13. 请认真观察图形，解答下列问题。

(1)根据图中所标注的数据，用两种方法表示两个阴影部分的面积之和；
(2)由(1)你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
(3)如果$a,b(a＞b)$满足$a^2 + b^2 = 53$，$ab = 14$，求出$a + b$和$a^4 - b^4$的值。

13.(1)$a^2 + b^2$，$(a + b)^2 - 2ab$；(2)$a^2 + b^2=(a + b)^2 - 2ab$；(3)$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab=81$，因为$a＞b＞0$，所以$a + b=9$。$(a - b)^2=a^2 + b^2 - 2ab=25$。因为$a＞b$，所以$a - b=5$，所以$a^4 - b^4=(a^2 + b^2)(a + b)(a - b)=2385$。

【分析】
(1) 求阴影面积和可从两个角度思考：①分别计算两个阴影正方形的面积再相加，大阴影正方形边长为a，小阴影正方形边长为b，直接求和即可；②先计算边长为(a+b)的整个大正方形的面积，再减去两个空白长方形的面积（每个空白长方形长为a、宽为b），即可得到阴影面积和。
(2) 两种方法表示的都是同一个阴影总面积，因此二者相等，即可得到对应的等量关系。
(3) 利用(2)得到的完全平方公式变形，先代入已知值求出(a+b)²和(a-b)²，结合a＞b的条件开方得到a+b和a-b的值，再将a⁴-b⁴利用因式分解转化为含有a²+b²、a+b、a-b的式子，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 方法一：两个阴影部分分别是边长为a的正方形和边长为b的正方形，面积和为$a^2 + b^2$；
方法二：整个图形是边长为$(a+b)$的大正方形，面积为$(a+b)^2$，两个空白长方形的面积均为$ab$，总面积为$2ab$，因此阴影面积和为$(a+b)^2 - 2ab$。
(2) 由于两种方法表示的是同一部分的面积，因此等量关系为：$a^2 + b^2=(a + b)^2 - 2ab$。
(3) 计算$a+b$的值：
将$a^2 + b^2 = 53$，$ab = 14$代入$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$，得：
$(a+b)^2=53 + 2×14=81$，
因为a、b为边长是正数且$a＞b$，所以$a+b=\sqrt{81}=9$。
计算$a^4 - b^4$的值：
先求$a-b$，根据完全平方公式变形得$(a - b)^2=a^2 + b^2 - 2ab$，代入数值：
$(a-b)^2=53 - 2×14=25$，
因为$a＞b$，所以$a-b=\sqrt{25}=5$。
对$a^4 - b^4$因式分解：
$a^4 - b^4=(a^2 + b^2)(a^2 - b^2)=(a^2 + b^2)(a + b)(a - b)$，
代入数值计算：
$a^4 - b^4=53×9×5=2385$。
【答案】
(1) $a^2 + b^2$，$(a + b)^2 - 2ab$；
(2) $a^2 + b^2=(a + b)^2 - 2ab$；
(3) $a + b=9$，$a^4 - b^4=2385$
【知识点】
完全平方公式，因式分解，代数式求值
【点评】
本题结合几何图形考查了完全平方公式的几何背景及应用，通过面积法推导公式再利用公式变形计算，融入了数形结合思想，需要熟练掌握完全平方公式的变形和平方差公式的因式分解方法才能灵活解题。
【难度系数】
0.7