需明确整个圆的圆心角为360°，扇形统计图中各部分的百分比表示该部分占整体的比例，因此某扇形的圆心角等于360°乘以该扇形对应的百分比，据此分别计算甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角度数。
【解析】
因为整个圆的圆心角是360°，所以：
甲扇形的圆心角：$ 360° × 35\% = 126° $；
乙扇形的圆心角：$ 360° × 10\% = 36° $；
丙扇形的圆心角：$ 360° × 25\% = 90° $；
丁扇形的圆心角：$ 360° × 30\% = 108° $。
【答案】
甲扇形圆心角126°，乙扇形圆心角36°，丙扇形圆心角90°，丁扇形圆心角108°
【知识点】
扇形圆心角计算，扇形统计图
【点评】
本题是扇形统计图的基础应用，核心是利用圆的圆心角总和与各部分占比的关系计算扇形圆心角，步骤清晰，难度较低，主要考查对扇形圆心角计算方法的掌握。
【难度系数】
0.7
10. 请仔细观察下面的图形和表格，并解决下列问题：
(1)用含$n$的代数式将上面的表格填写完整。
(2)某校的数学社团共有$6$个小组，每个小组有$3$名同学。同学们约定，大年初一那天不同组的$2$名同学之间都要打一个电话拜年。按照此约定，该社团的同学们一共要打多少个电话？
(3)乐乐认为(1)(2)两题之间存在某种联系，你能找到它们之间的联系吗？请写出你的发现。
(1)用含$n$的代数式将上面的表格填写完整。
(2)某校的数学社团共有$6$个小组，每个小组有$3$名同学。同学们约定，大年初一那天不同组的$2$名同学之间都要打一个电话拜年。按照此约定，该社团的同学们一共要打多少个电话？
(3)乐乐认为(1)(2)两题之间存在某种联系，你能找到它们之间的联系吗？请写出你的发现。
答案
10. 解：(1) $ n - 3 $ $ \dfrac{1}{2}n(n - 3) $
(2) $ 3 × 6 = 18 $（名），
$ \dfrac{1}{2} × 18 × (18 - 3) = 135 $（个），
即该社团的同学们一共要打 135 个电话。
(3) 每名同学相当于多边形的一个顶点，则一共有 $ n $ 个顶点。
每名同学要给不同组的同学打一个电话，则每名同学要打 $ (n - 3) $ 个电话。
2 名同学之间不需要重复打电话，所以打电话的总数为 $ \dfrac{1}{2}n(n - 3) $。
该社团有 18 名同学，即当 $ n = 18 $ 时，一共要打电话 $ \dfrac{1}{2} × 18 × (18 - 3) = 135 $（个）。（合理即可）
(2) $ 3 × 6 = 18 $（名），
$ \dfrac{1}{2} × 18 × (18 - 3) = 135 $（个），
即该社团的同学们一共要打 135 个电话。
(3) 每名同学相当于多边形的一个顶点，则一共有 $ n $ 个顶点。
每名同学要给不同组的同学打一个电话，则每名同学要打 $ (n - 3) $ 个电话。
2 名同学之间不需要重复打电话，所以打电话的总数为 $ \dfrac{1}{2}n(n - 3) $。
该社团有 18 名同学，即当 $ n = 18 $ 时，一共要打电话 $ \dfrac{1}{2} × 18 × (18 - 3) = 135 $（个）。（合理即可）
解析
【分析】
本题分为三小问，第(1)问需探究多边形对角线数量的规律，从多边形顶点的连线规则入手，明确每个顶点不能与自身及相邻顶点连对角线，进而推导通用公式；第(2)问是将社团通话问题转化为多边形对角线的计数问题，先计算总人数再代入公式求解；第(3)问需找出两题的模型联系，即通话问题对应多边形对角线的计数模型，体现数学转化思想。
【解析】
(1) 对于n边形，共有n个顶点，每个顶点不能与自身、相邻的2个顶点连对角线，因此每个顶点可连$(n-3)$条对角线；由于每条对角线被两个顶点各计算一次，需除以2消除重复，故n边形对角线总数为$\frac{1}{2}n(n-3)$，因此表格中对应填写$n-3$和$\frac{1}{2}n(n-3)$。
(2) 先计算社团总人数：$6 × 3 = 18$（名）；将18名同学看作多边形的18个顶点，不同组同学通话对应多边形对角线，代入公式得总通话数：$\frac{1}{2} × 18 × (18 - 3) = 135$（个）。
(3) 联系：把每名同学看作多边形的一个顶点，总人数对应多边形的顶点数$n$；每名同学给不同组同学打电话，相当于每个顶点连$(n-3)$条对角线（排除自身和相邻顶点）；由于两人通话不重复，总通话数为对角线总数公式$\frac{1}{2}n(n-3)$，本题中$n=18$，代入后结果与(2)一致，两题均为多边形对角线计数模型的应用。
【答案】
(1) $n-3$，$\frac{1}{2}n(n-3)$；
(2) 135个；
(3) 每名同学相当于多边形的一个顶点，总人数对应顶点数$n$；每名同学要打$(n-3)$个电话（排除自身和同组相邻情况）；两人通话不重复，总通话数为$\frac{1}{2}n(n-3)$，该社团18名同学对应$n=18$，代入公式得135个，两题均为多边形对角线计数模型的应用（合理即可）。
【知识点】
多边形对角线、代数式求值、规律探究
【点评】
本题是规律探究类实际应用题，核心是将实际问题转化为多边形对角线的数学模型，体现数学建模思想，要求学生能从几何规律推导公式并应用于实际问题，培养转化思维和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
本题分为三小问，第(1)问需探究多边形对角线数量的规律，从多边形顶点的连线规则入手，明确每个顶点不能与自身及相邻顶点连对角线，进而推导通用公式；第(2)问是将社团通话问题转化为多边形对角线的计数问题，先计算总人数再代入公式求解；第(3)问需找出两题的模型联系，即通话问题对应多边形对角线的计数模型，体现数学转化思想。
【解析】
(1) 对于n边形，共有n个顶点，每个顶点不能与自身、相邻的2个顶点连对角线，因此每个顶点可连$(n-3)$条对角线；由于每条对角线被两个顶点各计算一次，需除以2消除重复，故n边形对角线总数为$\frac{1}{2}n(n-3)$，因此表格中对应填写$n-3$和$\frac{1}{2}n(n-3)$。
(2) 先计算社团总人数：$6 × 3 = 18$（名）；将18名同学看作多边形的18个顶点，不同组同学通话对应多边形对角线，代入公式得总通话数：$\frac{1}{2} × 18 × (18 - 3) = 135$（个）。
(3) 联系：把每名同学看作多边形的一个顶点，总人数对应多边形的顶点数$n$；每名同学给不同组同学打电话，相当于每个顶点连$(n-3)$条对角线（排除自身和相邻顶点）；由于两人通话不重复，总通话数为对角线总数公式$\frac{1}{2}n(n-3)$，本题中$n=18$，代入后结果与(2)一致，两题均为多边形对角线计数模型的应用。
【答案】
(1) $n-3$，$\frac{1}{2}n(n-3)$；
(2) 135个；
(3) 每名同学相当于多边形的一个顶点，总人数对应顶点数$n$；每名同学要打$(n-3)$个电话（排除自身和同组相邻情况）；两人通话不重复，总通话数为$\frac{1}{2}n(n-3)$，该社团18名同学对应$n=18$，代入公式得135个，两题均为多边形对角线计数模型的应用（合理即可）。
【知识点】
多边形对角线、代数式求值、规律探究
【点评】
本题是规律探究类实际应用题，核心是将实际问题转化为多边形对角线的数学模型，体现数学建模思想，要求学生能从几何规律推导公式并应用于实际问题，培养转化思维和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
