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四、简便计算。
$\frac {3}{7} + \frac {2}{9} + \frac {4}{7}$$ $$\frac {8}{5} - \frac {8}{1 5} - \frac {7}{1 5}$
$\frac {3}{1 1} - \frac {2}{5} + \frac {8}{1 1} - \frac {3}{5}$$ $$\frac {3}{4} + \frac {3}{7} - \frac {3}{4}$
$\frac {4}{9} - \frac {5}{1 8} + \frac {8}{9}$$ $$\frac {8}{9} - (\frac {8}{9} - \frac {7}{1 5})$
$\frac {3}{7} + \frac {2}{9} + \frac {4}{7}$$ $$\frac {8}{5} - \frac {8}{1 5} - \frac {7}{1 5}$
$\frac {3}{1 1} - \frac {2}{5} + \frac {8}{1 1} - \frac {3}{5}$$ $$\frac {3}{4} + \frac {3}{7} - \frac {3}{4}$
$\frac {4}{9} - \frac {5}{1 8} + \frac {8}{9}$$ $$\frac {8}{9} - (\frac {8}{9} - \frac {7}{1 5})$
答案
$\boldsymbol{1\frac{2}{9}}$ $\boldsymbol{\frac{3}{5}}$ 0 $\boldsymbol{\frac{3}{7}}$ $\boldsymbol{1\frac{1}{18}}$ $\boldsymbol{\frac{7}{15}}$
解析
【分析】
这六道分数简便计算题，核心思路是观察分数的分母特征，灵活运用加法交换律、加法结合律和减法的性质，将同分母分数优先组合计算，减少通分步骤，简化运算过程：
1. 对于$\frac{3}{7}+\frac{2}{9}+\frac{4}{7}$，发现$\frac{3}{7}$和$\frac{4}{7}$是同分母分数，利用加法交换律交换$\frac{2}{9}$和$\frac{4}{7}$的位置，先算同分母分数相加，再加上$\frac{2}{9}$。
2. 对于$\frac{8}{5}-\frac{8}{15}-\frac{7}{15}$，观察到$\frac{8}{15}$和$\frac{7}{15}$相加和为1，利用减法的性质，将原式转化为$\frac{8}{5}-(\frac{8}{15}+\frac{7}{15})$，先算括号内的和，再做减法。
3. 对于$\frac{3}{11}-\frac{2}{5}+\frac{8}{11}-\frac{3}{5}$，利用加法交换律和结合律，将$\frac{3}{11}$与$\frac{8}{11}$结合，$-\frac{2}{5}$与$-\frac{3}{5}$结合，分别计算两组的和再相减。
4. 对于$\frac{3}{4}+\frac{3}{7}-\frac{3}{4}$，利用加法交换律，先算$\frac{3}{4}-\frac{3}{4}$，结果为0，再加上$\frac{3}{7}$即可。
5. 对于$\frac{4}{9}-\frac{5}{18}+\frac{8}{9}$，先将同分母的$\frac{4}{9}$和$\frac{8}{9}$相加，得到的结果再与$\frac{5}{18}$通分后相减。
6. 对于$\frac{8}{9}-(\frac{8}{9}-\frac{7}{15})$，根据去括号法则，括号前是减号，去括号后括号内的减号变加号，转化为$\frac{8}{9}-\frac{8}{9}+\frac{7}{15}$，再依次计算。
【解析】
1. $\frac{3}{7}+\frac{2}{9}+\frac{4}{7}$
$=\frac{3}{7}+\frac{4}{7}+\frac{2}{9}$（加法交换律）
$=1+\frac{2}{9}$
$=1\frac{2}{9}$
2. $\frac{8}{5}-\frac{8}{15}-\frac{7}{15}$
$=\frac{8}{5}-(\frac{8}{15}+\frac{7}{15})$（减法的性质）
$=\frac{8}{5}-1$
$=\frac{3}{5}$
3. $\frac{3}{11}-\frac{2}{5}+\frac{8}{11}-\frac{3}{5}$
$=(\frac{3}{11}+\frac{8}{11})+(-\frac{2}{5}-\frac{3}{5})$（加法交换律、结合律）
$=1-1$
$=0$
4. $\frac{3}{4}+\frac{3}{7}-\frac{3}{4}$
$=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}+\frac{3}{7}$（加法交换律）
$=0+\frac{3}{7}$
$=\frac{3}{7}$
5. $\frac{4}{9}-\frac{5}{18}+\frac{8}{9}$
$=\frac{4}{9}+\frac{8}{9}-\frac{5}{18}$（加法交换律）
$=\frac{12}{9}-\frac{5}{18}$
$=\frac{24}{18}-\frac{5}{18}$（通分，将$\frac{12}{9}$化为$\frac{24}{18}$）
$=\frac{19}{18}$
$=1\frac{1}{18}$
6. $\frac{8}{9}-(\frac{8}{9}-\frac{7}{15})$
$=\frac{8}{9}-\frac{8}{9}+\frac{7}{15}$（去括号法则）
$=0+\frac{7}{15}$
$=\frac{7}{15}$
【答案】
$1\frac{2}{9}$；$\frac{3}{5}$；0；$\frac{3}{7}$；$1\frac{1}{18}$；$\frac{7}{15}$
【知识点】
加法交换律、加法结合律、减法的性质
【点评】
本题主要考查分数简便运算的方法，通过运用运算定律和减法性质，将同分母分数优先计算，有效简化运算步骤，既提升计算速度，又能降低出错率，需要学生熟练掌握分数运算律的应用及去括号法则。
【难度系数】
0.8
这六道分数简便计算题，核心思路是观察分数的分母特征，灵活运用加法交换律、加法结合律和减法的性质，将同分母分数优先组合计算，减少通分步骤，简化运算过程：
1. 对于$\frac{3}{7}+\frac{2}{9}+\frac{4}{7}$，发现$\frac{3}{7}$和$\frac{4}{7}$是同分母分数，利用加法交换律交换$\frac{2}{9}$和$\frac{4}{7}$的位置，先算同分母分数相加，再加上$\frac{2}{9}$。
2. 对于$\frac{8}{5}-\frac{8}{15}-\frac{7}{15}$，观察到$\frac{8}{15}$和$\frac{7}{15}$相加和为1，利用减法的性质，将原式转化为$\frac{8}{5}-(\frac{8}{15}+\frac{7}{15})$，先算括号内的和，再做减法。
3. 对于$\frac{3}{11}-\frac{2}{5}+\frac{8}{11}-\frac{3}{5}$，利用加法交换律和结合律，将$\frac{3}{11}$与$\frac{8}{11}$结合，$-\frac{2}{5}$与$-\frac{3}{5}$结合，分别计算两组的和再相减。
4. 对于$\frac{3}{4}+\frac{3}{7}-\frac{3}{4}$，利用加法交换律，先算$\frac{3}{4}-\frac{3}{4}$，结果为0，再加上$\frac{3}{7}$即可。
5. 对于$\frac{4}{9}-\frac{5}{18}+\frac{8}{9}$，先将同分母的$\frac{4}{9}$和$\frac{8}{9}$相加，得到的结果再与$\frac{5}{18}$通分后相减。
6. 对于$\frac{8}{9}-(\frac{8}{9}-\frac{7}{15})$，根据去括号法则，括号前是减号，去括号后括号内的减号变加号，转化为$\frac{8}{9}-\frac{8}{9}+\frac{7}{15}$，再依次计算。
【解析】
1. $\frac{3}{7}+\frac{2}{9}+\frac{4}{7}$
$=\frac{3}{7}+\frac{4}{7}+\frac{2}{9}$（加法交换律）
$=1+\frac{2}{9}$
$=1\frac{2}{9}$
2. $\frac{8}{5}-\frac{8}{15}-\frac{7}{15}$
$=\frac{8}{5}-(\frac{8}{15}+\frac{7}{15})$（减法的性质）
$=\frac{8}{5}-1$
$=\frac{3}{5}$
3. $\frac{3}{11}-\frac{2}{5}+\frac{8}{11}-\frac{3}{5}$
$=(\frac{3}{11}+\frac{8}{11})+(-\frac{2}{5}-\frac{3}{5})$（加法交换律、结合律）
$=1-1$
$=0$
4. $\frac{3}{4}+\frac{3}{7}-\frac{3}{4}$
$=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}+\frac{3}{7}$（加法交换律）
$=0+\frac{3}{7}$
$=\frac{3}{7}$
5. $\frac{4}{9}-\frac{5}{18}+\frac{8}{9}$
$=\frac{4}{9}+\frac{8}{9}-\frac{5}{18}$（加法交换律）
$=\frac{12}{9}-\frac{5}{18}$
$=\frac{24}{18}-\frac{5}{18}$（通分，将$\frac{12}{9}$化为$\frac{24}{18}$）
$=\frac{19}{18}$
$=1\frac{1}{18}$
6. $\frac{8}{9}-(\frac{8}{9}-\frac{7}{15})$
$=\frac{8}{9}-\frac{8}{9}+\frac{7}{15}$（去括号法则）
$=0+\frac{7}{15}$
$=\frac{7}{15}$
【答案】
$1\frac{2}{9}$；$\frac{3}{5}$；0；$\frac{3}{7}$；$1\frac{1}{18}$；$\frac{7}{15}$
【知识点】
加法交换律、加法结合律、减法的性质
【点评】
本题主要考查分数简便运算的方法，通过运用运算定律和减法性质，将同分母分数优先计算，有效简化运算步骤，既提升计算速度，又能降低出错率，需要学生熟练掌握分数运算律的应用及去括号法则。
【难度系数】
0.8
五、我会解答。
加工一批零件计划三个月完成，第一个月完成了计划的 $ \frac{1}{4} $ ，第二个月完成了计划的 $ \frac{3}{8} $ 第三个月完成了计划的 $ \frac{2}{7} $ 。算一算，完成任务了吗？
加工一批零件计划三个月完成，第一个月完成了计划的 $ \frac{1}{4} $ ，第二个月完成了计划的 $ \frac{3}{8} $ 第三个月完成了计划的 $ \frac{2}{7} $ 。算一算，完成任务了吗？
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{4}+\frac{3}{8}+\frac{2}{7}=\frac{51}{56}＜1}$,没完成
解析
【分析】
要判断是否完成任务，需先计算三个月完成计划的占比总和，再与代表全部任务的1进行比较。若总和≥1，则完成任务；若总和＜1，则未完成。首先要对三个异分母分数进行通分，再相加求和，最后对比大小得出结论。
【解析】
1. 计算三个月完成计划的占比总和：
先确定分母4、8、7的最小公倍数是56，将各分数通分：
$\frac{1}{4}=\frac{1×14}{4×14}=\frac{14}{56}$
$\frac{3}{8}=\frac{3×7}{8×7}=\frac{21}{56}$
$\frac{2}{7}=\frac{2×8}{7×8}=\frac{16}{56}$
再进行加法运算：
$\frac{14}{56}+\frac{21}{56}+\frac{16}{56}=\frac{14+21+16}{56}=\frac{51}{56}$
2. 比较总和与1的大小：
因为$1=\frac{56}{56}$，且$\frac{51}{56}＜\frac{56}{56}$，即$\frac{51}{56}＜1$，所以没有完成任务。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{4}+\frac{3}{8}+\frac{2}{7}=\frac{51}{56}＜1}$，没完成
【知识点】
异分母分数加法，分数与整数大小比较
【点评】
本题核心考查异分母分数的加法运算及分数与整数的大小比较，解题关键是明确完成任务的判定标准为完成量占计划的比例总和为1，需熟练掌握异分母分数通分的方法，计算过程要细心准确。
【难度系数】
0.8
要判断是否完成任务，需先计算三个月完成计划的占比总和，再与代表全部任务的1进行比较。若总和≥1，则完成任务；若总和＜1，则未完成。首先要对三个异分母分数进行通分，再相加求和，最后对比大小得出结论。
【解析】
1. 计算三个月完成计划的占比总和：
先确定分母4、8、7的最小公倍数是56，将各分数通分：
$\frac{1}{4}=\frac{1×14}{4×14}=\frac{14}{56}$
$\frac{3}{8}=\frac{3×7}{8×7}=\frac{21}{56}$
$\frac{2}{7}=\frac{2×8}{7×8}=\frac{16}{56}$
再进行加法运算：
$\frac{14}{56}+\frac{21}{56}+\frac{16}{56}=\frac{14+21+16}{56}=\frac{51}{56}$
2. 比较总和与1的大小：
因为$1=\frac{56}{56}$，且$\frac{51}{56}＜\frac{56}{56}$，即$\frac{51}{56}＜1$，所以没有完成任务。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{4}+\frac{3}{8}+\frac{2}{7}=\frac{51}{56}＜1}$，没完成
【知识点】
异分母分数加法，分数与整数大小比较
【点评】
本题核心考查异分母分数的加法运算及分数与整数的大小比较，解题关键是明确完成任务的判定标准为完成量占计划的比例总和为1，需熟练掌握异分母分数通分的方法，计算过程要细心准确。
【难度系数】
0.8
六、我会做。
先寻找规律，再计算。
$1 - \frac {1}{2} = (\quad)$$ $$\begin{array}{l} 1 - \frac {1}{2} - \frac {1}{4} = (\quad) \\ 1 - \frac {1}{2} - \frac {1}{4} - \frac {1}{8} - \frac {1}{1 6} = (\quad) \\ \end{array}$
$1 - \frac {1}{2} - \frac {1}{4} - \frac {1}{8} = (\quad)$
根据上面的规律计算：
$1 - \frac {1}{2} - \frac {1}{4} - \frac {1}{8} - \dots - \frac {1}{1 2 8} - \frac {1}{2 5 6} = (\quad)$
先寻找规律，再计算。
$1 - \frac {1}{2} = (\quad)$$ $$\begin{array}{l} 1 - \frac {1}{2} - \frac {1}{4} = (\quad) \\ 1 - \frac {1}{2} - \frac {1}{4} - \frac {1}{8} - \frac {1}{1 6} = (\quad) \\ \end{array}$
$1 - \frac {1}{2} - \frac {1}{4} - \frac {1}{8} = (\quad)$
根据上面的规律计算：
$1 - \frac {1}{2} - \frac {1}{4} - \frac {1}{8} - \dots - \frac {1}{1 2 8} - \frac {1}{2 5 6} = (\quad)$
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$ $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$ $\boldsymbol{\frac{1}{8}}$ $\boldsymbol{\frac{1}{16}}$ $\boldsymbol{\frac{1}{256}}$
解析
【分析】
首先我们可以先依次计算给出的前几个算式，观察结果与算式中最后一个减数的关系：
1. 计算$1 - \frac{1}{2}$，结果为$\frac{1}{2}$，正好等于算式中的最后一个减数；
2. 计算$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$，先算$1 - \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，再算$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$，结果也等于最后一个减数；
3. 继续计算后续算式，会发现规律：从1开始依次减去分母为2的倍数（$2,4,8,16,\dots$）的分数，每次减的分数分母是前一个的2倍，最终的计算结果等于算式中最后一个减数。
找到这个规律后，就可以直接利用规律计算最后一个复杂的算式。
【解析】
1. 计算$1 - \frac{1}{2}$：
$1 - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
2. 计算$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$：
$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
3. 计算$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$：
$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{2}{8} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$
4. 计算$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{16}$：
$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{16} = \frac{1}{8} - \frac{1}{16} = \frac{2}{16} - \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$
通过以上计算可总结规律：从1开始依次减去$\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots, \frac{1}{2^n}$，结果等于最后一个减数$\frac{1}{2^n}$。
对于算式$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \dots - \frac{1}{128} - \frac{1}{256}$，最后一个减数是$\frac{1}{256}$，所以结果为$\frac{1}{256}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{4}$；$\frac{1}{8}$；$\frac{1}{16}$；$\frac{1}{256}$
【知识点】
1. 分数减法运算
2. 找规律计算
【点评】
本题通过逐步计算简单的分数连减算式，引导学生发现运算规律，既考查了分数减法的基本计算能力，又锻炼了学生的观察、归纳和总结能力。利用发现的规律可以快速解决复杂的分数连减问题，提升运算效率。
【难度系数】
0.8
首先我们可以先依次计算给出的前几个算式，观察结果与算式中最后一个减数的关系：
1. 计算$1 - \frac{1}{2}$，结果为$\frac{1}{2}$，正好等于算式中的最后一个减数；
2. 计算$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$，先算$1 - \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，再算$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$，结果也等于最后一个减数；
3. 继续计算后续算式，会发现规律：从1开始依次减去分母为2的倍数（$2,4,8,16,\dots$）的分数，每次减的分数分母是前一个的2倍，最终的计算结果等于算式中最后一个减数。
找到这个规律后，就可以直接利用规律计算最后一个复杂的算式。
【解析】
1. 计算$1 - \frac{1}{2}$：
$1 - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
2. 计算$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$：
$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
3. 计算$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$：
$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{2}{8} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$
4. 计算$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{16}$：
$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{16} = \frac{1}{8} - \frac{1}{16} = \frac{2}{16} - \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$
通过以上计算可总结规律：从1开始依次减去$\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots, \frac{1}{2^n}$，结果等于最后一个减数$\frac{1}{2^n}$。
对于算式$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \dots - \frac{1}{128} - \frac{1}{256}$，最后一个减数是$\frac{1}{256}$，所以结果为$\frac{1}{256}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{4}$；$\frac{1}{8}$；$\frac{1}{16}$；$\frac{1}{256}$
【知识点】
1. 分数减法运算
2. 找规律计算
【点评】
本题通过逐步计算简单的分数连减算式，引导学生发现运算规律，既考查了分数减法的基本计算能力，又锻炼了学生的观察、归纳和总结能力。利用发现的规律可以快速解决复杂的分数连减问题，提升运算效率。
【难度系数】
0.8
