【例 3】计算：
(1) $(-2x^{2}y^{3}z)^{2}· \frac{1}{4}x^{3}y÷ (-5x^{5}y^{6}z)$.
(2) $[(x - 3y)^{2}+(x + y)(x - y)-x(2x - 4y)]÷ (-2y)$.

(1)
首先计算$(-2x^{2}y^{3}z)^{2}$：
根据积的乘方公式$(ab)^n=a^nb^n$，可得$(-2x^{2}y^{3}z)^{2}=(-2)^2×(x^{2})^{2}×(y^{3})^{2}× z^{2}=4x^{4}y^{6}z^{2}$。
则原式变为$4x^{4}y^{6}z^{2}·\frac{1}{4}x^{3}y÷(-5x^{5}y^{6}z)$。
再计算乘法：$4x^{4}y^{6}z^{2}·\frac{1}{4}x^{3}y = x^{4 + 3}y^{6+1}z^{2}=x^{7}y^{7}z^{2}$。
最后计算除法：$x^{7}y^{7}z^{2}÷(-5x^{5}y^{6}z)=\frac{x^{7}y^{7}z^{2}}{-5x^{5}y^{6}z}=-\frac{1}{5}x^{7 - 5}y^{7 - 6}z^{2 - 1}=-\frac{1}{5}x^{2}yz$。
(2)
先分别计算中括号内各项：
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$(x - 3y)^{2}=x^{2}-6xy + 9y^{2}$。
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得$(x + y)(x - y)=x^{2}-y^{2}$。
计算$x(2x - 4y)=2x^{2}-4xy$。
则中括号内的式子为：
$x^{2}-6xy + 9y^{2}+x^{2}-y^{2}-(2x^{2}-4xy)$
$=x^{2}-6xy + 9y^{2}+x^{2}-y^{2}-2x^{2}+4xy$
$=(x^{2}+x^{2}-2x^{2})+(-6xy + 4xy)+(9y^{2}-y^{2})$
$=-2xy + 8y^{2}$。
再计算除法：$(-2xy + 8y^{2})÷(-2y)=\frac{-2xy}{-2y}+\frac{8y^{2}}{-2y}=x - 4y$。
综上，答案依次为：(1)$-\frac{1}{5}x^{2}yz$；(2)$x - 4y$。

四、整式的混合运算、化简求值及应用
【例 4】计算：
已知 $y^{2}-5y = 20$，求 $(y - 1)(2y - 1)-(y + 1)^{2}+1$ 的值.

首先，对表达式$(y - 1)(2y - 1)-(y + 1)^{2}+1$进行展开：
$(y - 1)(2y - 1) = 2y^{2} - y - 2y + 1 = 2y^{2} - 3y + 1$，
$(y + 1)^{2} = y^{2} + 2y + 1$，
将上述两部分结果代入原式，得到：
$2y^{2} - 3y + 1 - (y^{2} + 2y + 1) + 1$
$= 2y^{2} - 3y + 1 - y^{2} - 2y - 1 + 1$
$= y^{2} - 5y + 1$
根据题目给出的条件$y^{2} - 5y = 20$，将其代入上述化简后的表达式中，得到：
$y^{2} - 5y + 1 = 20 + 1 = 21$。
故答案为：21。

练习 7 如图，某市有一块长为 $(3a + b)$ 米、宽为 $(2a + b)$ 米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，在中间修建一座雕像，在左右两边修建两条宽为 $a$ 米的道路.($a＞0$，$b＞0$)
(1)试用含 $a$，$b$ 的代数式表示绿化的面积.
(2)若 $a = 3$，$b = 2$，求出绿化面积.

(1)$6a^2 + 4ab$；(2)$78$

(1) 绿化面积为大矩形面积减去中间空白矩形面积。
大矩形面积：$(3a + b)(2a + b) = 6a^2 + 5ab + b^2$
中间空白矩形面积：$(a + b)b = ab + b^2$
绿化面积：$6a^2 + 5ab + b^2 - (ab + b^2) = 6a^2 + 4ab$
(2) 当$a = 3$，$b = 2$时，
绿化面积：$6×3^2 + 4×3×2 = 6×9 + 24 = 54 + 24 = 78$