13. 阅读下列各式：$(a×b)^2=a^2×b^2,(a×b)^3=a^3×b^3,(a×b)^4=a^4×b^4,(a×b)^5=a^5×b^5……$
回答下列问题：
(1)猜想：$(a×b)^n=$ .
(2)请用我们学过的知识说明上式成立的理由.
(3)请计算：
① $(-\dfrac{1}{4})^{1000}×4^{1000}$；
② $(-0.125)^{2026}×2^{2025}×4^{2024}$.

13.(1)$a^n× b^n$ 解析:由题干规律即可得到结果.
(2)$(a× b)^n=\underbrace{(a× b)×(a× b)×···×(a× b)}_{n个(a× b)相乘}=a× b× a× b×···× a× b=\underbrace{(a× a×···× a)}_{n个a相乘}×\underbrace{(b× b×···× b)}_{n个b相乘}=a^n× b^n$.
(3)①$(-\frac{1}{4})^{1000}×4^{1000}=(-\frac{1}{4}×4)^{1000}=1$.
②$(-0.125)^{2026}×2^{2025}×4^{2024}=(-\frac{1}{8})^2×(-\frac{1}{8})^{2024}×2×2^{2024}×4^{2024}=\frac{1}{64}×2×(-\frac{1}{8}×2×4)^{2024}=\frac{1}{32}×1=\frac{1}{32}$.

14. 新题型 新定义（2025·酒泉期末）定义：如果$a^x = N(a＞0,且a≠1)$，那么$x$叫作以$a$为底$N$的对数，记作$x = \log_a N$。例如：因为$7^2 = 49$，所以$\log_7 49 = 2$；因为$5^3 = 125$，所以$\log_5 125 = 3$。下列说法：①$\log_6 6 = 36$；②$\log_3 81 = 4$；③若$\log_4 (a+14) = 2$，则$a = 2$；④$\log_2 64 = \log_2 32 + \log_2 2$。正确的有（填序号）。

②③④ 解析:因为$6^1=6$,所以$\log_66=1$,故①错误.因为$3^4=81$,所以$\log_381=4$,故②正确.因为$\log_4(a+14)=2$,所以$a+14=4^2$,所以$a=2$,故③正确.因为$\log_264=6$,$\log_232=5$,$\log_22=1$,故④正确.故答案为②③④.

15. (2025·深圳期中)在一次综合实践活动课上,张老师给每位同学各发了一张正方形纸片,请同学们思考如何通过折纸的方法求出$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}$的值.
【操作探究】
“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后,进行了如下操作:如图甲,将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分,第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半,第②部分是第①部分面积的一半,第③部分是第②部分面积的一半……依次类推,则图甲中空白部分的面积为$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}$.
“破浪”小组是这样思考的:设$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}$,
将等式两边同时乘$\frac{1}{2}$得$\frac{1}{2}S=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^7}$,
将上式减去下式得$\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^7}$,即$S=1-\frac{1}{2^6}=\frac{63}{64}$,即$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}=\frac{63}{64}$.

【过程思考】
(1)图甲中阴影部分的面积是,$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^7}=$.
(2)请你利用图乙,再设计能求$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}$的值的几何图形.(只画出图形即可)
(3)根据以上规律,计算:
①$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^n}=$;(n为正整数)
②$2+4+8+16+\dots+2^n=$.(n为正整数)

15.(1)$\frac{1}{64}$ $\frac{127}{128}$ 解析:由题知,正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半,所以题图中阴影部分的面积与第⑥部分的面积相等.又因为第①部分的面积为$\frac{1}{2}=\frac{1}{2^1}$,第②部分的面积为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}$,第③部分的面积为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}$……依次类推,第$n$部分的面积为$\frac{1}{2^n}$.当$n=6$时,$\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}$,所以阴影部分的面积为$\frac{1}{64}$.
因为$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^7}+\frac{1}{2^7}=1$,所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^7}=1-\frac{1}{2^7}=\frac{127}{128}$.
(2) 解析:如图所示(标序号部分)即为求$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}$值的几何图形.(所画图形合理即可)
(3)①$1-\frac{1}{2^n}$ 解析:根据前面的分析可知$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}$.
②$2^{n+1}-2$ 解析:令$S=2+4+8+16+\dots+2^n$ ①,将等式两边同时乘2得$2S=4+8+\dots+2^n+2^{n+1}$ ②,将②式减去①式得$S=2^{n+1}-2$,即$2+4+8+\dots+2^n=2^{n+1}-2$.