17.（生活应用）生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变得更甜. 我们把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度$(甜度=\dfrac{糖的质量}{糖水的质量})$，甜度越大糖水越甜. 小杭现在有一杯质量为100 g的糖水，其中含有a g糖$(0 ＜ a ＜ 100)$；他试了一下感觉不够甜，又向其中添加了10 g糖，并搅拌至完全溶解.
（1）原来的甜度为，加糖后的甜度为；（用含a的代数式表示）
（2）根据加糖前后的甜度，请你用代数式说明加糖后变甜的理由；
（3）要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于10%，又不超过15%. 如果上述操作后甜度符合要求，求a的取值范围.

17. 解：(1)$\dfrac{a}{100}\ \ \dfrac{a+10}{110}$
(2)$\dfrac{a+10}{110} - \dfrac{a}{100} = \dfrac{a+10}{110} - \dfrac{1.1a}{110} = \dfrac{10 - 0.1a}{110}$，
∵ $0 ＜ a ＜ 100,\ \therefore 0 ＜ 0.1a ＜ 10$.
∴ $10 - 0.1a ＞ 0.\ \therefore \dfrac{10 - 0.1a}{110} ＞ 0$，
即$\dfrac{a+10}{110} - \dfrac{a}{100} ＞ 0.\ \therefore \dfrac{a+10}{110} ＞ \dfrac{a}{100}$.
∴ 加糖后糖水变甜；
(3)根据题意得：$\begin{cases}\dfrac{a+10}{110}≥10\%, \\\dfrac{a+10}{110}≤15\%.\end{cases}$
解得：$1≤ a≤6.5$.
答：$a$的取值范围为$1≤ a≤6.5$.

【分析】
（1）直接依据题目给出的甜度计算公式，代入加糖前后糖的质量、糖水总质量，即可写出对应甜度的代数式。
（2）要证明加糖后更甜，本质是比较加糖前后两个甜度的大小，采用作差法：计算两个甜度的差值，再结合a的取值范围判断差值的正负，若差值为正，说明加糖后的甜度更大。
（3）根据甜度“不低于10%、不超过15%”的要求，列出关于a的一元一次不等式组，求解不等式组即可得到a的取值范围。
【解析】
（1）原来糖水质量为100g，含糖a g，根据甜度公式，原来的甜度为$\dfrac{a}{100}$；加入10g糖完全溶解后，糖的质量变为$(a+10)\ \mathrm{g}$，糖水总质量变为$100+10=110\ \mathrm{g}$，因此加糖后的甜度为$\dfrac{a+10}{110}$。
（2）计算加糖前后甜度的差：
$\dfrac{a+10}{110} - \dfrac{a}{100} = \dfrac{10(a+10)}{1100} - \dfrac{11a}{1100} = \dfrac{100 - a}{1100}$
$\because 0 ＜ a ＜ 100$，$\therefore 100 - a ＞ 0$，
$\therefore \dfrac{100 - a}{1100} ＞ 0$，即$\dfrac{a+10}{110} - \dfrac{a}{100} ＞ 0$，
$\therefore \dfrac{a+10}{110} ＞ \dfrac{a}{100}$，因此加糖后糖水更甜。
（3）根据题意列不等式组：
$\begin{cases} \dfrac{a+10}{110} ≥ 10\% \\ \dfrac{a+10}{110} ≤ 15\% \end{cases}$
解第一个不等式：两边同乘110得$a+10 ≥ 11$，解得$a ≥ 1$；
解第二个不等式：两边同乘110得$a+10 ≤ 16.5$，解得$a ≤ 6.5$；
因此不等式组的解集为$1 ≤ a ≤ 6.5$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\dfrac{a}{100}}$；$\boldsymbol{\dfrac{a+10}{110}}$
（2）加糖后甜度大于加糖前甜度，所以糖水变甜，理由见解析；
（3）$\boldsymbol{1 ≤ a ≤ 6.5}$
【知识点】
分式的实际应用，作差法比较大小，一元一次不等式组的应用
【点评】
本题结合生活常识出题，将实际问题转化为数学问题，既考查了代数式表示、分式大小比较、不等式组求解等基础能力，又体现了数学和生活的紧密联系，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7