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三、解答题（共 40 分）
13. （8 分）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度 $ y $（单位：cm）与所挂物体的质量 $ x $（单位：kg）的一组对应值如下表：
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量，哪个是因变量？
（2）当所挂物体的质量为 $ 3 $ kg 时，弹簧有多长？不挂物体时呢？
（3）若所挂物体的质量为 $ 7 $ kg（在允许范围内），你能说出此时弹簧的长度吗？
13. （8 分）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度 $ y $（单位：cm）与所挂物体的质量 $ x $（单位：kg）的一组对应值如下表：
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量，哪个是因变量？
（2）当所挂物体的质量为 $ 3 $ kg 时，弹簧有多长？不挂物体时呢？
（3）若所挂物体的质量为 $ 7 $ kg（在允许范围内），你能说出此时弹簧的长度吗？
答案
13. 解：(1)反映了弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系。其中，所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量。
(2)当所挂物体的质量为 3 kg 时，弹簧长 24 cm；不挂物体时，弹簧长 18 cm。
(3)由表格可知，所挂物体每增加 1 kg，弹簧的长度增加 2 cm，所以挂 7 kg 的物体时（在允许范围内），弹簧长 $ 18 + 2 × 7 = 32 $ (cm)。
(2)当所挂物体的质量为 3 kg 时，弹簧长 24 cm；不挂物体时，弹簧长 18 cm。
(3)由表格可知，所挂物体每增加 1 kg，弹簧的长度增加 2 cm，所以挂 7 kg 的物体时（在允许范围内），弹簧长 $ 18 + 2 × 7 = 32 $ (cm)。
解析
【分析】
本题需结合表格数据依次解决三个问题：第（1）问要明确表格中的两个变量，根据“主动变化的量是自变量，随自变量变化的量是因变量”判断；第（2）问直接从表格中对应x值找y值；第（3）问先分析x和y的变化规律，再推导挂7kg物体时的弹簧长度。
【解析】
（1）观察表格可知，反映了弹簧的长度$ y $（cm）与所挂物体的质量$ x $（kg）两个变量之间的关系；其中所挂物体的质量$ x $是主动变化的，为自变量，弹簧的长度$ y $随$ x $的变化而变化，为因变量。
（2）从表格中查找：当$ x=3\ \mathrm{kg} $时，对应$ y=24\ \mathrm{cm} $；当$ x=0\ \mathrm{kg} $（不挂物体）时，对应$ y=18\ \mathrm{cm} $。
（3）分析数据规律：所挂物体质量每增加1kg，弹簧长度增加2cm，且不挂物体时弹簧原长为18cm，因此弹簧长度与所挂物体质量的关系式为$ y=18+2x $。当$ x=7\ \mathrm{kg} $时，代入得$ y=18+2×7=32\ \mathrm{cm} $。
【答案】
（1）反映了弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系；所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量。
（2）当所挂物体质量为3kg时，弹簧长24cm；不挂物体时，弹簧长18cm。
（3）此时弹簧的长度为32cm。
【知识点】
变量与自变量、因变量；一次函数的应用
【点评】
本题是函数入门基础题，考查从表格提取信息、分析变量关系的能力，难度较低，适合巩固函数相关基础。
【难度系数】
0.8
本题需结合表格数据依次解决三个问题：第（1）问要明确表格中的两个变量，根据“主动变化的量是自变量，随自变量变化的量是因变量”判断；第（2）问直接从表格中对应x值找y值；第（3）问先分析x和y的变化规律，再推导挂7kg物体时的弹簧长度。
【解析】
（1）观察表格可知，反映了弹簧的长度$ y $（cm）与所挂物体的质量$ x $（kg）两个变量之间的关系；其中所挂物体的质量$ x $是主动变化的，为自变量，弹簧的长度$ y $随$ x $的变化而变化，为因变量。
（2）从表格中查找：当$ x=3\ \mathrm{kg} $时，对应$ y=24\ \mathrm{cm} $；当$ x=0\ \mathrm{kg} $（不挂物体）时，对应$ y=18\ \mathrm{cm} $。
（3）分析数据规律：所挂物体质量每增加1kg，弹簧长度增加2cm，且不挂物体时弹簧原长为18cm，因此弹簧长度与所挂物体质量的关系式为$ y=18+2x $。当$ x=7\ \mathrm{kg} $时，代入得$ y=18+2×7=32\ \mathrm{cm} $。
【答案】
（1）反映了弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系；所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量。
（2）当所挂物体质量为3kg时，弹簧长24cm；不挂物体时，弹簧长18cm。
（3）此时弹簧的长度为32cm。
【知识点】
变量与自变量、因变量；一次函数的应用
【点评】
本题是函数入门基础题，考查从表格提取信息、分析变量关系的能力，难度较低，适合巩固函数相关基础。
【难度系数】
0.8
14. (10 分)某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月的用水量如果未超过 $ 20 $ t，按每吨 $ 2.5 $ 元收费；如果超过 $ 20 $ t，未超过的部分按每吨 $ 2.5 $ 元收费，超过的部分按每吨 $ 3.3 $ 元收费。
(1)设某用户某月的用水量为 $ x $ t($ x ＞ 20 $)，应缴水费 $ y $ 元，写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式；
(2)若某用户 6 月份用水 $ 15 $ t，则该用户 6 月份应缴水费
(3)若某用户 8 月份应缴水费 $ 76.4 $ 元，求该用户 8 月份的用水量。
(1)设某用户某月的用水量为 $ x $ t($ x ＞ 20 $)，应缴水费 $ y $ 元，写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式；
(2)若某用户 6 月份用水 $ 15 $ t，则该用户 6 月份应缴水费
37.5
元；(3)若某用户 8 月份应缴水费 $ 76.4 $ 元，求该用户 8 月份的用水量。
答案
14. 解：(1)因为用水量为 $ x $ t ($ x ＞ 20 $)，所以超过 20 t 的水量为 $ (x - 20) $ t。由题意得 $ y = 20 × 2.5 + (x - 20) × 3.3 $，即 $ y = 3.3x - 16 $。
(2) 37.5
(3)若用水量为 20 t，则应缴水费：$ 2.5 × 20 = 50 $ (元)。因为 $ 76.4 ＞ 50 $，所以该用户该月的用水量超过了 20 t，所以 $ 3.3x - 16 = 76.4 $。解得 $ x = 28 $。所以该用户 8 月份的用水量为 28 t。
(2) 37.5
(3)若用水量为 20 t，则应缴水费：$ 2.5 × 20 = 50 $ (元)。因为 $ 76.4 ＞ 50 $，所以该用户该月的用水量超过了 20 t，所以 $ 3.3x - 16 = 76.4 $。解得 $ x = 28 $。所以该用户 8 月份的用水量为 28 t。
解析
【分析】
本题是阶梯收费的分段函数应用题，解题思路是根据用水量是否超过20t的不同情况，对应不同的收费标准进行计算：第(1)问，当用水量x＞20时，水费由20t以内的基础费用和超过20t部分的费用组成，据此推导关系式；第(2)问，用水量未超过20t时，直接用单价乘水量计算水费；第(3)问，先判断水费对应的用水量是否超过20t，再代入对应关系式解方程求用水量。
【解析】
(1) 因为用水量x＞20，所以超过20t的水量为(x-20)t。20t以内的水费为20×2.5=50元，超过部分的水费为3.3(x-20)元，因此总水费y=50 + 3.3(x-20)，化简得y=3.3x -16。
(2) 15t＜20t，属于未超过20t的情况，应缴水费=15×2.5=37.5元。
(3) 先计算20t的水费：20×2.5=50元，因为76.4＞50，所以该用户8月份用水量超过20t，代入(1)的关系式得：3.3x -16=76.4，解得x=28，即该用户8月份用水量为28t。
【答案】
(1) y=3.3x -16；(2) 37.5；(3) 28t
【知识点】
一次函数的应用、分段计费问题
【点评】
本题是分段函数在实际生活中的典型应用，核心是明确不同用水量对应的收费标准，步骤清晰，属于基础应用题，考查学生对分段计算的理解和运用能力。
【难度系数】
0.6
本题是阶梯收费的分段函数应用题，解题思路是根据用水量是否超过20t的不同情况，对应不同的收费标准进行计算：第(1)问，当用水量x＞20时，水费由20t以内的基础费用和超过20t部分的费用组成，据此推导关系式；第(2)问，用水量未超过20t时，直接用单价乘水量计算水费；第(3)问，先判断水费对应的用水量是否超过20t，再代入对应关系式解方程求用水量。
【解析】
(1) 因为用水量x＞20，所以超过20t的水量为(x-20)t。20t以内的水费为20×2.5=50元，超过部分的水费为3.3(x-20)元，因此总水费y=50 + 3.3(x-20)，化简得y=3.3x -16。
(2) 15t＜20t，属于未超过20t的情况，应缴水费=15×2.5=37.5元。
(3) 先计算20t的水费：20×2.5=50元，因为76.4＞50，所以该用户8月份用水量超过20t，代入(1)的关系式得：3.3x -16=76.4，解得x=28，即该用户8月份用水量为28t。
【答案】
(1) y=3.3x -16；(2) 37.5；(3) 28t
【知识点】
一次函数的应用、分段计费问题
【点评】
本题是分段函数在实际生活中的典型应用，核心是明确不同用水量对应的收费标准，步骤清晰，属于基础应用题，考查学生对分段计算的理解和运用能力。
【难度系数】
0.6
