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18. 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程 $ x - 1 = 3 $ 的解为 $ x = 4 $，而不等式组 $ \begin{cases} x - 1 ＞ 1, \\ x - 2 ＜ 3 \end{cases} $ 的解集为 $ 2 ＜ x ＜ 5 $，不难发现 $ x = 4 $ 在 $ 2 ＜ x ＜ 5 $ 的范围内，∴方程 $ x - 1 = 3 $ 是不等式组 $ \begin{cases} x - 1 ＞ 1, \\ x - 2 ＜ 3 \end{cases} $ 的“关联方程”。
(1) 在方程① $ 3(x + 1) - x = 9 $；② $ \frac{x - 1}{2} + 1 = x $ 中，不等式组 $ \begin{cases}2x - 2 ＞ x - 1, \\ 3(x - 2) - x ≤ 4\end{cases}$ 的“关联方程”是 ______ ；(填序号)
(2) 若关于 $ x $ 的方程 $ 2x - k = 6 $ 是不等式组 $ \begin{cases} \frac{3x + 1}{2} ≥ x, \\ \frac{x - 1}{2} ≥ \frac{2x + 1}{3} - 2 \end{cases} $ 的“关联方程”，求 $ k $ 的取值范围；
(3) 若关于 $ x $ 的方程 $ \frac{x + 7}{2} - 3m = 0 $ 是关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases} \frac{x + 2m}{2} ＞ m, \\ x - m ≤ 2m + 1 \end{cases} $ 的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求 $ m $ 的取值范围。
(1) 在方程① $ 3(x + 1) - x = 9 $；② $ \frac{x - 1}{2} + 1 = x $ 中，不等式组 $ \begin{cases}2x - 2 ＞ x - 1, \\ 3(x - 2) - x ≤ 4\end{cases}$ 的“关联方程”是 ______ ；(填序号)
(2) 若关于 $ x $ 的方程 $ 2x - k = 6 $ 是不等式组 $ \begin{cases} \frac{3x + 1}{2} ≥ x, \\ \frac{x - 1}{2} ≥ \frac{2x + 1}{3} - 2 \end{cases} $ 的“关联方程”，求 $ k $ 的取值范围；
(3) 若关于 $ x $ 的方程 $ \frac{x + 7}{2} - 3m = 0 $ 是关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases} \frac{x + 2m}{2} ＞ m, \\ x - m ≤ 2m + 1 \end{cases} $ 的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求 $ m $ 的取值范围。
答案
18. 解：(1)① (2) $-8≤ k≤8$
(3)由关于$x$的方程$\dfrac{x + 7}{2} - 3m = 0$，
解得 $x = 6m - 7$.
$\begin{cases}\dfrac{x + 2m}{2} ＞ m,\ \ ①\\x - m≤ 2m + 1,\ \ ②\end{cases}$
解不等式①，得 $x ＞ 0$，
解不等式②，得 $x≤ 3m + 1$，
∴ 原不等式组的解集为$0 ＜ x≤ 3m + 1$.
∵ 不等式组有4个整数解，
∴ 整数解为1, 2, 3, 4.
∴ $4≤ 3m + 1 ＜ 5$.
∴ $1≤ m ＜ \dfrac{4}{3}$.
∵ 关于$x$的方程$\dfrac{x + 7}{2} - 3m = 0$是关于$x$的不等式组$\begin{cases}\dfrac{x + 2m}{2} ＞ m, \\x - m≤ 2m + 1\end{cases}$的“关联方程”，
∴ $\begin{cases}6m - 7 ＞ 0, \\6m - 7≤ 3m + 1,\end{cases}$
解得$\dfrac{7}{6} ＜ m≤ \dfrac{8}{3}$.
∴ $m$的取值范围为$\dfrac{7}{6} ＜ m ＜ \dfrac{4}{3}$.
(3)由关于$x$的方程$\dfrac{x + 7}{2} - 3m = 0$，
解得 $x = 6m - 7$.
$\begin{cases}\dfrac{x + 2m}{2} ＞ m,\ \ ①\\x - m≤ 2m + 1,\ \ ②\end{cases}$
解不等式①，得 $x ＞ 0$，
解不等式②，得 $x≤ 3m + 1$，
∴ 原不等式组的解集为$0 ＜ x≤ 3m + 1$.
∵ 不等式组有4个整数解，
∴ 整数解为1, 2, 3, 4.
∴ $4≤ 3m + 1 ＜ 5$.
∴ $1≤ m ＜ \dfrac{4}{3}$.
∵ 关于$x$的方程$\dfrac{x + 7}{2} - 3m = 0$是关于$x$的不等式组$\begin{cases}\dfrac{x + 2m}{2} ＞ m, \\x - m≤ 2m + 1\end{cases}$的“关联方程”，
∴ $\begin{cases}6m - 7 ＞ 0, \\6m - 7≤ 3m + 1,\end{cases}$
解得$\dfrac{7}{6} ＜ m≤ \dfrac{8}{3}$.
∴ $m$的取值范围为$\dfrac{7}{6} ＜ m ＜ \dfrac{4}{3}$.
解析
【分析】
本题属于新定义类问题，核心是理解“关联方程”的定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，即为关联方程。解题思路如下：
(1) 先分别求解两个一元一次方程得到方程的解，再求解不等式组得到解集，判断哪个方程的解落在解集范围内即可；
(2) 先求解不等式组得到解集，再将方程的解用含k的代数式表示，根据“关联方程”的定义让方程的解落在不等式组的解集内，列不等式求解k的范围；
(3) 先分别求解方程和不等式组，先根据不等式组有4个整数解确定m的初步范围，再根据“关联方程”的定义得到m的另一范围，两个范围取公共部分即为最终m的取值范围，注意边界值的取舍。
【解析】
(1) 先解不等式组$\begin{cases}2x - 2 ＞ x - 1, \\ 3(x - 2) - x ≤ 4\end{cases}$：
解第一个不等式：$2x-2＞x-1$，移项得$x＞1$；
解第二个不等式：$3x-6-x≤4$，化简得$2x≤10$，即$x≤5$；
所以不等式组解集为$1＜x≤5$。
再分别解方程：
① $3(x + 1) - x = 9$，展开得$3x+3-x=9$，化简得$2x=6$，解得$x=3$，$3$在$1＜x≤5$范围内，是关联方程；
② $\frac{x - 1}{2} + 1 = x$，两边乘2得$x-1+2=2x$，解得$x=1$，$1$不在$1＜x≤5$范围内，不是关联方程。
故填①。
(2) 先解不等式组$\begin{cases} \frac{3x + 1}{2} ≥ x, \\ \frac{x - 1}{2} ≥ \frac{2x + 1}{3} - 2 \end{cases}$：
解第一个不等式：两边乘2得$3x+1≥2x$，移项得$x≥-1$；
解第二个不等式：两边乘6得$3(x-1)≥2(2x+1)-12$，展开得$3x-3≥4x+2-12$，移项得$-x≥-7$，即$x≤7$；
所以不等式组解集为$-1≤x≤7$。
解方程$2x - k = 6$得$x=\frac{k+6}{2}$，
因为该方程是不等式组的关联方程，所以$\begin{cases}\frac{k+6}{2}≥-1 \\ \frac{k+6}{2}≤7 \end{cases}$，
解得$\begin{cases}k≥-8 \\ k≤8 \end{cases}$，即$-8≤k≤8$。
(3) 先解方程$\frac{x + 7}{2} - 3m = 0$，两边乘2得$x+7-6m=0$，解得$x=6m-7$。
再解不等式组$\begin{cases}\frac{x + 2m}{2} ＞ m,\ \ ①\\x - m≤ 2m + 1,\ \ ②\end{cases}$：
解不等式①：两边乘2得$x+2m＞2m$，解得$x＞0$；
解不等式②：移项得$x≤3m+1$；
所以不等式组解集为$0＜x≤3m+1$。
∵ 不等式组有4个整数解，
∴ 整数解为1、2、3、4，
∴ $4≤3m+1＜5$，解得$1≤m＜\frac{4}{3}$。
∵ 方程是不等式组的关联方程，
∴ $6m-7$在$0＜x≤3m+1$范围内，
即$\begin{cases}6m-7＞0 \\ 6m-7≤3m+1 \end{cases}$，解得$\begin{cases}m＞\frac{7}{6} \\ m≤\frac{8}{3} \end{cases}$。
综合两个范围，取公共部分得$\frac{7}{6}＜m＜\frac{4}{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{①}$；(2) $\boxed{-8≤ k≤8}$；(3) $\boxed{\dfrac{7}{6} ＜ m ＜ \dfrac{4}{3}}$
【知识点】
解一元一次方程，解一元一次不等式组，新定义应用
【点评】
本题是典型的新定义综合题，将一元一次方程、一元一次不等式组的知识结合考察，解题的核心是准确理解“关联方程”的定义，规范求解方程和不等式组，尤其在处理整数解问题时要注意边界值的取舍，多个限制条件下要注意取公共范围，避免边界判断错误导致失分。
【难度系数】
0.6
本题属于新定义类问题，核心是理解“关联方程”的定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，即为关联方程。解题思路如下：
(1) 先分别求解两个一元一次方程得到方程的解，再求解不等式组得到解集，判断哪个方程的解落在解集范围内即可；
(2) 先求解不等式组得到解集，再将方程的解用含k的代数式表示，根据“关联方程”的定义让方程的解落在不等式组的解集内，列不等式求解k的范围；
(3) 先分别求解方程和不等式组，先根据不等式组有4个整数解确定m的初步范围，再根据“关联方程”的定义得到m的另一范围，两个范围取公共部分即为最终m的取值范围，注意边界值的取舍。
【解析】
(1) 先解不等式组$\begin{cases}2x - 2 ＞ x - 1, \\ 3(x - 2) - x ≤ 4\end{cases}$：
解第一个不等式：$2x-2＞x-1$，移项得$x＞1$；
解第二个不等式：$3x-6-x≤4$，化简得$2x≤10$，即$x≤5$；
所以不等式组解集为$1＜x≤5$。
再分别解方程：
① $3(x + 1) - x = 9$，展开得$3x+3-x=9$，化简得$2x=6$，解得$x=3$，$3$在$1＜x≤5$范围内，是关联方程；
② $\frac{x - 1}{2} + 1 = x$，两边乘2得$x-1+2=2x$，解得$x=1$，$1$不在$1＜x≤5$范围内，不是关联方程。
故填①。
(2) 先解不等式组$\begin{cases} \frac{3x + 1}{2} ≥ x, \\ \frac{x - 1}{2} ≥ \frac{2x + 1}{3} - 2 \end{cases}$：
解第一个不等式：两边乘2得$3x+1≥2x$，移项得$x≥-1$；
解第二个不等式：两边乘6得$3(x-1)≥2(2x+1)-12$，展开得$3x-3≥4x+2-12$，移项得$-x≥-7$，即$x≤7$；
所以不等式组解集为$-1≤x≤7$。
解方程$2x - k = 6$得$x=\frac{k+6}{2}$，
因为该方程是不等式组的关联方程，所以$\begin{cases}\frac{k+6}{2}≥-1 \\ \frac{k+6}{2}≤7 \end{cases}$，
解得$\begin{cases}k≥-8 \\ k≤8 \end{cases}$，即$-8≤k≤8$。
(3) 先解方程$\frac{x + 7}{2} - 3m = 0$，两边乘2得$x+7-6m=0$，解得$x=6m-7$。
再解不等式组$\begin{cases}\frac{x + 2m}{2} ＞ m,\ \ ①\\x - m≤ 2m + 1,\ \ ②\end{cases}$：
解不等式①：两边乘2得$x+2m＞2m$，解得$x＞0$；
解不等式②：移项得$x≤3m+1$；
所以不等式组解集为$0＜x≤3m+1$。
∵ 不等式组有4个整数解，
∴ 整数解为1、2、3、4，
∴ $4≤3m+1＜5$，解得$1≤m＜\frac{4}{3}$。
∵ 方程是不等式组的关联方程，
∴ $6m-7$在$0＜x≤3m+1$范围内，
即$\begin{cases}6m-7＞0 \\ 6m-7≤3m+1 \end{cases}$，解得$\begin{cases}m＞\frac{7}{6} \\ m≤\frac{8}{3} \end{cases}$。
综合两个范围，取公共部分得$\frac{7}{6}＜m＜\frac{4}{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{①}$；(2) $\boxed{-8≤ k≤8}$；(3) $\boxed{\dfrac{7}{6} ＜ m ＜ \dfrac{4}{3}}$
【知识点】
解一元一次方程，解一元一次不等式组，新定义应用
【点评】
本题是典型的新定义综合题，将一元一次方程、一元一次不等式组的知识结合考察，解题的核心是准确理解“关联方程”的定义，规范求解方程和不等式组，尤其在处理整数解问题时要注意边界值的取舍，多个限制条件下要注意取公共范围，避免边界判断错误导致失分。
【难度系数】
0.6
