【例 3】为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗.某顾客端午节前在超市购买豆沙粽$10$个，肉粽$12$个，共付款$136$元，已知肉粽的单价是豆沙粽的$2$倍.
(1)求豆沙粽和肉粽的单价.
(2)超市为了促销，当顾客购买粽子达$20$个及以上时实行优惠政策.下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量(个)和付款金额(元).根据下表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价.

(1)设豆沙粽单价为$x$元，肉粽单价为$2x$元。
$10x + 12×2x = 136$
$10x + 24x = 136$
$34x = 136$
$x = 4$
$2x = 8$
答：豆沙粽单价4元，肉粽单价8元。
(2)设优惠后豆沙粽单价为$m$元，肉粽单价为$n$元。
$\begin{cases}20m + 30n = 270 \\ 30m + 20n = 230\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2m + 3n = 27 ① \\ 3m + 2n = 23 ②\end{cases}$
$①×3 - ②×2$：
$6m + 9n - 6m - 4n = 81 - 46$
$5n = 35$
$n = 7$
将$n = 7$代入①：
$2m + 21 = 27$
$2m = 6$
$m = 3$
答：优惠后豆沙粽单价3元，肉粽单价7元。

练习 4 已知：用$2$辆$A$型车和$1$辆$B$型车载满货物一次可运货$13$吨；用$1$辆$A$型车和$2$辆$B$型车载满货物一次可运货$14$吨.某物流公司现有$45$吨货物，计划租用$A$型车$a$辆，$B$型车$b$辆，一次运完(一种或两种车型都可)，且恰好每辆车都载满货物.根据以上信息，解答下列问题：
(1)$1$辆$A$型车和$1$辆$B$型车都载满货物，一次可分别运货多少吨?
(2)若$A$型车每辆需租金$110$元/次，$B$型车每辆需租金$150$元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.

$(1)$求$1$辆$A$型车和$1$辆$B$型车一次分别运货的吨数
设$1$辆$A$型车载满货物一次可运货$x$吨，$1$辆$B$型车载满货物一次可运货$y$吨。
根据题意可列方程组$\begin{cases}2x + y = 13 \\x + 2y = 14 \end{cases}$
解得$x = 4$。
把$x = 4$代入$2x + y = 13$，得$2×4 + y = 13$，
即$8 + y = 13$，
解得$y = 5$。
所以$1$辆$A$型车载满货物一次可运货$4$吨，$1$辆$B$型车载满货物一次可运货$5$吨。
$(2)$求最省钱的租车方案及最少租车费
已知物流公司现有$45$吨货物，租用$A$型车$a$辆，$B$型车$b$辆，且每辆车都载满货物，则$4a + 5b = 45$，
变形可得$a=\frac{45 - 5b}{4}=\frac{44 - 4b + 1 - b}{4}=11 - b+\frac{1 - b}{4}$。
因为$a$，$b$都是非负整数，所以$1 - b$是$4$的倍数。
当$b = 1$时，$a=\frac{45 - 5×1}{4}=\frac{40}{4} = 10$；
当$b = 5$时，$a=\frac{45 - 5×5}{4}=\frac{45 - 25}{4}=\frac{20}{4} = 5$；
当$b = 9$时，$a=\frac{45 - 5×9}{4}=\frac{45 - 45}{4}=0$。
分别计算三种租车方案的费用：
方案一：当$a = 10$，$b = 1$时，租车费用$W_1=110×10 + 150×1=1100 + 150 = 1250$（元）；
方案二：当$a = 5$，$b = 5$时，租车费用$W_2=110×5 + 150×5=(110 + 150)×5=260×5 = 1300$（元）；
方案三：当$a = 0$，$b = 9$时，租车费用$W_3=150×9 = 1350$（元）。
比较$1250$，$1300$，$1350$的大小，$1250＜1300＜1350$。
所以最省钱的租车方案是租用$A$型车$10$辆，$B$型车$1$辆，最少租车费是$1250$元。
综上，答案依次为：$(1)$$1$辆$A$型车载满货物一次可运货$\boldsymbol{4}$吨，$1$辆$B$型车载满货物一次可运货$\boldsymbol{5}$吨；$(2)$最省钱的租车方案是租用$A$型车$\boldsymbol{10}$辆，$B$型车$\boldsymbol{1}$辆，最少租车费是$\boldsymbol{1250}$元。