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15. （10 分）某中学甲、乙两位教师先后从学校出发，到距离学校 $ 10 $ km 的培训中心参加新教材培训。如图，$ l_{甲} $，$ l_{乙} $ 分别表示甲、乙两位教师所行的路程 $ s $（单位：km）与时间 $ t $（单位：min）的关系。
（1）甲、乙两位教师的平均速度各是多少？
（2）乙出发后多长时间追上甲？
（1）甲、乙两位教师的平均速度各是多少？
（2）乙出发后多长时间追上甲？
答案
15. 解：(1)甲的平均速度为 $ 10 ÷ 40 = 0.25 $ (km/min)，乙的平均速度为 $ 10 ÷ (28 - 18) = 1 $ (km/min)。
(2)设乙出发后 $ x $ min 追上甲。由题意得 $ 0.25(18 + x) = x $。解得 $ x = 6 $。所以乙出发后 6 min 追上甲。
(2)设乙出发后 $ x $ min 追上甲。由题意得 $ 0.25(18 + x) = x $。解得 $ x = 6 $。所以乙出发后 6 min 追上甲。
解析
【分析】
要解决本题，需从s-t图像中提取甲、乙的运动时间与路程信息：（1）计算平均速度时，利用公式“平均速度=总路程÷总时间”，分别确定甲、乙行驶10km的总时间，代入公式即可；（2）乙追上甲时，两人所走的路程相等，设乙出发后x分钟追上甲，此时甲的运动时间为（18+x）分钟，根据两人路程相等列一元一次方程求解。
【解析】
（1）甲行驶10km用时40min，根据平均速度公式：
甲的平均速度 = 总路程÷总时间 = $10÷40 = 0.25$（km/min）；
乙行驶10km用时$28-18=10$min，乙的平均速度 = $10÷10 = 1$（km/min）。
（2）设乙出发后$x$ min追上甲，此时甲运动的时间为$(18+x)$ min，两人路程相等，列方程：
$0.25(18 + x) = x$
展开得：$4.5 + 0.25x = x$
移项合并得：$0.75x = 4.5$
解得：$x = 6$
【答案】
（1）甲的平均速度是0.25 km/min，乙的平均速度是1 km/min；（2）乙出发后6 min追上甲。
【知识点】
一次函数图像应用、平均速度计算、一元一次方程应用
【点评】
本题结合s-t图像考查平均速度计算与追及问题，核心是从图像中获取时间信息，利用路程相等建立方程，属于基础应用题，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需从s-t图像中提取甲、乙的运动时间与路程信息：（1）计算平均速度时，利用公式“平均速度=总路程÷总时间”，分别确定甲、乙行驶10km的总时间，代入公式即可；（2）乙追上甲时，两人所走的路程相等，设乙出发后x分钟追上甲，此时甲的运动时间为（18+x）分钟，根据两人路程相等列一元一次方程求解。
【解析】
（1）甲行驶10km用时40min，根据平均速度公式：
甲的平均速度 = 总路程÷总时间 = $10÷40 = 0.25$（km/min）；
乙行驶10km用时$28-18=10$min，乙的平均速度 = $10÷10 = 1$（km/min）。
（2）设乙出发后$x$ min追上甲，此时甲运动的时间为$(18+x)$ min，两人路程相等，列方程：
$0.25(18 + x) = x$
展开得：$4.5 + 0.25x = x$
移项合并得：$0.75x = 4.5$
解得：$x = 6$
【答案】
（1）甲的平均速度是0.25 km/min，乙的平均速度是1 km/min；（2）乙出发后6 min追上甲。
【知识点】
一次函数图像应用、平均速度计算、一元一次方程应用
【点评】
本题结合s-t图像考查平均速度计算与追及问题，核心是从图像中获取时间信息，利用路程相等建立方程，属于基础应用题，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
16. (12 分)如图①，在长方形 $ ABCD $ 中，点 $ P $ 从点 $ B $ 出发，沿 $ B \to C \to D \to A $ 的路线运动到点 $ A $ 停止。设点 $ P $ 的运动路程为 $ x $，三角形 $ PAB $ 的面积为 $ y $，$ y $ 与 $ x $ 的关系如图②所示。
(1)$ AB $ 的长度为
(2)求图象中 $ a $ 和 $ b $ 的值；
(3)当 $ m = 15 $ 时，求 $ n $ 的值。
(1)$ AB $ 的长度为
8
，$ BC $ 的长度为5
；(2)求图象中 $ a $ 和 $ b $ 的值；
(3)当 $ m = 15 $ 时，求 $ n $ 的值。
答案
16. 解：(1) 8 5
(2)当点 $ P $ 与点 $ C $ 重合时，$ y = b $，所以 $ b = \frac{1}{2} × 8 × 5 = 20 $；当点 $ P $ 与点 $ A $ 重合时，$ y = 0 $，所以 $ a = 5 + 8 + 5 = 18 $。
(3)因为 $ m = 15 ＞ 8 + 5 $，所以此时点 $ P $ 在 $ AD $ 边上，且 $ AP = 3 $，所以 $ n = \frac{1}{2} × 8 × 3 = 12 $。
(2)当点 $ P $ 与点 $ C $ 重合时，$ y = b $，所以 $ b = \frac{1}{2} × 8 × 5 = 20 $；当点 $ P $ 与点 $ A $ 重合时，$ y = 0 $，所以 $ a = 5 + 8 + 5 = 18 $。
(3)因为 $ m = 15 ＞ 8 + 5 $，所以此时点 $ P $ 在 $ AD $ 边上，且 $ AP = 3 $，所以 $ n = \frac{1}{2} × 8 × 3 = 12 $。
解析
【分析】
首先观察函数图像，当点P在BC上运动时，三角形PAB的面积随路程x增大而增大，x=5时面积达到最大值，说明此时P到达点C，可确定BC长度；当x从5到13时面积不变，说明P在CD上运动，由此可得CD长度，结合长方形对边相等求出AB长度。对于a，是点P从B出发沿B→C→D→A到A的总路程，等于BC+CD+DA；b是P在C点时三角形PAB的面积，用三角形面积公式计算；当m=15时，判断P的位置，计算AP长度后求n。
【解析】
(1) 由图②可知，x=5时P到达点C，故BC=5；x从5到13时P在CD上运动，CD长度为13-5=8，长方形中AB=CD，因此AB=8。
(2) 当P与C重合时，三角形PAB面积为b，根据三角形面积公式：
$ b = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 8 × 5 = 20 $
点P运动总路程a为BC+CD+DA，DA=BC=5，故：
$ a = 5 + 8 + 5 = 18 $
(3) 当m=15时，15＞13，说明P在AD边上，P从D出发向A运动的路程为15-13=2，因此AP=5-2=3，此时三角形PAB面积：
$ n = \frac{1}{2} × AB × AP = \frac{1}{2} × 8 × 3 = 12 $
【答案】
(1) 8，5；(2) a=18，b=20；(3) n=12
【知识点】
长方形性质，三角形面积，函数图像应用
【点评】
本题结合动点函数图像考查长方形边长与三角形面积计算，关键是根据图像判断点P的位置，数形结合分析线段长度，难度适中，需具备基础的几何分析能力。
【难度系数】
0.5
首先观察函数图像，当点P在BC上运动时，三角形PAB的面积随路程x增大而增大，x=5时面积达到最大值，说明此时P到达点C，可确定BC长度；当x从5到13时面积不变，说明P在CD上运动，由此可得CD长度，结合长方形对边相等求出AB长度。对于a，是点P从B出发沿B→C→D→A到A的总路程，等于BC+CD+DA；b是P在C点时三角形PAB的面积，用三角形面积公式计算；当m=15时，判断P的位置，计算AP长度后求n。
【解析】
(1) 由图②可知，x=5时P到达点C，故BC=5；x从5到13时P在CD上运动，CD长度为13-5=8，长方形中AB=CD，因此AB=8。
(2) 当P与C重合时，三角形PAB面积为b，根据三角形面积公式：
$ b = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 8 × 5 = 20 $
点P运动总路程a为BC+CD+DA，DA=BC=5，故：
$ a = 5 + 8 + 5 = 18 $
(3) 当m=15时，15＞13，说明P在AD边上，P从D出发向A运动的路程为15-13=2，因此AP=5-2=3，此时三角形PAB面积：
$ n = \frac{1}{2} × AB × AP = \frac{1}{2} × 8 × 3 = 12 $
【答案】
(1) 8，5；(2) a=18，b=20；(3) n=12
【知识点】
长方形性质，三角形面积，函数图像应用
【点评】
本题结合动点函数图像考查长方形边长与三角形面积计算，关键是根据图像判断点P的位置，数形结合分析线段长度，难度适中，需具备基础的几何分析能力。
【难度系数】
0.5
