1. 下列关于公理和定理的联系,说法不正确的是()

A.公理和定理都是真命题
B.公理就是定理,定理也是公理
C.公理和定理都可以作为推理论证的依据
D.公理的正确性不需要证明,定理的正确性需要证明

B
【解析】：
这道题目考察的是对于公理和定理的理解。
公理是数学中不需要证明而直接接受的基本事实或原则。
定理则是通过逻辑推理从公理或其他已经证明的定理中推导出来的命题。
A选项表示公理和定理都是真命题，这是正确的，因为无论是公理还是定理，它们都是被接受或证明为真的命题。
B选项表示公理就是定理，定理也是公理，这是不正确的。公理和定理在数学中有不同的地位和作用，公理是基本假设，而定理是基于这些假设推导出来的结论。
C选项表示公理和定理都可以作为推理论证的依据，这是正确的。在数学证明中，我们可以使用公理和定理来推导新的结论。
D选项表示公理的正确性不需要证明，定理的正确性需要证明，这也是正确的。公理是被直接接受的，而定理需要通过逻辑推理来证明。
因此，不正确的说法是B选项。
【答案】：B

2. 若 $ \angle 1 + \angle 2 = 90°,\angle 3 + \angle 2 = 90° $,则 $ \angle 1 = \angle 3 $,理由是。

同角的余角相等。
【解析】：
本题主要考查等角的余角相等的性质。
根据题目条件，我们有$\angle 1 + \angle 2 = 90°$和$\angle 3 + \angle 2 = 90°。$
从第一个等式中解出$\angle 1，$我们得到$\angle 1 = 90° - \angle 2。$
从第二个等式中解出$\angle 3，$我们得到$\angle 3 = 90° - \angle 2。$
比较上面两个结果，我们可以看出$\angle 1 = \angle 3。$
这是因为两个角都是$\angle 2$的余角，根据等角的余角相等的性质，所以$\angle 1 = \angle 3。$
【答案】：
等角的余角相等。

3. 如图,已知 $ \angle AOB $ 与 $ \angle BOC $ 互为补角, $ OD $ 平分 $ \angle AOB,\angle 2 + \angle 3 = 90° $。
求证: $ \angle BOE = \frac{1}{2}\angle BOC $。
请完成下列证明。
证明: $ \because \angle AOB $ 与 $ \angle BOC $ 互为补角(已知),
$ \therefore \angle AOB + \angle BOC = $(补角的定义),
即 $ \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = $。
又 $ \because \angle 2 + \angle 3 = 90° $(已知),
$ \therefore \angle 1 + \angle 4 = $(等式的基本性质)。
$ \because OD $ 平分 $ \angle AOB $,
$ \therefore \angle 1 = \angle 2 $()。
$ \therefore \angle 3 = \angle 4 $(),
即 $ \angle BOE = \frac{1}{2}\angle BOC $。

$180^\circ$
$180^\circ$
$90^\circ$
角平分线的定义
等角的余角相等
证明：∵∠AOB与∠BOC互为补角(已知),
∴∠AOB + ∠BOC = 180°(补角的定义),
即∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°。
又∵∠2 + ∠3 = 90°(已知),
∴∠1 + ∠4 = 90°(等式的基本性质)。
∵OD平分∠AOB,
∴∠1 = ∠2(角平分线的定义)。
∴∠3 = ∠4(等角的余角相等),
即$∠BOE = \frac{1}{2}∠BOC。$
证明：∵∠AOB与∠BOC互为补角(已知),
∴∠AOB + ∠BOC = 180°(补角的定义),
即∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°。
又∵∠2 + ∠3 = 90°(已知),
∴∠1 + ∠4 = 90°(等式的基本性质)。
∵OD平分∠AOB,
∴∠1 = ∠2(角平分线的定义)。
∴∠3 = ∠4(等角的余角相等),
即$∠BOE = \frac{1}{2}∠BOC。$
证明：∵∠AOB与∠BOC互为补角(已知),
∴∠AOB + ∠BOC = 180°(补角的定义),
即∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°。
又∵∠2 + ∠3 = 90°(已知),
∴∠1 + ∠4 = 90°(等式的基本性质)。
∵OD平分∠AOB,
∴∠1 = ∠2(角平分线的定义)。
∴∠3 = ∠4(等角的余角相等),
即$∠BOE = \frac{1}{2}∠BOC。$

4. 如图,已知 $ \angle BAD = \angle EAC $,求证: $ \angle 1 = \angle 2 $。
]

证明：∵∠BAD=∠EAC(已知)
∴∠BAD-∠EAD=∠EAC-∠EAD(等式的性质)
∴∠1=∠2

5. 如图,已知 $ OP $ 平分 $ \angle COD,\angle AOC = \angle BOD $,求证: $ OP $ 平分 $ \angle AOB $。
]

证明：因为 OP 平分∠COD
所以∠COP = ∠DOP
又因为∠AOC = ∠BOD
所以∠COP + ∠AOC = ∠DOP + ∠BOD
即∠AOP = ∠BOP
所以 OP 平分∠AOB