1. 计算$(a^{2})^{5}$所得的结果是()

A.$-a^{10}$
B.$a^{10}$
C.$-a^{7}$
D.$a^{7}$

B

根据幂的乘方运算法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$，$n$是正整数），对于$(a^{2})^{5}$，其中$m = 2$，$n = 5$，则$(a^{2})^{5}=a^{2×5}=a^{10}$。

2. 下列是对代数式$(m^{2})^{3}$的描述：①3 个$m^{2}$相加；②3 个$m^{2}$相乘；③6 个$m$相加；④6 个$m$相乘.说法正确的是()

A.①②
B.①③
C.②③
D.②④

D

根据代数式的定义，$(m^{2})^{3}$ 表示对 $m^{2}$ 进行三次乘方运算，即 3 个 $m^{2}$ 相乘；从 $m$ 的角度分析，$m^{2}$ 表示 2 个 $m$ 相乘，$(m^{2})^{3}=(m^{2}× m^{2}× m^{2})$，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，结果为 $m^{6}$，也就是 6 个 $m$ 相乘。所以②④说法正确。

3. 有下列等式：①$(a^{2})^{b}=a^{2b}$；②$(-a^{2})^{b}=a^{2b}$；③$(-y^{x})^{2}=y^{2x}$；④$(x^{y})^{2}=x^{2y}$.其中正确的有()

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

C

① 根据幂的乘方法则，$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，所以$(a^{2})^{b}=a^{2b}$，该等式正确。
② 当$b$为奇数时，$(-a^{2})^{b}=-a^{2b}≠ a^{2b}$，该等式错误。
③ 根据积的乘方法则$ (ab)^n=a^nb^n$，$(-y^{x})^{2}=(-1)^2× (y^{x})^{2}=y^{2x}$，该等式正确。
④ 根据幂的乘方法则，$(x^{y})^{2}=x^{2y}$，该等式正确。
综上，①③④正确，共$3$个。

4. 计算$(a^{3})^{4}+a^{4}· a^{8}$所得的结果是()

A.$a^{7}+a^{32}$
B.$a^{12}+a^{32}$
C.$2a^{12}$
D.$a^{24}$

C

本题可根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则分别化简$(a^{3})^{4}$与$a^{4}· a^{8}$，再将化简后的结果相加。
步骤一：根据幂的乘方运算法则化简$(a^{3})^{4}$。
幂的乘方运算法则为：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$，$n$是正整数）。
在$(a^{3})^{4}$中，$m = 3$，$n = 4$，将其代入上述法则可得：$(a^{3})^{4}=a^{3×4}=a^{12}$。
步骤二：根据同底数幂的乘法运算法则化简$a^{4}· a^{8}$。
同底数幂的乘法运算法则为：$a^m· a^n=a^{m + n}$（$m$，$n$是正整数）。
在$a^{4}· a^{8}$中，$m = 4$，$n = 8$，将其代入上述法则可得：$a^{4}· a^{8}=a^{4 + 8}=a^{12}$。
步骤三：计算$(a^{3})^{4}+a^{4}· a^{8}$的结果。
将$(a^{3})^{4}=a^{12}$，$a^{4}· a^{8}=a^{12}$代入原式可得：$(a^{3})^{4}+a^{4}· a^{8}=a^{12}+a^{12}=2a^{12}$。

5. 计算下列各式，结果用幂的形式表示.
(1) $(5^{2})^{5}$.
(2) $-(x^{3})^{6}$.
(3) $[(m+n)^{5}]^{3}$.
(4) $(-m^{3})^{4}· (-m^{4})^{3}$.

(1)
根据幂的乘方运算法则：$(a^{m})^{n}=a^{mn}$（$m$，$n$是正整数），对于$(5^{2})^{5}$，其中$a = 5$，$m = 2$，$n = 5$，则有：
$(5^{2})^{5}=5^{2×5}=5^{10}$
(2)
同样根据幂的乘方运算法则，对于$(x^{3})^{6}$，其中$a = x$，$m = 3$，$n = 6$，可得$(x^{3})^{6}=x^{3×6}=x^{18}$。
所以$-(x^{3})^{6}=-x^{18}$
(3)
依据幂的乘方运算法则，对于$[(m + n)^{5}]^{3}$，这里$a=m + n$，$m = 5$，$n = 3$，则有：
$[(m + n)^{5}]^{3}=(m + n)^{5×3}=(m + n)^{15}$
(4)
先根据幂的乘方运算法则分别计算$(-m^{3})^{4}$与$(-m^{4})^{3}$：
对于$(-m^{3})^{4}$，根据$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$（$n$是正整数），可得$(-m^{3})^{4}=(-1)^{4}×(m^{3})^{4}$，因为$(-1)^{4}=1$，再根据幂的乘方运算法则$(m^{3})^{4}=m^{3×4}=m^{12}$，所以$(-m^{3})^{4}=m^{12}$。
对于$(-m^{4})^{3}$，同理$(-m^{4})^{3}=(-1)^{3}×(m^{4})^{3}$，由于$(-1)^{3}=-1$，且$(m^{4})^{3}=m^{4×3}=m^{12}$，所以$(-m^{4})^{3}=-m^{12}$。
再根据同底数幂的乘法运算法则：$a^{m}· a^{n}=a^{m + n}$（$m$，$n$是正整数），计算$(-m^{3})^{4}·(-m^{4})^{3}$：
$(-m^{3})^{4}·(-m^{4})^{3}=m^{12}·(-m^{12})=-m^{12 + 12}=-m^{24}$
综上，答案依次为：(1)$5^{10}$；(2)$-x^{18}$；(3)$(m + n)^{15}$；(4)$-m^{24}$。

6. 计算$[(a - b)^{2}]^{5}· (b - a)^{3}$所得的结果是()

A.$(a - b)^{10}$
B.$-(a - b)^{10}$
C.$(b - a)^{13}$
D.$-(b - a)^{13}$

C

原式$[(a - b)^{2}]^{5} · (b - a)^{3}$
首先根据幂的乘方运算法则，有 $[(a - b)^{2}]^{5} = (a - b)^{10}$。
接着，注意到 $a - b = -(b - a)$，
因此，$(a - b)^{10} = (-1)^{10}(b - a)^{10} = (b - a)^{10}$。
现在，原式变为 $(b - a)^{10} · (b - a)^{3}$。
根据同底数幂的乘法运算法则，有 $(b - a)^{10} · (b - a)^{3} = (b - a)^{13}$。

7. 已知$3^{x}=m$，那么$3^{x}· 9^{x}· 27^{x}=$(用含$m$的代数式表示).

$m^{6}$

因为$9^{x}=(3^{2})^{x}=3^{2x}$，$27^{x}=(3^{3})^{x}=3^{3x}$，所以$3^{x}·9^{x}·27^{x}=3^{x}·3^{2x}·3^{3x}=3^{x + 2x + 3x}=3^{6x}=(3^{x})^{6}$。又因为$3^{x}=m$，所以原式$=m^{6}$。