1. 下列语句是命题的是()

A.作直线 $ AB $ 的垂线
B.在线段 $ AB $ 上取点 $ C $
C.垂线段最短吗?
D.同旁内角互补

D
【解析】：
首先，我们需要明确什么是命题。命题是一个可以判断真假的陈述句。
接下来，我们逐一分析每个选项：
A. "作直线AB的垂线"是一个操作指令，不是一个可以判断真假的陈述句，所以不是命题。
B. "在线段AB上取点C"同样是一个操作指令，也不是一个可以判断真假的陈述句，所以不是命题。
C. "垂线段最短吗？"是一个疑问句，不是陈述句，所以不是命题。
D. "同旁内角互补"是一个可以判断真假的陈述句（在几何学中，这是一个定理或已知条件，可以判断其真假），所以是命题。
【答案】：
D

2. 下列命题为真命题的是()

A.非负数都有两个平方根
B.同旁内角互补
C.坐标轴上的点不属于任何象限
D.带根号的数都是无理数

C
【解析】：
本题是一个选择题，要求我们判断四个命题的真假。
A. 非负数包括0和所有的正数，0的平方根只有一个，即0，而正数的平方根有两个，一个正数和一个负数。所以，非负数并不都有两个平方根，此选项错误。
B. 同旁内角互补这一命题并不总是成立。它只在两直线平行的情况下成立。所以，此选项错误。
C. 坐标轴上的点，即x轴或y轴上的点，不属于任何象限。因为象限是定义在坐标轴之间的区域。所以，此选项正确。
D. 带根号的数并不都是无理数。例如，$\sqrt{4} = 2$是一个有理数。所以，此选项错误。
综上所述，只有C选项是真命题。
【答案】：
C

3. 下列选项中,可以用来说明命题“若 $ |a|＞2 $,则 $ a＞2 $”是假命题的反例是()

A.$ a = 3 $
B.$ a = 1 $
C.$ a = 0 $
D.$ a = - 4 $

D
【解析】：
本题考察的是对命题真假的判断以及反例的应用。
命题是“若|a|＞2，则a＞2”。
为了证明这个命题是假命题，需要找到一个满足“|a|＞2”但不满足“a＞2”的a值。
分析选项：
A. a=3，此时|3|＞2且3＞2，满足命题，不能作为反例。
B. a=1，此时|1|＜2，不满足命题中的“|a|＞2”，因此不能作为反例。
C. a=0，同样|0|＜2，不满足命题中的“|a|＞2”，因此不能作为反例。
D. a=-4，此时|-4|＞2，但-4＜2，满足命题中的“|a|＞2”但不满足“a＞2”，因此可以作为反例。
综上所述，只有选项D满足作为反例的条件。
【答案】：
D

4. 能说明“三角形的高线一定在三角形的内部(含边界)”是假命题的反例是()

]

C
【解析】：
要证明“三角形的高线一定在三角形的内部（含边界）”是假命题，需要找到一个反例，即存在一个三角形，其高线不在三角形的内部（含边界）。
分析选项：
A选项：是一个锐角三角形，所有的高线都在三角形的内部，符合原命题的描述，不能作为反例。
B选项：是一个直角三角形，其两条高线与直角边重合，另一条高线在三角形内部，也符合原命题的描述，不能作为反例。
C选项：是一个钝角三角形，其钝角所对的高线在三角形外部，这违反了原命题的描述，因此可以作为反例。
D选项：是一个等边三角形，所有的高线都在三角形的内部，符合原命题的描述，不能作为反例。
所以C选项是反例，可以证明“三角形的高线一定在三角形的内部（含边界）”是假命题。
【答案】：
C。

5. 请你把下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并判断命题的真假。
(1)等角的补角相等。
(2)在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行。

(1)如果两个角是相等角的补角，那么这两个角相等。真命题。
(2)在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。真命题。
解：
(1)等角的补角相等改写成''如果…那么…''
的形式为如果两个角相等，那么这两个角的
补角也相等。此命题为真命题。
(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线
平行改写成''如果……那么……''的形式为
在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条
直线，那么这两条直线互相平行。
此命题为真命题。

6. 判断下列命题是真命题还是假命题。如果是假命题,请举出一个反例。
(1)两个钝角的和一定大于 $ 180° $。
(2)异号两数相加和为零。
(3)若 $ a^2 = b^2 $,则 $ a = b $。

解：​(1)​两个钝角的和一定大于​180°，​
是真命题
​(2)​异号两数相加和为零，为假命题。
反例：​-3+2=-1。​
​(3)​若$​a^2=b^2，$​则​a=b，​为假命题。
反例：$​(-3)^2=3^2，$​但​-3≠3​

7. (1)当 $ n = 1,2,3 $ 时,分别求出代数式 $ n^2 - 12n + 35 $ 的值。
(2)判断命题“对任何正整数 $ n,n^2 - 12n + 35 $ 的值都是自然数”是真命题还是假命题。若是真命题,则说明理由;若是假命题,则举出反例。

解：​
(1)​当​n=1​时，原式$​= 1^2 - 12 × 1 + 35 = 24​$
当​n=2​时，原式$​= 2^2 - 12 × 2 + 35 = 15​$
当​n=3​时，原式$​= 3^2 - 12 × 3 + 35 = 8​$

(2)​命题是假命题。
反例：当​n=6​时，代数式$​n^2-12n+35=-1​$
因为​-1​不是自然数，所以命题是假命题
【解析】：
(1) 这个部分要求当n=1, 2, 3时，求出代数式$n^2 - 12n + 35$的值。这涉及到代数式的代入和计算。
(2) 这个部分要求判断命题“对任何正整数n，$n^2 - 12n + 35$的值都是自然数”是真命题还是假命题。这涉及到对代数式进行因式分解，并判断其结果是否为自然数。
首先，我们需要对代数式进行因式分解，得到：$n^2 - 12n + 35 = (n - 5)(n - 7)。$
然后，我们尝试找出使该代数式不是自然数的n值。当n=6时，$n^2 - 12n + 35 = (6 - 5) × (6 - 7) = -1，$不是自然数。