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12. 已知 $5mx^{3}y$ 与 $-5nx^{2a-3}y$ 是关于 $x,y$ 的单项式,且它们是同类项.
(1)求 $(7a-22)^{2024}$ 的值;
(2)若 $5mx^{3}y-5nx^{2a-3}y=0$,且 $xy ≠ 0$,求 $(5m-5n)^{2025}$ 的值.
(1)求 $(7a-22)^{2024}$ 的值;
(2)若 $5mx^{3}y-5nx^{2a-3}y=0$,且 $xy ≠ 0$,求 $(5m-5n)^{2025}$ 的值.
答案
12.解:(1)因为$5mx^{3}y$与$-5nx^{2a-3}y$是同类项，
所以$3=2a-3$,解得$a=3$.
所以$(7a-22)^{2024}=(7×3-22)^{2024}=1$.
(2)因为$5mx^{3}y-5nx^{2a-3}y=0$,且$xy≠0$,
所以$5m-5n=0$,所以$(5m-5n)^{2025}=0$.
所以$3=2a-3$,解得$a=3$.
所以$(7a-22)^{2024}=(7×3-22)^{2024}=1$.
(2)因为$5mx^{3}y-5nx^{2a-3}y=0$,且$xy≠0$,
所以$5m-5n=0$,所以$(5m-5n)^{2025}=0$.
解析
【分析】
本题考查同类项的概念及幂的运算。解题思路：（1）根据同类项定义，所含相同字母的指数相同，可列出关于a的方程，求出a的值后代入代数式计算；（2）两个同类项相减结果为0且xy≠0，说明它们的系数相等，进而求出5m-5n的值，再代入幂的运算即可。
【解析】
（1）因为$5mx^{3}y$与$-5nx^{2a-3}y$是同类项，根据同类项定义，相同字母的指数相同，所以x的指数相等，即$3=2a-3$，解得$a=3$。将$a=3$代入$(7a-22)^{2024}$，得$(7×3 -22)^{2024}=(21-22)^{2024}=(-1)^{2024}=1$。
（2）因为$5mx^{3}y -5nx^{2a-3}y=0$，且$xy≠0$，说明两个同类项的系数相减为0，即$5m -5n=0$，所以$(5m -5n)^{2025}=0^{2025}=0$。
【答案】
(1)1；(2)0
【知识点】
同类项的定义、合并同类项、有理数的乘方
【点评】
本题为基础题，主要考查同类项的概念和幂的运算，牢记同类项的定义即可顺利解题，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查同类项的概念及幂的运算。解题思路：（1）根据同类项定义，所含相同字母的指数相同，可列出关于a的方程，求出a的值后代入代数式计算；（2）两个同类项相减结果为0且xy≠0，说明它们的系数相等，进而求出5m-5n的值，再代入幂的运算即可。
【解析】
（1）因为$5mx^{3}y$与$-5nx^{2a-3}y$是同类项，根据同类项定义，相同字母的指数相同，所以x的指数相等，即$3=2a-3$，解得$a=3$。将$a=3$代入$(7a-22)^{2024}$，得$(7×3 -22)^{2024}=(21-22)^{2024}=(-1)^{2024}=1$。
（2）因为$5mx^{3}y -5nx^{2a-3}y=0$，且$xy≠0$，说明两个同类项的系数相减为0，即$5m -5n=0$，所以$(5m -5n)^{2025}=0^{2025}=0$。
【答案】
(1)1；(2)0
【知识点】
同类项的定义、合并同类项、有理数的乘方
【点评】
本题为基础题，主要考查同类项的概念和幂的运算，牢记同类项的定义即可顺利解题，难度较低。
【难度系数】
0.8
13. 已知三个单项式$4xy^{2},axy^{b},-5xy$相加得到的和仍然是单项式,其中$a,b$均为常数,求$a+b$的值.
答案
13.解:因为三个单项式$4xy^{2},axy^{b},-5xy$相加得到的和仍然是单项式,所以$4xy^{2}$与$axy^{b}$是同类项或$axy^{b}$与$-5xy$是同类项.
当$4xy^{2}$与$axy^{b}$是同类项时，
则$b=2$且$4xy^{2}+axy^{b}=0$,
所以$a=-4$,此时$a+b=-4+2=-2$.
当$axy^{b}$与$-5xy$是同类项时，
则$b=1$且$axy^{b}+(-5xy)=0$,
所以$a=5$,此时$a+b=5+1=6$.
综上可知,$a+b$的值为$-2$或$6$.
当$4xy^{2}$与$axy^{b}$是同类项时，
则$b=2$且$4xy^{2}+axy^{b}=0$,
所以$a=-4$,此时$a+b=-4+2=-2$.
当$axy^{b}$与$-5xy$是同类项时，
则$b=1$且$axy^{b}+(-5xy)=0$,
所以$a=5$,此时$a+b=5+1=6$.
综上可知,$a+b$的值为$-2$或$6$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确“几个单项式相加的和仍是单项式”的核心条件：只有存在同类项时，单项式才能合并为一个单项式，因此要分两种情况讨论：一是4xy²与axyᵇ为同类项，二是axyᵇ与-5xy为同类项，再结合同类项定义和合并规则求出a、b的值，最终计算a+b。
【解析】
因为三个单项式相加的和仍是单项式，所以分两种情况：
情况1：4xy²与axyᵇ是同类项，且它们的和为0（保证整体和为单项式）。
根据同类项定义：所含字母相同，相同字母的指数相同，得b=2；
又4xy² + axyᵇ = 0，即系数和为0，故4+a=0，解得a=-4，此时a+b=-4+2=-2。
情况2：axyᵇ与-5xy是同类项，且它们的和为0（保证整体和为单项式）。
根据同类项定义，得b=1；
又axyᵇ + (-5xy)=0，即系数和为0，故a-5=0，解得a=5，此时a+b=5+1=6。
综上，a+b的值为-2或6。
【答案】
-2或6
【知识点】
同类项，合并同类项
【点评】
本题考查同类项的定义及合并同类项的法则，关键是理解“和为单项式”需存在可合并的同类项，需分情况讨论避免漏解，属于基础整式运算题，侧重概念应用。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需明确“几个单项式相加的和仍是单项式”的核心条件：只有存在同类项时，单项式才能合并为一个单项式，因此要分两种情况讨论：一是4xy²与axyᵇ为同类项，二是axyᵇ与-5xy为同类项，再结合同类项定义和合并规则求出a、b的值，最终计算a+b。
【解析】
因为三个单项式相加的和仍是单项式，所以分两种情况：
情况1：4xy²与axyᵇ是同类项，且它们的和为0（保证整体和为单项式）。
根据同类项定义：所含字母相同，相同字母的指数相同，得b=2；
又4xy² + axyᵇ = 0，即系数和为0，故4+a=0，解得a=-4，此时a+b=-4+2=-2。
情况2：axyᵇ与-5xy是同类项，且它们的和为0（保证整体和为单项式）。
根据同类项定义，得b=1；
又axyᵇ + (-5xy)=0，即系数和为0，故a-5=0，解得a=5，此时a+b=5+1=6。
综上，a+b的值为-2或6。
【答案】
-2或6
【知识点】
同类项，合并同类项
【点评】
本题考查同类项的定义及合并同类项的法则，关键是理解“和为单项式”需存在可合并的同类项，需分情况讨论避免漏解，属于基础整式运算题，侧重概念应用。
【难度系数】
0.5
14. (2024·南京期中)已知一个四位数,它的千位、百位、十位、个位数字分别为$a,b,c,d$.
(1)这个四位数可以表示为
(2)若$a+b+c+d$可以被9整除,则这个四位数一定可以被9整除,为什么?
(3)若$a=d,b=c$,则这个数一定可以被11整除,为什么?
(1)这个四位数可以表示为
$1000a+100b+10c+d$
;(2)若$a+b+c+d$可以被9整除,则这个四位数一定可以被9整除,为什么?
(3)若$a=d,b=c$,则这个数一定可以被11整除,为什么?
答案
14.(1)$1000a+100b+10c+d$
(2)解:$1000a+100b+10c+d=(999a+a)+(99b+b)+(9c+c)+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=9×(111a+11b+c)+(a+b+c+d)$.
因为$a+b+c+d$可以被9整除,所以$9×(111a+11b+c)$也可以被9整除，
所以$1000a+100b+10c+d$一定可以被9整除.
(3)解:若$a=d,b=c$,
则$1000a+100b+10c+d=1000a+a+100b+10b=1001a+110b=11(91a+10b)$.
因为$11(91a+10b)$能被11整除,所以$1000a+100b+10c+d$能被11整除.
(2)解:$1000a+100b+10c+d=(999a+a)+(99b+b)+(9c+c)+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=9×(111a+11b+c)+(a+b+c+d)$.
因为$a+b+c+d$可以被9整除,所以$9×(111a+11b+c)$也可以被9整除，
所以$1000a+100b+10c+d$一定可以被9整除.
(3)解:若$a=d,b=c$,
则$1000a+100b+10c+d=1000a+a+100b+10b=1001a+110b=11(91a+10b)$.
因为$11(91a+10b)$能被11整除,所以$1000a+100b+10c+d$能被11整除.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确四位数的数位计数单位，将其转化为代数式；再利用整式变形结合整除的性质，分别证明数字和与9的整除关系、数位满足a=d且b=c时数与11的整除关系。
【解析】
(1) 四位数的千位数字为a，对应1000a；百位数字为b，对应100b；十位数字为c，对应10c；个位数字为d，对应d，因此这个四位数可表示为$1000a+100b+10c+d$。
(2) 对四位数变形：
$1000a+100b+10c+d=(999a+a)+(99b+b)+(9c+c)+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=9×(111a+11b+c)+(a+b+c+d)$。
因为$9×(111a+11b+c)$是9的倍数，若$a+b+c+d$能被9整除，则两部分的和$1000a+100b+10c+d$一定能被9整除。
(3) 当$a=d,b=c$时，代入四位数的表达式：
$1000a+100b+10c+d=1000a+a+100b+10b=1001a+110b=11×(91a+10b)$。
因为$11×(91a+10b)$是11的倍数，所以这个四位数一定能被11整除。
【答案】
(1)$1000a+100b+10c+d$；
(2) 因为$1000a+100b+10c+d=9×(111a+11b+c)+(a+b+c+d)$，若$a+b+c+d$能被9整除，且$9×(111a+11b+c)$能被9整除，所以这个四位数一定可以被9整除；
(3) 因为当$a=d,b=c$时，$1000a+100b+10c+d=11×(91a+10b)$，是11的倍数，所以这个数一定可以被11整除。
【知识点】
整式的加减、数的整除性
【点评】
本题结合数位的代数表示，通过整式变形考察整除性质的应用，是初中数与代数部分的基础题型，帮助学生理解代数与数论结合的解题思路，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需明确四位数的数位计数单位，将其转化为代数式；再利用整式变形结合整除的性质，分别证明数字和与9的整除关系、数位满足a=d且b=c时数与11的整除关系。
【解析】
(1) 四位数的千位数字为a，对应1000a；百位数字为b，对应100b；十位数字为c，对应10c；个位数字为d，对应d，因此这个四位数可表示为$1000a+100b+10c+d$。
(2) 对四位数变形：
$1000a+100b+10c+d=(999a+a)+(99b+b)+(9c+c)+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=9×(111a+11b+c)+(a+b+c+d)$。
因为$9×(111a+11b+c)$是9的倍数，若$a+b+c+d$能被9整除，则两部分的和$1000a+100b+10c+d$一定能被9整除。
(3) 当$a=d,b=c$时，代入四位数的表达式：
$1000a+100b+10c+d=1000a+a+100b+10b=1001a+110b=11×(91a+10b)$。
因为$11×(91a+10b)$是11的倍数，所以这个四位数一定能被11整除。
【答案】
(1)$1000a+100b+10c+d$；
(2) 因为$1000a+100b+10c+d=9×(111a+11b+c)+(a+b+c+d)$，若$a+b+c+d$能被9整除，且$9×(111a+11b+c)$能被9整除，所以这个四位数一定可以被9整除；
(3) 因为当$a=d,b=c$时，$1000a+100b+10c+d=11×(91a+10b)$，是11的倍数，所以这个数一定可以被11整除。
【知识点】
整式的加减、数的整除性
【点评】
本题结合数位的代数表示，通过整式变形考察整除性质的应用，是初中数与代数部分的基础题型，帮助学生理解代数与数论结合的解题思路，难度适中。
【难度系数】
0.6
