1. 下列各式中,能用完全平方公式计算的是()。

A.$(x-y)(x+y)$
B.$(x-y)(x-y)$
C.$(x-y)(-x-y)$
D.$-(x+y)(x-y)$

1. B

【分析】
要解决这道题，首先需明确完全平方公式的形式：完全平方公式是两个相同的二项式相乘，即$(a\pm b)^2=(a\pm b)(a\pm b)$。接下来我们逐个分析选项，判断哪个选项符合该特征：
1. 选项A是$(x-y)(x+y)$，两个二项式中$y$的符号相反，属于平方差公式的形式，不符合完全平方公式；
2. 选项B是$(x-y)(x-y)$，两个二项式完全相同，可写成$(x-y)^2$，符合完全平方公式的形式；
3. 选项C$(x-y)(-x-y)$可变形为$-(x-y)(x+y)$，是平方差公式的形式，不符合；
4. 选项D$-(x+y)(x-y)$是平方差公式的变形，不符合。
综上，只有选项B能用完全平方公式计算。
【解析】
对各选项逐一分析：
选项A：$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$，运用平方差公式，不符合完全平方公式；
选项B：$(x-y)(x-y)=(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，符合完全平方公式的形式；
选项C：$(x-y)(-x-y)=-(x-y)(x+y)=-(x^2-y^2)=y^2-x^2$，运用平方差公式，不符合；
选项D：$-(x+y)(x-y)=-(x^2-y^2)=y^2-x^2$，运用平方差公式，不符合。
因此，能用完全平方公式计算的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题重点考查完全平方公式与平方差公式的形式区别，要求学生准确掌握两个公式的特征，避免混淆。解题的关键是识别每个选项对应的公式类型，属于基础题型，有助于巩固对乘法公式的理解。
【难度系数】
0.8

2. (1)$(\dfrac{1}{2}a+b)^{2}=$,
$(-\dfrac{1}{2}a+b)^{2}=$;
(2)$(x-y)^{2}=$,
$(y-x)^{2}=$;
(3)$(-2m-1)^{2}=$,
$(2m+1)^{2}=$。
知识点2 完全平方公式的应用

2.(1)$\frac{1}{4}a^{2}+ab+b^{2}$ $\frac{1}{4}a^{2}-ab+b^{2}$
(2)$x^{2}-2xy+y^{2}$ $x^{2}-2xy+y^{2}$
(3)$4m^{2}+4m+1$ $4m^{2}+4m+1$

【分析】
要解决这道题，核心是熟练运用完全平方公式，同时理解互为相反数的两个数的平方相等这一性质。首先回忆完全平方公式的两种形式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。对于每个式子，先确定公式中的$a$和$b$，再代入公式计算；对于底数互为相反数的式子，利用“互为相反数的两个数的平方相等”可快速得到结果，无需重复计算。
【解析】
(1) 对于$(\dfrac{1}{2}a+b)^2$，将$\dfrac{1}{2}a$看作公式中的$a$，$b$看作公式中的$b$，代入$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：
$\begin{aligned}(\dfrac{1}{2}a+b)^2&=(\dfrac{1}{2}a)^2+2×\dfrac{1}{2}a× b+b^2\\&=\dfrac{1}{4}a^2+ab+b^2\end{aligned}$
对于$(-\dfrac{1}{2}a+b)^2$，可变形为$(b-\dfrac{1}{2}a)^2$，将$b$看作公式中的$a$，$\dfrac{1}{2}a$看作公式中的$b$，代入$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$：
$\begin{aligned}(b-\dfrac{1}{2}a)^2&=b^2-2× b×\dfrac{1}{2}a+(\dfrac{1}{2}a)^2\\&=b^2-ab+\dfrac{1}{4}a^2\\&=\dfrac{1}{4}a^2-ab+b^2\end{aligned}$
(2) 对于$(x-y)^2$，直接代入$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$：
$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$
对于$(y-x)^2$，因为$y-x=-(x-y)$，根据“互为相反数的两个数的平方相等”，可得$(y-x)^2=(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$。
(3) 对于$(-2m-1)^2$，可变形为$[-(2m+1)]^2$，根据平方的性质，负数的平方是正数，所以$[-(2m+1)]^2=(2m+1)^2$，代入$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：
$\begin{aligned}(2m+1)^2&=(2m)^2+2×2m×1+1^2\\&=4m^2+4m+1\end{aligned}$
因此$(-2m-1)^2=4m^2+4m+1$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}a^{2}+ab+b^{2}$ $\frac{1}{4}a^{2}-ab+b^{2}$
(2)$x^{2}-2xy+y^{2}$ $x^{2}-2xy+y^{2}$
(3)$4m^{2}+4m+1$ $4m^{2}+4m+1$
【知识点】
完全平方公式，相反数的平方性质
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，重点考查对公式的记忆与灵活运用，同时涉及平方的符号性质。解题时需准确识别公式中的$a$、$b$，注意符号运算，通过观察底数的关系可简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8

3. 若 $a+b=4,ab=3$, 则 $a^{2}+b^{2}=$,$(a-b)^{2}=$。

3.10 4

【分析】
要解决这道题，我们需要借助完全平方公式的变形，把所求代数式转化为已知条件的形式来计算。首先回忆完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。对于$a^2+b^2$，可从$(a+b)^2$的展开式变形得到$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入已知的$a+b=4$和$ab=3$就能算出结果；对于$(a-b)^2$，既可以用已求出的$a^2+b^2$结合公式$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$计算，也可以直接用变形公式$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$计算，两种方法都能得到正确结果。
【解析】
1. 计算$a^2+b^2$：
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，变形可得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
将$a+b=4$，$ab=3$代入上式：
$a^2+b^2=4^2 - 2×3=16-6=10$
2. 计算$(a-b)^2$：
方法一：利用$a^2+b^2$的结果，结合公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=(a^2+b^2)-2ab$
代入$a^2+b^2=10$，$ab=3$：
$(a-b)^2=10 - 2×3=10-6=4$
方法二：直接利用变形公式$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
代入$a+b=4$，$ab=3$：
$(a-b)^2=4^2 - 4×3=16-12=4$
【答案】
10；4
【知识点】
完全平方公式变形，代数式求值
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活运用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的各类变形形式，将未知代数式转化为已知条件的组合形式，属于基础代数题型，侧重对公式变形能力的考查。
【难度系数】
0.8

4. 利用完全平方公式计算:
(1)$102^{2}$; (2)$99^{2}$; (3)$-198^{2}$。

4.解:(1)原式$=(100+2)^{2}=100^{2}+2×100×2+2^{2}=$
10 404;
(2)原式$=(100-1)^{2}=100^{2}-2×100×1+1=9801;$
(3)原式$=-(200-2)^{2}=-(200^{2}-2×200×2+2^{2})=$
-39 204。

【分析】
对于这类接近整百的数的平方计算，我们可以借助完全平方公式简化运算。首先观察每个数与整百数的差值，将原数拆写成整百数加或减一个较小数的形式，比如102拆成100+2，99拆成100-1，198拆成200-2，再代入完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$计算，相比直接计算大数平方更简便，还能减少错误。
【解析】
(1) $102^2$
将102转化为$100+2$，利用完全平方公式计算：
原式$=(100+2)^2$
$=100^2+2×100×2+2^2$
$=10000+400+4$
$=10404$
(2) $99^2$
将99转化为$100-1$，利用完全平方公式计算：
原式$=(100-1)^2$
$=100^2-2×100×1+1^2$
$=10000-200+1$
$=9801$
(3) $-198^2$
先将198转化为$200-2$，计算其平方后添加负号：
原式$=-(200-2)^2$
$=-(200^2-2×200×2+2^2)$
$=-(40000-800+4)$
$=-39204$
【答案】
(1) $\boldsymbol{10404}$；(2) $\boldsymbol{9801}$；(3) $\boldsymbol{-39204}$
【知识点】
完全平方公式的应用
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活运用，通过拆分接近整百的数，把复杂的大数平方运算转化为简单的四则运算，既简化了计算流程，又能有效降低计算失误率，是简便计算的典型应用。
【难度系数】
0.8