1.下面计算正确的是()。

A.$x^{4}· x^{4}=x^{16}$
B.$-x^{2}· (-x)^{3}=x^{5}$
C.$a^{2}· a^{2}=2a^{2}$
D.$a^{2}+a^{3}=a^{5}$

1.B

【分析】
这道题主要考查同底数幂的乘法运算以及同类项的合并规则，解题时需要逐个选项依据对应的法则进行判断：
1. 同底数幂相乘的法则是“底数不变，指数相加”；
2. 只有同类项才能合并，同类项需满足所含字母相同且相同字母的指数也相同，非同类项不能合并。
我们依次分析每个选项：
选项A：根据同底数幂乘法法则，$x^{4}· x^{4}$的底数不变，指数相加，应为$x^{4+4}=x^{8}$，而非$x^{16}$，所以A错误；
选项B：先计算$(-x)^{3}=-x^{3}$，原式变为$-x^{2}· (-x^{3})$，负负得正后再根据同底数幂乘法法则，底数$x$不变，指数相加，得到$x^{2+3}=x^{5}$，所以B正确；
选项C：根据同底数幂乘法法则，$a^{2}· a^{2}=a^{2+2}=a^{4}$，而非$2a^{2}$，$2a^{2}$是$a^{2}+a^{2}$的结果，混淆了乘法与加法运算，所以C错误；
选项D：$a^{2}$与$a^{3}$所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，所以D错误。
【解析】
逐个选项计算判断：
选项A：$x^{4}· x^{4}=x^{4+4}=x^{8}≠x^{16}$，计算错误；
选项B：$-x^{2}· (-x)^{3}=-x^{2}· (-x^{3})=x^{2+3}=x^{5}$，计算正确；
选项C：$a^{2}· a^{2}=a^{2+2}=a^{4}≠2a^{2}$，计算错误；
选项D：$a^{2}$与$a^{3}$不是同类项，不能合并为$a^{5}$，计算错误。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法、同类项的合并
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查了同底数幂的乘法法则和同类项的概念。解题时需注意区分幂的乘法运算与整式加法运算的区别，避免将同底数幂相乘的指数运算错误地与加法运算混淆，同时要准确判断同类项，非同类项不能随意合并。
【难度系数】
0.8

2.下面计算的是()。

A.$a^{4}+2a^{4}=3a^{4}$
B.$x^{2}· x· (-x)^{3}=-x^{6}$
C.$a^{2}+a^{2}=a^{4}$
D.$(-x)· (-x)^{3}=x^{4}$

2.C

【分析】
这道题需要判断整式运算的正误，解题思路是根据合并同类项法则和同底数幂乘法法则，逐个分析选项：
1. 对于同类项相加，需将系数相加，字母和字母的指数保持不变；
2. 对于同底数幂相乘，遵循“底数不变，指数相加”的规则，同时注意符号的运算。
通过对每个选项逐一计算，找出不符合法则的错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$a^{4}+2a^{4}$属于同类项合并，系数相加$1+2=3$，字母和指数不变，结果为$3a^{4}$，计算正确；
选项B：$x^{2}· x· (-x)^{3}$，先计算$(-x)^3=-x^3$，再根据同底数幂乘法法则，$x^2·x=x^{2+1}=x^3$，则$x^3·(-x^3)=-x^{3+3}=-x^6$，计算正确；
选项C：$a^{2}+a^{2}$是同类项合并，系数相加$1+1=2$，结果应为$2a^2$，而不是$a^4$，计算错误；
选项D：$(-x)· (-x)^{3}$，根据同底数幂乘法法则，底数为$-x$，指数相加$1+3=4$，即$(-x)^4=x^4$（偶数次幂结果为正），计算正确。
综上，计算错误的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
合并同类项、同底数幂的乘法
【点评】
本题考查整式运算的基础法则，重点在于区分同类项合并与幂的乘方的运算差异，解题时需牢记合并同类项是系数相加、指数不变，同底数幂相乘是底数不变、指数相加，避免混淆指数运算规则。
【难度系数】
0.8

3.在①$a^{2n}· a^{n}=a^{3n}$;②$2^{2}· 3^{3}=6^{5}$;③$3^{2}· 3^{2}=81$;④$a^{2}· a^{3}=5a$;⑤$(-a)^{2}· (-a)^{3}=a^{5}$中,计算正确的式子有。(填序号)

3.①③

【分析】
要解决这道题，我们需要依据同底数幂的乘法法则来逐一判断每个式子的正误：
1. 首先回忆核心法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m·a^n=a^{m+n}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数）；
2. 对于不同底数的幂，不能直接套用同底数幂的乘法法则，需分别计算后再判断；
3. 还要注意负数的幂的符号处理：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。
接下来我们逐个分析每个式子是否符合规则即可。
【解析】
我们对每个式子逐一计算判断：
① 根据同底数幂的乘法法则：$a^{2n}·a^n=a^{2n+n}=a^{3n}$，计算正确；
② $2^2·3^3=4×27=108$，而$6^5=7776$，$108≠7776$，计算错误；
③ 根据同底数幂的乘法法则：$3^2·3^2=3^{2+2}=3^4=81$，计算正确；
④ 根据同底数幂的乘法法则：$a^2·a^3=a^{2+3}=a^5$，而$a^5≠5a$，计算错误；
⑤ 根据同底数幂的乘法法则：$(-a)^2·(-a)^3=(-a)^{2+3}=(-a)^5=-a^5$，而$-a^5≠a^5$，计算错误。
综上，计算正确的式子是①③。
【答案】
①③
【知识点】
同底数幂的乘法，有理数乘方运算
【点评】
本题重点考查同底数幂乘法法则的应用，解题时需注意两点：一是只有同底数幂才能直接用“底数不变、指数相加”的法则；二是负数的幂运算要注意符号，偶次幂为正，奇次幂为负，避免因符号处理错误导致判断失误。
【难度系数】
0.7

4.若$a^{m}=5,a^{n}=12$,则$a^{m+n}=$。

4.60

【分析】
这道题考查同底数幂的乘法运算，解题关键是回忆同底数幂相乘的运算法则。首先明确同底数幂相乘的法则：底数不变，指数相加，即$a^{m+n}=a^m · a^n$。题目已给出$a^m=5$，$a^n=12$，只需将这两个已知数值代入公式进行计算就能得到结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^{m+n}=a^m · a^n$，
已知$a^m=5$，$a^n=12$，代入可得：
$a^{m+n}=5×12=60$
【答案】
60
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题是基础的幂运算题目，直接考查同底数幂乘法法则的应用，只要熟练掌握该法则，代入已知数值即可快速得出答案，能帮助巩固幂运算的基础知识点。
【难度系数】
0.9

5.若$a^{m+n}=6,a^{m}=3$,则$a^{n}=$。

5.2

【分析】
首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^{m+n}=a^m · a^n$。题目中已知$a^{m+n}$和$a^m$的值，要求$a^n$，我们可以逆用这个法则，将$a^n$表示为$a^{m+n} ÷ a^m$，然后代入已知数值进行计算即可。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则的逆运算：
$a^{m+n}=a^m · a^n$，则$a^n = a^{m+n} ÷ a^m$。
将$a^{m+n}=6$，$a^m=3$代入上式：
$a^n = 6 ÷ 3 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
同底数幂的乘法逆运算
【点评】
本题主要考查同底数幂乘法法则的逆用，属于基础题，解题关键是熟练掌握并灵活运用幂的运算性质，将所求式子转化为已知条件的形式进行计算。
【难度系数】
0.9

6.某台电脑每秒可做$10^{15}$次运算,它工作了$1.8×10^{4}$ s,这台电脑做了多少次运算?

6.$1.8× 10^{19}$

【分析】
要计算这台电脑的总运算次数，需用每秒运算次数乘以工作时间，即进行两个科学计数法形式的数的乘法运算。解题思路为：先将系数相乘，再对同底数幂运用乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加），最后把结果整理成标准的科学计数法形式。
【解析】
根据题意，总运算次数 = 每秒运算次数 × 工作时间，列出算式：
$10^{15} × 1.8 × 10^{4}$
利用乘法交换律和结合律，将系数与同底数幂分别结合：
$= 1.8 × (10^{15} × 10^{4})$
根据同底数幂的乘法法则$a^m × a^n = a^{m+n}$，计算幂的部分：
$= 1.8 × 10^{15+4}$
$= 1.8 × 10^{19}$
【答案】
$1.8×10^{19}$
【知识点】
科学计数法乘法、同底数幂乘法
【点评】
本题是科学计数法的实际应用问题，核心考查同底数幂的乘法法则，计算时需注意系数与指数的分步运算，属于基础题型，能帮助学生巩固科学计数法的运算规则。
【难度系数】
0.8

7.(1)若$2^{a}=5,2^{b}=1$,求$2^{a+b+3}$的值;
(2)定义一种新运算$(a,b)$,若$a^{c}=b$,则$(a,b)=c$,例$(2,8)=3,(3,81)=4$。若$(3,5)+(3,7)=(3,x)$,求 x 的值。

7.(1)40
(2)解:设$3^{m}=5,3^{n}=7,$
依题意$(3,5)=m,(3,7)=n,$
所以$(3,5)+(3,7)=m+n。$
所以$(3,x)=m+n,$
所以$x=3^{m+n}$
$=3^{m}× 3^{n}$
$=5× 7$
$=35$。

【分析】
(1) 要计算$2^{a+b+3}$的值，可根据同底数幂的乘法法则，将其拆分为$2^a×2^b×2^3$的形式，再代入已知的$2^a=5$、$2^b=1$，结合$2^3$的计算结果，即可求出最终值。
(2) 首先需明确新运算的定义：若$a^c=b$，则$(a,b)=c$。对于$(3,5)+(3,7)=(3,x)$，可通过设未知数的方式，将新运算转化为幂的形式，即设$(3,5)=m$，$(3,7)=n$，则$3^m=5$，$3^n=7$，再根据新运算定义得到$x=3^{m+n}$，最后利用同底数幂的乘法法则计算出$x$的值。
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则：$2^{a+b+3}=2^a×2^b×2^3$
已知$2^a=5$，$2^b=1$，且$2^3=8$，代入得：
$2^a×2^b×2^3=5×1×8=40$
(2) 设$(3,5)=m$，$(3,7)=n$，根据新运算定义可得：
$3^m=5$，$3^n=7$
因为$(3,5)+(3,7)=(3,x)$，所以$m+n=(3,x)$
根据新运算定义可知：$x=3^{m+n}$
由同底数幂的乘法法则：$3^{m+n}=3^m×3^n$
将$3^m=5$，$3^n=7$代入得：
$x=5×7=35$
【答案】
(1) $\boldsymbol{40}$；(2) $\boldsymbol{35}$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法；2. 新定义运算
【点评】
本题综合考查了同底数幂的乘法法则的应用与新定义运算的理解。第一问的核心是利用幂的运算性质拆分所求式子，第二问的关键是通过设未知数将新运算转化为熟悉的幂的乘法运算，整体侧重对基础知识的灵活运用，需要准确把握运算规则与新定义内涵。
【难度系数】
0.7

8.计算:
(1)$y^{3}· (-y)· (-y)^{5}· (-y)^{2};$
(2)$(m-n)^{2}· (n-m)^{3}· (m-n)^{6}$。

8.(1)$y^{11}$ (2)$(n-m)^{11}$

【分析】
对于（1），首先观察各项底数，有$y$和$(-y)$，需先统一底数并处理符号：根据负数的奇次幂为负、偶次幂为正，将各项转化为以$y$为底数的形式，再利用同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）计算；
对于（2），注意到$(m-n)$与$(n-m)$互为相反数，可利用“互为相反数的数的偶次幂相等、奇次幂互为相反数”的性质，将所有项的底数统一为$(n-m)$，再运用同底数幂的乘法法则计算。
【解析】
（1）计算$y^{3}· (-y)· (-y)^{5}· (-y)^{2}$：
① 化简各项：
$(-y)=-y$，$(-y)^5=(-1)^5·y^5=-y^5$，$(-y)^2=(-1)^2·y^2=y^2$；
② 代入原式：
原式$=y^3·(-y)·(-y^5)·y^2$；
③ 计算符号与合并同底数幂：
符号部分：$(-1)×(-1)=1$；
同底数幂部分：$y^3·y·y^5·y^2=y^{3+1+5+2}=y^{11}$。
（2）计算$(m-n)^{2}· (n-m)^{3}· (m-n)^{6}$：
① 统一底数：
因为$(m-n)^2=(n-m)^2$，$(m-n)^6=(n-m)^6$，
所以原式$=(n-m)^2·(n-m)^3·(n-m)^6$；
② 运用同底数幂乘法法则：
底数不变，指数相加，得$(n-m)^{2+3+6}=(n-m)^{11}$。
【答案】
(1)$y^{11}$；(2)$(n-m)^{11}$
【知识点】
同底数幂的乘法法则、底数互为相反数的幂的转化
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查同底数幂的乘法法则，同时需要掌握底数互为相反数时的转化技巧，以及负数幂的符号判断，熟练掌握这些内容能帮助巩固幂运算的基本规则。
【难度系数】
0.8

9.若 x,y 是正整数,且$2^{x}· 2^{y}=2^{5}$,则 x,y 的值有()。

A.4对
B.3对
C.2对
D.1对

9.A

【分析】
首先，我们需要利用同底数幂的乘法法则化简等式。同底数幂相乘，底数不变，指数相加，由此可将等式$2^{x}· 2^{y}=2^{5}$转化为关于x、y的整式方程。接着，结合x、y是正整数的条件，列举出所有满足方程的正整数对，最后统计对数即可得到答案。具体思考步骤：
1. 根据同底数幂乘法法则，将左边合并得到$2^{x+y}=2^5$，进而推出$x+y=5$；
2. 因为x、y是正整数，从x=1开始依次列举，找出所有满足$x+y=5$的正整数组合；
3. 统计符合条件的组合数量，对应选项得出答案。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数），可得：
$2^{x}·2^{y}=2^{x+y}=2^5$
由于底数相同的幂相等时指数相等，因此：
$x+y=5$
又因为x、y是正整数，满足条件的正整数对为：
当$x=1$时，$y=5-1=4$；
当$x=2$时，$y=5-2=3$；
当$x=3$时，$y=5-3=2$；
当$x=4$时，$y=5-4=1$；
共4对，故答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 二元一次方程的正整数解
【点评】
本题主要考查同底数幂乘法法则的应用以及二元一次方程正整数解的枚举。解题关键是熟练掌握同底数幂乘法法则，将指数方程转化为整式方程，同时要注意正整数的取值范围，避免遗漏或错误列举解的组合。
【难度系数】
0.8

10.阅读下面的材料:
求$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+··· +2^{2024}$的值。
解:设$S=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+··· +2^{2023}+2^{2024}$,将等式两边同时乘2,得$2S=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+··· +2^{2024}+2^{2025}$,
将下式减去上式,得$2S-S=2^{2025}-1$,
即$S=2^{2025}-1$,
即$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+··· +2^{2024}=2^{2025}-1$。
请你仿照此法计算:
(1)$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+··· +2^{10};$
(2)$1+3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+··· +3^{n}$(其中 n 为正整数)。
自我反思
存在的问题:

改进的措施:

10.(1)$2^{11}-1$;(2)$\frac{1}{2}(3^{n+1}-1)$

【分析】
本题需仿照材料中的错位相减法求解等比数列的和，解题思路如下：
1. 对于（1）：式子是首项为1、公比为2的等比数列前11项和，先设该和为$ S $，给等式两边乘公比2得到新等式，再用新等式减去原等式，消去中间相同项，即可求出$ S $。
2. 对于（2）：式子是首项为1、公比为3的等比数列前$ n+1 $项和，同样先设和为$ S $，两边乘公比3构造新等式，两式相减后整理，就能得到$ S $的表达式。
【解析】
（1）设$ S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \dots + 2^{10} $，
将等式两边同时乘2，得：
$ 2S = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + \dots + 2^{11} $，
用下式减去上式：
$ 2S - S = (2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{11}) - (1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{10}) $，
化简得：$ S = 2^{11} - 1 $。
（2）设$ S = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + \dots + 3^n $，
将等式两边同时乘3，得：
$ 3S = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + \dots + 3^{n+1} $，
用下式减去上式：
$ 3S - S = (3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{n+1}) - (1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^n) $，
化简得：$ 2S = 3^{n+1} - 1 $，
两边同时除以2，得：$ S = \frac{1}{2}(3^{n+1} - 1) $。
【答案】
(1)$ 2^{11}-1 $;(2)$ \frac{1}{2}(3^{n+1}-1) $
【知识点】
错位相减法，等比数列求和
【点评】
本题通过示例引导学生掌握错位相减法，核心是利用公比构造新等式，消去中间重复项简化计算，是等比数列求和的经典方法，需熟练掌握其步骤，能灵活应用到不同公比的等比数列求和中。
【难度系数】
0.6