8. 规定新运算“$↑$”“$↓$”：$a↑b = a^{b}$，$a↓b = b^{a}$.例如$10↓m = m^{10}$，则$(x↑3)^{2}· (2↓x)=$.

$x^8$

根据题意，$x↑3=x^3$，所以$(x↑3)^2=(x^3)^2=x^{3×2}=x^6$，
$2↓x=x^2$，
所以$(x↑3)^2·(2↓x)=x^6· x^2$，
根据同底数幂的乘法法则，$x^6· x^2 = x^{6 + 2}=x^8$。

9. 已知$3^{m}=a$，$3^{n}=b$，分别求下列各式的值.
(1) $3^{m + n}$.
(2) $3^{2m + 3n}$.

(1)
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m× a^n = a^{m + n}$（$m$，$n$为正整数）。
已知$3^{m}=a$，$3^{n}=b$，则$3^{m + n}=3^{m}×3^{n}=a× b = ab$。
(2)
先根据同底数幂的乘法法则将$3^{2m + 3n}$变形为$3^{2m}×3^{3n}$。
再根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n = a^{mn}$（$m$，$n$为正整数）。
所以$3^{2m}=(3^{m})^2$，因为$3^{m}=a$，所以$3^{2m}=a^{2}$；
$3^{3n}=(3^{n})^3$，因为$3^{n}=b$，所以$3^{3n}=b^{3}$。
则$3^{2m + 3n}=3^{2m}×3^{3n}=a^{2}× b^{3}=a^{2}b^{3}$。
综上，答案依次为：(1)$ab$；(2)$a^{2}b^{3}$。

10. 比较两个数大小的方法有很多种，比如：
①可以把它们的底数变成相同的数.
例如，比较$4^{10}$与$8^{7}$的大小：
$\because 4^{10}=(2^{2})^{10}=2^{20}$，$8^{7}=(2^{3})^{7}=2^{21}$，又$\because 20 ＜ 21$，$\therefore 2^{20}＜2^{21}$，即$4^{10}＜8^{7}$.
②也可以把它们的指数变成相同的数.
例如，比较$2^{100}$与$3^{75}$的大小：
$\because 2^{100}=(2^{4})^{25}=16^{25}$，$3^{75}=(3^{3})^{25}=27^{25}$，又$\because 16 ＜ 27$，$\therefore 16^{25}＜27^{25}$，即$2^{100}＜3^{75}$.
利用以上方法比较大小：
(1) $9^{14}$与$27^{9}$.
(2) $3^{55}$，$4^{44}$与$5^{33}$.

(1)
因为$9^{14}=(3^{2})^{14}=3^{28}$，$27^{9}=(3^{3})^{9}=3^{27}$。
由于指数函数$y = 3^{x}$，当$x$增大时，$y$也增大，且$28＞27$，所以$3^{28}＞3^{27}$，即$9^{14}＞27^{9}$。
(2)
因为$3^{55}=(3^{5})^{11}=243^{11}$，$4^{44}=(4^{4})^{11}=256^{11}$，$5^{33}=(5^{3})^{11}=125^{11}$。
因为指数函数$y = x^{11}$（$x＞0$），当$x$增大时，$y$也增大，且$125＜243＜256$，所以$125^{11}＜243^{11}＜256^{11}$，即$5^{33}＜3^{55}＜4^{44}$。