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1.计算:(1)$(-3x)^{3}$; (2)$(xy)^{2}$。
答案
1.(1)$-27x^{3}$ (2)$x^{2}y^{2}$
解析
【分析】
这道题考查积的乘方运算，解题关键是掌握积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。对于(1)，需要把-3和x这两个因式分别进行立方运算，再将结果相乘；对于(2)，把x和y这两个因式分别进行平方运算，再将结果相乘即可，计算时要注意负数奇次幂的符号处理。
【解析】
(1) 根据积的乘方法则展开计算：
$(-3x)^{3}=(-3)^{3} · x^{3}=-27x^{3}$
(2) 根据积的乘方法则展开计算：
$(xy)^{2}=x^{2} · y^{2}=x^{2}y^{2}$
【答案】
(1)$-27x^{3}$；(2)$x^{2}y^{2}$
【知识点】
积的乘方法则
【点评】
本题是积的乘方运算的基础题型，主要考查对积的乘方法则的理解与运用，计算时需注意符号判断，尤其是含负数因式的情况，熟练掌握法则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
这道题考查积的乘方运算，解题关键是掌握积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。对于(1)，需要把-3和x这两个因式分别进行立方运算，再将结果相乘；对于(2)，把x和y这两个因式分别进行平方运算，再将结果相乘即可，计算时要注意负数奇次幂的符号处理。
【解析】
(1) 根据积的乘方法则展开计算：
$(-3x)^{3}=(-3)^{3} · x^{3}=-27x^{3}$
(2) 根据积的乘方法则展开计算：
$(xy)^{2}=x^{2} · y^{2}=x^{2}y^{2}$
【答案】
(1)$-27x^{3}$；(2)$x^{2}y^{2}$
【知识点】
积的乘方法则
【点评】
本题是积的乘方运算的基础题型，主要考查对积的乘方法则的理解与运用，计算时需注意符号判断，尤其是含负数因式的情况，熟练掌握法则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
2.计算:(1)$(-2b)^{5}$; (2)$(-2xy)^{4}$。
知识点2 积的乘方的运算性质的逆用
知识点2 积的乘方的运算性质的逆用
答案
2.(1)$-32b^{5}$ (2)$16x^{4}y^{4}$
解析
【分析】
这道题考查积的乘方的运算，解题关键是熟练运用积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，同时要注意负数乘方的符号规律：负数的奇次幂为负，偶次幂为正。
对于(1)，先把-2和b分别进行乘方运算，再将结果相乘；对于(2)，把-2、x、y分别乘方，再把所得的幂相乘即可。
【解析】
(1) 根据积的乘方运算性质：$(ab)^n=a^n b^n$，可得：
$(-2b)^5=(-2)^5 · b^5$
计算$(-2)^5=-32$，因此：
$(-2b)^5=-32b^5$
(2) 同理，运用积的乘方运算性质：
$(-2xy)^4=(-2)^4 · x^4 · y^4$
计算$(-2)^4=16$，因此：
$(-2xy)^4=16x^4y^4$
【答案】
(1)$-32b^{5}$；(2)$16x^{4}y^{4}$
【知识点】
积的乘方运算
【点评】
本题主要考查积的乘方的基本运算，解题时需注意符号的判断，尤其是负数的乘方，奇次幂为负，偶次幂为正，同时要准确对每个因式分别乘方，避免漏乘。
【难度系数】
0.8
这道题考查积的乘方的运算，解题关键是熟练运用积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，同时要注意负数乘方的符号规律：负数的奇次幂为负，偶次幂为正。
对于(1)，先把-2和b分别进行乘方运算，再将结果相乘；对于(2)，把-2、x、y分别乘方，再把所得的幂相乘即可。
【解析】
(1) 根据积的乘方运算性质：$(ab)^n=a^n b^n$，可得：
$(-2b)^5=(-2)^5 · b^5$
计算$(-2)^5=-32$，因此：
$(-2b)^5=-32b^5$
(2) 同理，运用积的乘方运算性质：
$(-2xy)^4=(-2)^4 · x^4 · y^4$
计算$(-2)^4=16$，因此：
$(-2xy)^4=16x^4y^4$
【答案】
(1)$-32b^{5}$；(2)$16x^{4}y^{4}$
【知识点】
积的乘方运算
【点评】
本题主要考查积的乘方的基本运算，解题时需注意符号的判断，尤其是负数的乘方，奇次幂为负，偶次幂为正，同时要准确对每个因式分别乘方，避免漏乘。
【难度系数】
0.8
如何快速求出$2^{100} × (\dfrac{1}{2})^{100}$的值？
答案
$2^{100}×(\frac {1}{2})^{100}=(2×\frac {1}{2})^{100}=1$。
解析
【分析】
要快速计算该式子的值，可观察到两个幂的指数均为100，符合积的乘方法则的逆用形式$a^n×b^n=(a×b)^n$。利用这个法则，我们可以先将两个底数相乘，再进行乘方运算，避免计算庞大的幂值，从而简化运算步骤。
【解析】
根据积的乘方法则的逆运算$a^n×b^n=(a×b)^n$，对原式变形计算：
$\begin{aligned}2^{100}×(\frac{1}{2})^{100}&=(2×\frac{1}{2})^{100}\\&=1^{100}\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
积的乘方逆运算
【点评】
本题考查积的乘方法则的逆用，通过逆用法则将复杂的幂运算转化为简单的乘法与乘方运算，有效简化计算过程，需熟练掌握幂的相关运算规则以提升运算效率。
【难度系数】
0.9
要快速计算该式子的值，可观察到两个幂的指数均为100，符合积的乘方法则的逆用形式$a^n×b^n=(a×b)^n$。利用这个法则，我们可以先将两个底数相乘，再进行乘方运算，避免计算庞大的幂值，从而简化运算步骤。
【解析】
根据积的乘方法则的逆运算$a^n×b^n=(a×b)^n$，对原式变形计算：
$\begin{aligned}2^{100}×(\frac{1}{2})^{100}&=(2×\frac{1}{2})^{100}\\&=1^{100}\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
积的乘方逆运算
【点评】
本题考查积的乘方法则的逆用，通过逆用法则将复杂的幂运算转化为简单的乘法与乘方运算，有效简化计算过程，需熟练掌握幂的相关运算规则以提升运算效率。
【难度系数】
0.9
3.计算:
(1)$8^{2} × (0.125)^{2}$; (2)$a^{3} · (\dfrac{1}{a})^{3}$。
(1)$8^{2} × (0.125)^{2}$; (2)$a^{3} · (\dfrac{1}{a})^{3}$。
答案
3.(1)1 (2)1
解析
【分析】
对于这两道小题，我们可以利用积的乘方的逆运算来简化计算：
1. 第(1)题：观察到8和0.125互为倒数，乘积为1，且它们的指数相同，都是2。根据积的乘方的逆运算公式$a^n · b^n=(a· b)^n$，可以将两个幂的乘积转化为乘积的幂，快速得到结果。
2. 第(2)题：同理，$a$和$\frac{1}{a}$（$a≠0$）互为倒数，乘积为1，指数都是3，运用积的乘方的逆运算，先计算它们的乘积再乘方，简化计算过程。
【解析】
(1) $8^{2} × (0.125)^{2}$
$=(8×0.125)^2$（积的乘方逆运算：$a^n · b^n=(a· b)^n$）
$=1^2$（计算$8×0.125=1$）
$=1$
(2) $a^{3} · (\dfrac{1}{a})^{3}$（$a≠0$）
$=(a×\dfrac{1}{a})^3$（积的乘方逆运算：$a^n · b^n=(a· b)^n$）
$=1^3$（计算$a×\dfrac{1}{a}=1$）
$=1$
【答案】
(1)1；(2)1
【知识点】
积的乘方逆运算、倒数的应用
【点评】
本题主要考查积的乘方逆运算的灵活运用，通过观察底数的互为倒数关系，利用“互为倒数的两个数乘积为1”的性质，将复杂的幂运算转化为简单的1的乘方运算，极大简化了计算过程，同时考查了对幂运算公式的理解与应用。
【难度系数】
0.9
对于这两道小题，我们可以利用积的乘方的逆运算来简化计算：
1. 第(1)题：观察到8和0.125互为倒数，乘积为1，且它们的指数相同，都是2。根据积的乘方的逆运算公式$a^n · b^n=(a· b)^n$，可以将两个幂的乘积转化为乘积的幂，快速得到结果。
2. 第(2)题：同理，$a$和$\frac{1}{a}$（$a≠0$）互为倒数，乘积为1，指数都是3，运用积的乘方的逆运算，先计算它们的乘积再乘方，简化计算过程。
【解析】
(1) $8^{2} × (0.125)^{2}$
$=(8×0.125)^2$（积的乘方逆运算：$a^n · b^n=(a· b)^n$）
$=1^2$（计算$8×0.125=1$）
$=1$
(2) $a^{3} · (\dfrac{1}{a})^{3}$（$a≠0$）
$=(a×\dfrac{1}{a})^3$（积的乘方逆运算：$a^n · b^n=(a· b)^n$）
$=1^3$（计算$a×\dfrac{1}{a}=1$）
$=1$
【答案】
(1)1；(2)1
【知识点】
积的乘方逆运算、倒数的应用
【点评】
本题主要考查积的乘方逆运算的灵活运用，通过观察底数的互为倒数关系，利用“互为倒数的两个数乘积为1”的性质，将复杂的幂运算转化为简单的1的乘方运算，极大简化了计算过程，同时考查了对幂运算公式的理解与应用。
【难度系数】
0.9
4.计算:
(1)$(0.125)^{2\;024} · (-8)^{2\;025}$;
(2)$(-0.5)^{15} · 2^{17}$;
(3)$(-\dfrac{5}{13})^{7} · (\dfrac{13}{5})^{8}$。
(1)$(0.125)^{2\;024} · (-8)^{2\;025}$;
(2)$(-0.5)^{15} · 2^{17}$;
(3)$(-\dfrac{5}{13})^{7} · (\dfrac{13}{5})^{8}$。
答案
4.(1)-8 (2)-4 (3)$-\frac {13}{5}$
解析
【分析】
这三道题均为高次幂的乘法运算，直接计算高次幂难度极大，因此解题思路是利用积的乘方的逆运算（$a^n·b^n=(a·b)^n$）简化计算：
1. 观察底数关系：每组题的底数互为倒数或乘积为整数/±1，可通过拆分指数，将指数相同的幂进行组合；
2. 对指数不同的项，拆分出与另一项指数相同的部分（如将$(-8)^{2025}$拆为$(-8)^{2024}·(-8)$）；
3. 先计算底数的乘积，再计算对应的幂，最后进行剩余运算，即可快速得到结果。
【解析】
(1) $ (0.125)^{2024} · (-8)^{2025} $
$\begin{aligned}&=(0.125)^{2024} · (-8)^{2024} · (-8)\\&=[0.125×(-8)]^{2024} · (-8)\\&=(-1)^{2024} · (-8)\\&=1×(-8)\\&=-8\end{aligned}$
(2) $ (-0.5)^{15} · 2^{17} $
$\begin{aligned}&=(-0.5)^{15} · 2^{15} · 2^2\\&=[(-0.5)×2]^{15} · 4\\&=(-1)^{15} · 4\\&=-1×4\\&=-4\end{aligned}$
(3) $ (-\dfrac{5}{13})^{7} · (\dfrac{13}{5})^{8} $
$\begin{aligned}&=(-\dfrac{5}{13})^{7} · (\dfrac{13}{5})^{7} · \dfrac{13}{5}\\&=[(-\dfrac{5}{13})×\dfrac{13}{5}]^{7} · \dfrac{13}{5}\\&=(-1)^{7} · \dfrac{13}{5}\\&=-1×\dfrac{13}{5}\\&=-\dfrac{13}{5}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-8$；(2) $-4$；(3) $-\dfrac{13}{5}$
【知识点】
积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，核心技巧是通过拆分指数，将底数互为倒数或乘积为±1的幂组合，利用积的乘方逆运算简化高次幂计算，避免繁琐的直接运算，提升解题效率。解题时需注意符号的处理，尤其是负数的奇次幂、偶次幂的符号规律。
【难度系数】
0.7
这三道题均为高次幂的乘法运算，直接计算高次幂难度极大，因此解题思路是利用积的乘方的逆运算（$a^n·b^n=(a·b)^n$）简化计算：
1. 观察底数关系：每组题的底数互为倒数或乘积为整数/±1，可通过拆分指数，将指数相同的幂进行组合；
2. 对指数不同的项，拆分出与另一项指数相同的部分（如将$(-8)^{2025}$拆为$(-8)^{2024}·(-8)$）；
3. 先计算底数的乘积，再计算对应的幂，最后进行剩余运算，即可快速得到结果。
【解析】
(1) $ (0.125)^{2024} · (-8)^{2025} $
$\begin{aligned}&=(0.125)^{2024} · (-8)^{2024} · (-8)\\&=[0.125×(-8)]^{2024} · (-8)\\&=(-1)^{2024} · (-8)\\&=1×(-8)\\&=-8\end{aligned}$
(2) $ (-0.5)^{15} · 2^{17} $
$\begin{aligned}&=(-0.5)^{15} · 2^{15} · 2^2\\&=[(-0.5)×2]^{15} · 4\\&=(-1)^{15} · 4\\&=-1×4\\&=-4\end{aligned}$
(3) $ (-\dfrac{5}{13})^{7} · (\dfrac{13}{5})^{8} $
$\begin{aligned}&=(-\dfrac{5}{13})^{7} · (\dfrac{13}{5})^{7} · \dfrac{13}{5}\\&=[(-\dfrac{5}{13})×\dfrac{13}{5}]^{7} · \dfrac{13}{5}\\&=(-1)^{7} · \dfrac{13}{5}\\&=-1×\dfrac{13}{5}\\&=-\dfrac{13}{5}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-8$；(2) $-4$；(3) $-\dfrac{13}{5}$
【知识点】
积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，核心技巧是通过拆分指数，将底数互为倒数或乘积为±1的幂组合，利用积的乘方逆运算简化高次幂计算，避免繁琐的直接运算，提升解题效率。解题时需注意符号的处理，尤其是负数的奇次幂、偶次幂的符号规律。
【难度系数】
0.7
