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1. 化简 $a^{4} · (-a)^{3}$ 所得的结果是()
A.$a^{12}$
B.$-a^{12}$
C.$a^{7}$
D.$-a^{7}$
A.$a^{12}$
B.$-a^{12}$
C.$a^{7}$
D.$-a^{7}$
答案
D
解析
根据同底数幂的乘法法则，先计算$(-a)^{3}=-a^{3}$，则$a^{4}·(-a)^{3}=a^{4}·(-a^{3})$，再根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，可得$a^{4}·(-a^{3})=-a^{4 + 3}=-a^{7}$。
2. 计算 $2x(3x^{2}+1)$ 所得的结果是()
A.$5x^{3}+2x$
B.$6x^{3}+1$
C.$6x^{3}+2x$
D.$6x^{2}+2x$
A.$5x^{3}+2x$
B.$6x^{3}+1$
C.$6x^{3}+2x$
D.$6x^{2}+2x$
答案
C
解析
根据单项式与多项式乘法法则，先将单项式与多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
$2x(3x^{2}+1)=2x·3x^{2}+2x·1$
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$2x·3x^{2}=(2×3)x^{1 + 2}=6x^{3}$，$2x·1 = 2x$。
所以$2x(3x^{2}+1)=6x^{3}+2x$。
$2x(3x^{2}+1)=2x·3x^{2}+2x·1$
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$2x·3x^{2}=(2×3)x^{1 + 2}=6x^{3}$，$2x·1 = 2x$。
所以$2x(3x^{2}+1)=6x^{3}+2x$。
3. 下列计算中，不正确的是()
A.$(-3a^{2}b)(-2ab^{2})=6a^{3}b^{3}$
B.$(-0.1m)(10mn)^{2}=-10m^{3}n^{2}$
C.$2x^{3} · 3x^{3}=6x^{6}$
D.$10x^{2} · 2x^{5}=20x^{10}$
A.$(-3a^{2}b)(-2ab^{2})=6a^{3}b^{3}$
B.$(-0.1m)(10mn)^{2}=-10m^{3}n^{2}$
C.$2x^{3} · 3x^{3}=6x^{6}$
D.$10x^{2} · 2x^{5}=20x^{10}$
答案
D
解析
选项A：根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，$(-3a^{2}b)(-2ab^{2}) = (-3)×(-2)× a^{2 + 1}× b^{1 + 2}=6a^{3}b^{3}$，该选项正确。
选项B：先计算$(10mn)^{2}=100m^{2}n^{2}$，再与$-0.1m$相乘，$(-0.1m)(100m^{2}n^{2})=-10m^{3}n^{2}$，该选项正确。
选项C：根据单项式乘法法则，$2x^{3}·3x^{3}=(2×3)× x^{3 + 3}=6x^{6}$，该选项正确。
选项D：根据单项式乘法法则，$10x^{2}·2x^{5}=(10×2)× x^{2 + 5}=20x^{7}≠20x^{10}$，该选项错误。
选项B：先计算$(10mn)^{2}=100m^{2}n^{2}$，再与$-0.1m$相乘，$(-0.1m)(100m^{2}n^{2})=-10m^{3}n^{2}$，该选项正确。
选项C：根据单项式乘法法则，$2x^{3}·3x^{3}=(2×3)× x^{3 + 3}=6x^{6}$，该选项正确。
选项D：根据单项式乘法法则，$10x^{2}·2x^{5}=(10×2)× x^{2 + 5}=20x^{7}≠20x^{10}$，该选项错误。
4. 方程 $3x(x - 1)-x(3x - 4)=7$ 的解为()
A.$x = 1$
B.$x = -1$
C.$x = 7$
D.$x = -7$
A.$x = 1$
B.$x = -1$
C.$x = 7$
D.$x = -7$
答案
C
解析
首先展开方程左边的表达式：$3x(x - 1) - x(3x - 4) = 3x^2 - 3x - 3x^2 + 4x$，
合并同类项，方程简化为：$3x^2 - 3x - 3x^2 + 4x = x = 7$，
因此，得到方程的解为：$x = 7$。
合并同类项，方程简化为：$3x^2 - 3x - 3x^2 + 4x = x = 7$，
因此，得到方程的解为：$x = 7$。
5. 一个三角形的底边为 $2x$，高为 $x - 4y$，它的面积为。
答案
$x^{2} - 4xy$
解析
根据三角形面积公式，面积等于底边乘以高再除以2。
已知底边为$2x$，高为$x-4y$，因此面积为：
$\mathrm{面积} = \frac{1}{2} × 2x × (x - 4y)$
化简表达式：
$\mathrm{面积} = x × (x - 4y) = x^2 - 4xy$
已知底边为$2x$，高为$x-4y$，因此面积为：
$\mathrm{面积} = \frac{1}{2} × 2x × (x - 4y)$
化简表达式：
$\mathrm{面积} = x × (x - 4y) = x^2 - 4xy$
6. (1) 已知 $m^{2}+n^{2}=5$，那么 $m(m + n)-n(m - n)$ 的值是。
(2) 已知 $x(x + 3)=1$，那么 $2x^{2}+6x - 5$ 的值是。
(2) 已知 $x(x + 3)=1$，那么 $2x^{2}+6x - 5$ 的值是。
答案
(1) 5
(2) -3
(2) -3
解析
(1) 首先对式子 $m(m + n) - n(m - n)$ 进行展开：
$m(m + n) = m^2 + mn$，
$n(m - n) = mn - n^2$，
所以，$m(m + n) - n(m - n) = (m^2 + mn) - (mn - n^2) = m^2 + n^2$，
已知 $m^2 + n^2 = 5$，所以 $m(m + n) - n(m - n) = 5$。
(2) 已知 $x(x + 3) = 1$，即$x^2 + 3x = 1$，
两边同时乘以2，得到：
$2x^2 + 6x = 2$，
那么，$2x^2 + 6x - 5 = 2 - 5 = -3$。
$m(m + n) = m^2 + mn$，
$n(m - n) = mn - n^2$，
所以，$m(m + n) - n(m - n) = (m^2 + mn) - (mn - n^2) = m^2 + n^2$，
已知 $m^2 + n^2 = 5$，所以 $m(m + n) - n(m - n) = 5$。
(2) 已知 $x(x + 3) = 1$，即$x^2 + 3x = 1$，
两边同时乘以2，得到：
$2x^2 + 6x = 2$，
那么，$2x^2 + 6x - 5 = 2 - 5 = -3$。
7. 计算：
(1) $-3ab · (2ab^{2})$。
(2) $8a^{2} · (-\frac{1}{2}ab)^{2}$。
(3) $2x(x - y + z)$。
(4) $(\frac{1}{2}a^{2}-2a) · (-4a^{2})$。
(1) $-3ab · (2ab^{2})$。
(2) $8a^{2} · (-\frac{1}{2}ab)^{2}$。
(3) $2x(x - y + z)$。
(4) $(\frac{1}{2}a^{2}-2a) · (-4a^{2})$。
答案
(1) $-3ab · (2ab^{2})$
$=(-3×2)·(a·a)·(b·b^{2})$
$=-6a^{2}b^{3}$
(2) $8a^{2} · (-\frac{1}{2}ab)^{2}$
$=8a^{2} · (\frac{1}{4}a^{2}b^{2})$
$=(8×\frac{1}{4})·(a^{2}·a^{2})·b^{2}$
$=2a^{4}b^{2}$
(3) $2x(x - y + z)$
$=2x·x - 2x·y + 2x·z$
$=2x^{2} - 2xy + 2xz$
(4) $(\frac{1}{2}a^{2}-2a) · (-4a^{2})$
$=\frac{1}{2}a^{2}·(-4a^{2}) - 2a·(-4a^{2})$
$=-2a^{4} + 8a^{3}$
$=(-3×2)·(a·a)·(b·b^{2})$
$=-6a^{2}b^{3}$
(2) $8a^{2} · (-\frac{1}{2}ab)^{2}$
$=8a^{2} · (\frac{1}{4}a^{2}b^{2})$
$=(8×\frac{1}{4})·(a^{2}·a^{2})·b^{2}$
$=2a^{4}b^{2}$
(3) $2x(x - y + z)$
$=2x·x - 2x·y + 2x·z$
$=2x^{2} - 2xy + 2xz$
(4) $(\frac{1}{2}a^{2}-2a) · (-4a^{2})$
$=\frac{1}{2}a^{2}·(-4a^{2}) - 2a·(-4a^{2})$
$=-2a^{4} + 8a^{3}$
8. 若 $(ax^{4}) · (4x^{b})=-12x^{8}$，则 $a$，$b$ 的值分别是()
A.$3$，$2$
B.$3$，$4$
C.$-3$，$4$
D.$-3$，$2$
A.$3$，$2$
B.$3$，$4$
C.$-3$，$4$
D.$-3$，$2$
答案
C
解析
根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，
$(ax^{4}) · (4x^{b}) = 4a · x^{4+b}$，
已知 $4a · x^{4+b} = -12x^{8}$，
比较系数得 $4a = -12$，解得 $a = -3$，
比较指数得 $4 + b = 8$，解得 $b = 4$。
$(ax^{4}) · (4x^{b}) = 4a · x^{4+b}$，
已知 $4a · x^{4+b} = -12x^{8}$，
比较系数得 $4a = -12$，解得 $a = -3$，
比较指数得 $4 + b = 8$，解得 $b = 4$。
