1. 如图,将图①中阴影部分拼成图②,根据两个图形中阴影部分的关系,可以验证下列的计算公式是()。


A.$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$
B.$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
C.$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
D.$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab$

1. B

【分析】
首先，我们需要分别计算图①和图②中阴影部分的面积，再通过面积相等来验证公式：
1. 观察图①：阴影部分可拼成边长为$(a-b)$的正方形，根据正方形面积公式，其面积为$(a-b)^2$。
2. 观察图②：阴影部分面积可通过大正方形面积减去中间十字空白部分的面积得到。大正方形面积为$a^2$，十字空白部分的面积是两个长为$a$、宽为$b$的长方形面积之和，减去中间重复计算的边长为$b$的正方形面积，即$2ab - b^2$，因此阴影部分面积为$a^2 - (2ab - b^2)=a^2 - 2ab + b^2$。
3. 由于两个图形的阴影部分是同一部分拼接而成，面积相等，因此可推导出对应的公式。
【解析】
1. 计算图①阴影面积：
图①阴影部分是边长为$(a-b)$的正方形，面积为$\boldsymbol{(a-b)^2}$。
2. 计算图②阴影面积：
大正方形面积为$a^2$，空白十字部分面积为$2ab - b^2$，因此阴影部分面积为：
$a^2 - (2ab - b^2) = a^2 - 2ab + b^2$。
3. 面积等量关系：
因为两个图形阴影部分面积相等，所以$\boldsymbol{(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
差的完全平方公式
【点评】
本题借助数形结合的思想，通过同一阴影部分的两种面积计算方式，验证了差的完全平方公式，帮助直观理解整式乘法公式的几何意义。
【难度系数】
0.7

2. 计算 $(\dfrac{7}{3}x-\dfrac{3}{2})^{2}$ 的结果是()。

A.$\dfrac{7}{3}x^{2}-7x+\dfrac{3}{2}$
B.$\dfrac{49}{9}x^{2}-\dfrac{7}{2}x+\dfrac{9}{4}$
C.$\dfrac{49}{9}x^{2}-7x+\dfrac{9}{4}$
D.$\dfrac{7}{3}x^{2}-\dfrac{7}{2}x+\dfrac{9}{4}$

2. C

【分析】
这道题考查完全平方公式的应用，解题思路是先回忆完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，然后确定公式中的$a$和$b$分别对应题目中的$\dfrac{7}{3}x$和$\dfrac{3}{2}$，接着分别计算$a^2$、$2ab$、$b^2$这三项，最后按照公式组合起来，再对比选项得出正确答案。
【解析】
根据完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，令$a=\dfrac{7}{3}x$，$b=\dfrac{3}{2}$，则：
1. 计算$a^2$：$(\dfrac{7}{3}x)^2=\dfrac{49}{9}x^2$；
2. 计算$2ab$：$2×\dfrac{7}{3}x×\dfrac{3}{2}=7x$；
3. 计算$b^2$：$(\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{9}{4}$；
将以上三项代入公式可得：
$(\dfrac{7}{3}x-\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{49}{9}x^2 -7x +\dfrac{9}{4}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题主要考查完全平方公式的直接应用，解题时需注意公式中各项的系数计算，尤其是中间项的$2ab$，容易因系数约分错误而出错，计算过程中要仔细核对每一步的运算。
【难度系数】
0.8

3. 在式子①$(-3x-1)^{2}$,②$(-3x-1)(-3x+1)$,③$(-3x+1)(3x+1)$,④$(3x-1)^{2}$,⑤$(1+3x)^{2}$中,相等的是()。

A.①和④
B.①和⑤
C.②和③
D.②和④

3. B

【分析】
要判断式子是否相等，可利用完全平方公式和平方差公式将每个式子展开化简，再对比结果。首先回忆公式：完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。然后逐个分析每个式子：
1. 对于$(-3x-1)^2$，可转化为$[-(3x+1)]^2$，根据平方的非负性，负号平方后消去，等价于$(3x+1)^2$；
2. 对于$(-3x-1)(-3x+1)$，符合平方差公式形式，把$-3x$看作$a$，$1$看作$b$，可直接套用公式；
3. 对于$(-3x+1)(3x+1)$，变形为$(1-3x)(1+3x)$，再用平方差公式；
4. $(3x-1)^2$直接套用完全平方公式展开；
5. $(1+3x)^2$和$(3x+1)^2$是同一形式，展开结果相同。最后对比所有式子的化简结果，找出相等的式子。
【解析】
分别化简每个式子：
①$(-3x-1)^2=[-(3x+1)]^2=(3x+1)^2=9x^2+6x+1$；
②$(-3x-1)(-3x+1)=(-3x)^2-1^2=9x^2-1$；
③$(-3x+1)(3x+1)=(1-3x)(1+3x)=1^2-(3x)^2=1-9x^2$；
④$(3x-1)^2=(3x)^2-2×3x×1+1^2=9x^2-6x+1$；
⑤$(1+3x)^2=(3x+1)^2=9x^2+6x+1$。
对比结果可知，①和⑤的化简结果相同，所以相等的是①和⑤。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题主要考查整式乘法公式的应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式，同时要注意符号的处理，避免因符号错误导致结果偏差。通过展开化简对比结果的方法，能直观判断式子是否相等，是解决此类问题的常用思路。
【难度系数】
0.8

4. (1)$(x-2)^{2}=$;
(2)$(2m+n)^{2}=$;
(3)$(\dfrac{1}{2}x-y)^{2}=$;
(4)$(-x-1)^{2}=$。

4.①$x^{2}-4x+4$ ②$4m^{2}+4mn+n^{2}$
③$\frac{1}{4}x^{2}-xy+y^{2}$ ④$x^{2}+2x+1$

【分析】
这几道题考查完全平方公式的应用，解题核心是准确识别每个式子中的a和b，然后套用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$进行展开。需要注意：1. 当底数是负数或带有系数的单项式时，要正确计算平方项；2. 中间项的符号由原式中a和b的符号决定；3. 对于形如$(-a-b)^2$的式子，可转化为$(a+b)^2$（因为平方后负号可去掉），简化计算。
【解析】
(1) 根据完全平方公式，将$a=x$，$b=2$代入$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$：
$(x-2)^2=x^2-2· x·2+2^2=x^2-4x+4$
(2) 将$a=2m$，$b=n$代入$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：
$(2m+n)^2=(2m)^2+2·2m· n+n^2=4m^2+4mn+n^2$
(3) 将$a=\frac{1}{2}x$，$b=y$代入$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$：
$(\frac{1}{2}x-y)^2=(\frac{1}{2}x)^2-2·\frac{1}{2}x· y+y^2=\frac{1}{4}x^2-xy+y^2$
(4) 方法一：将$(-x-1)^2$转化为$[-(x+1)]^2=(x+1)^2$，再代入完全平方公式：
$(x+1)^2=x^2+2· x·1+1^2=x^2+2x+1$
方法二：直接将$a=-x$，$b=-1$代入$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：
$(-x-1)^2=(-x)^2+2·(-x)·(-1)+(-1)^2=x^2+2x+1$
【答案】
(1)$x^{2}-4x+4$；(2)$4m^{2}+4mn+n^{2}$；(3)$\frac{1}{4}x^{2}-xy+y^{2}$；(4)$x^{2}+2x+1$
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，重点考查对公式结构的理解与运用。解题时需注意区分平方差公式与完全平方公式，同时关注底数的符号、系数的平方运算，避免出现漏乘中间项的2倍或系数平方错误的问题。通过这类题目可巩固整式乘法的核心公式，为后续复杂多项式运算打下基础。
【难度系数】
0.8

5. 如果二次三项式 $x^{2}+mx+1$ 是完全平方式,那么常数 $m=$。

5.$\pm 2$

【分析】
要解决这个问题，首先需明确完全平方式的结构特征：完全平方式可表示为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。将题目中的二次三项式$x^2+mx+1$与该形式对应：二次项$x^2$对应$a^2$，可得$a=x$；常数项$1$对应$b^2$，可得$b=\pm1$。中间的一次项$mx$对应$\pm2ab$，代入$a$和$b$的值即可求出$m$，注意$b$有正负两种情况，$m$也会对应两个结果，不能漏解。
【解析】
根据完全平方式的形式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，已知$x^2+mx+1$是完全平方式，进行如下推导：
1. 确定$a$的值：由$a^2=x^2$，可得$a=x$；
2. 确定$b$的值：由$b^2=1$，可得$b=\pm1$；
3. 计算$m$的值：一次项$mx=\pm2ab=\pm2· x·(\pm1)=\pm2x$，两边同时除以$x$（$x≠0$），得到$m=\pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方式的结构特征，解题核心是熟练掌握完全平方公式的两种形式，需特别注意一次项系数的正负性，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7

6. 若 $a-b=5,ab=3$, 则 $a^{2}+b^{2}=$,$(a+b)^{2}=$。

6.31 37

【分析】
要解决这道题，我们需要借助完全平方公式的变形，将所求式子转化为已知条件的形式来计算。首先回忆完全平方公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。观察已知的$a-b=5$和$ab=3$，对于$a^2+b^2$，可从$(a-b)^2$的公式变形得到$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$，代入数值就能求解；对于$(a+b)^2$，既可以用已求出的$a^2+b^2$加上$2ab$计算，也可以直接用$(a-b)^2+4ab$的变形公式，借助已知条件得出结果。
【解析】
1. 计算$a^2+b^2$：
根据完全平方公式的变形可得：
$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$
将$a-b=5$，$ab=3$代入上式：
$a^2+b^2=5^2+2×3=25+6=31$
2. 计算$(a+b)^2$：
方法一：利用$a^2+b^2$的结果结合完全平方公式：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=(a^2+b^2)+2ab$
代入$a^2+b^2=31$，$ab=3$：
$(a+b)^2=31+2×3=31+6=37$
方法二：直接利用完全平方公式的变形：
$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
代入$a-b=5$，$ab=3$：
$(a+b)^2=5^2+4×3=25+12=37$
【答案】
31，37
【知识点】
完全平方公式变形，代数式求值
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活运用，核心是通过公式变形将未知代数式转化为已知条件的形式，代入计算即可。题目侧重基础公式的理解与应用，难度较低，能帮助学生巩固整式乘除的相关知识。
【难度系数】
0.8

7. 已知 $(a+b)^{2}=7,(a-b)^{2}=4$, 则 $a^{2}+b^{2}=$,$ab=$。

7.$\frac{11}{2}$ $\frac{3}{4}$

【分析】
要解决这道题，我们可以利用完全平方公式展开已知的两个等式，再通过加减消元的方法分别求出$a^2+b^2$和$ab$的值。首先回忆完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。观察这两个展开式，将它们相加可以消去含$ab$的项，从而得到关于$a^2+b^2$的式子；将它们相减可以消去$a^2$和$b^2$的项，得到关于$ab$的式子，进而求解。
【解析】
1. 根据完全平方公式展开已知等式：
$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 7 \quad \mathrm{①} $
$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 4 \quad \mathrm{②} $
2. 求$a^2+b^2$：
将①和②相加，可得：
$ (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) = 7 + 4 $
化简左边：$2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2)$，右边为$11$，则：
$ 2(a^2 + b^2) = 11 $
解得：$a^2 + b^2 = \frac{11}{2}$
3. 求$ab$：
将①减去②，可得：
$ (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = 7 - 4 $
化简左边：$4ab$，右边为$3$，则：
$ 4ab = 3 $
解得：$ab = \frac{3}{4}$
【答案】
$\frac{11}{2}$，$\frac{3}{4}$
【知识点】
完全平方公式的应用
【点评】
本题主要考查完全平方公式的变形与应用，通过整体加减消元的思想，巧妙消去其中一个未知项，快速求出目标代数式的值。解题关键是熟悉完全平方公式的结构特征，灵活运用整体运算简化计算过程。
【难度系数】
0.8

8. 计算:
(1)$(\dfrac{1}{4}a-\dfrac{1}{3}b)^{2}$; (2)$(-x^{2}+3y^{2})^{2}$;
(3)$(-a^{2}-2b)^{2}$; (4)$(0.2x+0.5y)^{2}$。

8.解:(1)原式$=\frac{1}{16}a^{2}-\frac{1}{6}ab+\frac{1}{9}b^{2};$
(2)原式$=x^{4}-6x^{2}y^{2}+9y^{4};$
(3)原式$=a^{4}+4a^{2}b+4b^{2};$
(4)原式$=0.04x^{2}+0.2xy+0.25y^{2}$。

【分析】
这四道题均考查完全平方公式的应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。解题思路如下：
1. 对每道题先确定公式中的$a$和$b$分别对应式子中的哪一项；
2. 注意式子中的符号，若为$(a-b)^2$则展开为$a^2-2ab+b^2$，若为$(a+b)^2$则展开为$a^2+2ab+b^2$，带负号的式子可先利用“负数的平方是正数”转化为正的形式再计算，避免符号错误；
3. 分别计算$a^2$、$2ab$、$b^2$三部分，再合并得到结果，计算系数平方和乘积时需仔细，避免计算错误。
【解析】
(1) 利用完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，其中$a=\frac{1}{4}a$，$b=\frac{1}{3}b$：
原式$=(\frac{1}{4}a)^2 - 2×\frac{1}{4}a×\frac{1}{3}b + (\frac{1}{3}b)^2$
$=\frac{1}{16}a^2 - \frac{1}{6}ab + \frac{1}{9}b^2$
(2) 利用完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，其中$a=-x^2$，$b=3y^2$：
原式$=(-x^2)^2 + 2×(-x^2)×3y^2 + (3y^2)^2$
$=x^4 - 6x^2y^2 + 9y^4$
(3) 先将式子转化为$[-(a^2+2b)]^2=(a^2+2b)^2$，再利用完全平方和公式：
原式$=(a^2+2b)^2$
$=(a^2)^2 + 2× a^2×2b + (2b)^2$
$=a^4 + 4a^2b + 4b^2$
(4) 利用完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，其中$a=0.2x$，$b=0.5y$：
原式$=(0.2x)^2 + 2×0.2x×0.5y + (0.5y)^2$
$=0.04x^2 + 0.2xy + 0.25y^2$
【答案】
(1)$\frac{1}{16}a^{2}-\frac{1}{6}ab+\frac{1}{9}b^{2}$;
(2)$x^{4}-6x^{2}y^{2}+9y^{4}$;
(3)$a^{4}+4a^{2}b+4b^{2}$;
(4)$0.04x^{2}+0.2xy+0.25y^{2}$
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题主要考查完全平方公式的基础应用，重点在于准确识别公式中的$a$、$b$项，正确处理符号问题以及系数的计算。解题时需注意：一是负数的平方为正数，二是中间项的系数是$2ab$，容易因忽略系数2或符号错误导致结果出错，需仔细计算。
【难度系数】
0.8

9. 将多项式 $4x^{2}+4$ 加上一个单项式后,使它能成为另一个整式的平方,下列添加单项式不正确的是()。

A.$4x$
B.$8x$
C.$-8x$
D.$x^{4}$

9. A

【分析】
要解决这个问题，我们需要结合完全平方公式的结构特征来分析：完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，同时还要考虑更高次整式的平方情况。我们可以将每个选项代入多项式，判断是否能转化为整式的平方，或者根据公式推导可能添加的单项式，再与选项对比。
1. 先回忆完全平方的两种形式：两数和的平方、两数差的平方；
2. 分别对每个选项进行验证，看添加后是否符合整式平方的形式；
3. 对于四次的情况，考虑最高次项为四次的整式平方，判断是否匹配选项。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
选项A：添加$4x$后，多项式变为$4x^2 + 4x + 4$。假设它是某个整式的平方，设$(ax+b)^2=a^2x^2+2abx+b^2$，对比系数：$a^2=4$则$a=\pm2$，$b^2=4$则$b=\pm2$，此时$2ab=\pm8$，与中间项$4x$的系数$4$不匹配，无法写成整式的平方；
选项B：添加$8x$后，多项式变为$4x^2 + 8x + 4=(2x+2)^2$，是整式的平方，符合要求；
选项C：添加$-8x$后，多项式变为$4x^2 - 8x + 4=(2x-2)^2$，是整式的平方，符合要求；
选项D：添加$x^4$后，多项式变为$x^4 + 4x^2 + 4=(x^2+2)^2$，是整式的平方，符合要求。
综上，添加单项式不正确的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，整式的乘方
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活应用，需要全面考虑不同形式的整式平方，不仅要关注二次的完全平方，还要考虑四次整式的平方，培养学生的分类讨论思维和对公式结构的理解能力。
【难度系数】
0.6

10. 根据几何图形的面积关系可以形象直观地表示多项式的乘法。例如:$(2a+b)(a+b)=2a^{2}+3ab+b^{2}$ 可以用图①表示。

(1)根据图②,写出一个多项式乘多项式的等式;
(2)从A,B两题中任选一题作答:
A.请画出一个几何图形,表示$(x+a)^{2}=x^{2}+2xa+a^{2}$,并仿照上图标明相应的字母;
B.请画出一个几何图形,表示$(x-a)^{2}=x^{2}-2xa+a^{2}$,并仿照上图标明相应的字母。
自我反思
存在的问题:


改进的措施:

10.解:(1)$(a+2b)(2a+b)=2a^{2}+5ab+2b^{2};$
(2)画图略。

【分析】
第(1)题：先确定图②中大长方形的长和宽，长是$2a+b$，宽是$a+2b$，大长方形面积可表示为长乘宽；再计算内部所有小长方形的面积之和，根据“大长方形面积等于各小长方形面积之和”，即可得到多项式乘多项式的等式。
第(2)题：若选A，$(x+a)^2$是边长为$x+a$的正方形，可将其拆分为边长为$x$的正方形、两个长$x$宽$a$的长方形、边长为$a$的正方形，标注对应字母即可；若选B，$(x-a)^2$可看作边长为$x$的正方形减去两个长$x$宽$a$的长方形，再补上边长为$a$的正方形，标注对应字母即可。
【解析】
(1) 由图②可知，大长方形的长为$2a+b$，宽为$a+2b$，因此大长方形的面积为$(a+2b)(2a+b)$。
内部小长方形的面积分别为：$2$个$a^2$、$5$个$ab$、$2$个$b^2$，总面积为$2a^2+5ab+2b^2$。
根据面积相等的关系，可得等式：$\boldsymbol{(a+2b)(2a+b)=2a^{2}+5ab+2b^{2}}$。
(2) 选A题：
绘制边长为$x+a$的正方形，将其划分为四个部分：1个边长为$x$的正方形，2个长为$x$、宽为$a$的长方形，1个边长为$a$的正方形，在图形上标注对应的字母$x$、$a$即可（画图略）。
选B题：
绘制边长为$x$的正方形，在其中减去2个长为$x$、宽为$a$的长方形，再补上1个边长为$a$的正方形，形成边长为$x-a$的正方形，在图形上标注对应的字母$x$、$a$即可（画图略）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a+2b)(2a+b)=2a^{2}+5ab+2b^{2}}$；
(2) 画图略（选A或B均可，图形符合代数表达式的几何意义即可）。
【知识点】
多项式乘多项式，完全平方公式的几何意义
【点评】
本题借助几何图形的面积关系，将代数运算直观化，体现了数形结合的数学思想，既考查了对多项式乘法、完全平方公式的理解，也锻炼了学生的图形分析与绘制能力。
【难度系数】
0.6