【例 1】计算：
(1) $(3a^{3})^{2}· a^{4}=$.(2) $(y^{3})^{2}÷ y^{4}=$.(3) $-(-2x^{2})^{3}=$.

(1) $9a^{10}$
(2) $y^{2}$
(3) $8x^{6}$

(1) 对于 $(3a^{3})^{2} · a^{4}$，
首先根据幂的乘方运算法则，有 $(3a^{3})^{2} = 9a^{6}$，
再根据同底数幂的乘法运算法则，有 $9a^{6} · a^{4} = 9a^{10}$。
(2) 对于 $(y^{3})^{2} ÷ y^{4}$，
首先根据幂的乘方运算法则，有 $(y^{3})^{2} = y^{6}$，
再根据同底数幂的除法运算法则，有 $y^{6} ÷ y^{4} = y^{2}$。
(3) 对于 $-(-2x^{2})^{3}$，
首先根据幂的乘方运算法则，有 $(-2x^{2})^{3} = -8x^{6}$，
再取反得 $-(-8x^{6}) = 8x^{6}$。

练习 1 下列计算正确的是()
A. $(-3xy)^{2}=3x^{2}y^{2}$
B. $3x^{2}+4x^{2}=7x^{4}+4$
C. $t(3t^{2}-t + 1)=3t^{3}-t^{2}+1$
D. $(-a^{3})^{4}÷ (-a^{4})^{3}=-1$

D

选项A：根据积的乘方公式，$(-3xy)^2 = (-3)^2x^2y^2 = 9x^2y^2$，与选项给出的$3x^2y^2$不符，故A错误；
选项B：同类项相加，$3x^2 + 4x^2 = 7x^2$，与选项给出的$7x^4 + 4$不符，故B错误；
选项C：单项式与多项式相乘，$t(3t^2 - t + 1) = 3t^3 - t^2 + t$，与选项给出的$3t^3 - t^2 + 1$不符，故C错误；
选项D：根据幂的乘方与同底数幂的除法公式，$(-a^3)^4 ÷ (-a^4)^3 = a^{12} ÷ (-a^{12}) = -1$，与选项一致，故D正确。

【例 2】(1)计算：$6x(x^{2}+2)-x(3x - 2)(2x - 3)=$.
(2)计算：$(2a - 1)^{2}-4(a + 1)(a - 1)=$.
(3)简便计算：$67^{2}+67× 66+33^{2}=$.

(1) $13x^{2}+6x$
(2) $-4a + 5$
(3) $10000$

(1) $6x(x^{2}+2)-x(3x - 2)(2x - 3)$
$=6x^{3}+12x - x[(3x)(2x)+3x(-3)-2(2x)+(-2)(-3)]$
$=6x^{3}+12x - x(6x^{2}-9x - 4x + 6)$
$=6x^{3}+12x - x(6x^{2}-13x + 6)$
$=6x^{3}+12x - 6x^{3}+13x^{2}-6x$
$=13x^{2}+6x$
(2) $(2a - 1)^{2}-4(a + 1)(a - 1)$
$=(4a^{2}-4a + 1)-4(a^{2}-1)$
$=4a^{2}-4a + 1 - 4a^{2}+4$
$=-4a + 5$
(3) $67^{2}+67× 66+33^{2}$
$=67^{2}+2×67×33 + 33^{2}$
$=(67 + 33)^{2}$
$=100^{2}$
$=10000$

练习 3 若 $M$，$N$ 均为整式，且满足 $(x + 3)M=x^{2}-2x + N$，则()
A.$M=x + 5$，$N = 15$
B.$M=x + 5$，$N=-15$
C.$M=x - 5$，$N = 15$
D.$M=x - 5$，$N=-15$

C（这里的C应为前面的误写，正确对应选项是D） 正确答案选D。

将等式 $(x + 3)M = x^{2} - 2x + N$ 展开，分别将各选项中的 $M$ 和 $N$ 代入该等式，验证等式是否成立。
选项A：若 $M = x + 5$，$N = 15$，
则$(x + 3)(x + 5)$
$=x^2 + 5x + 3x + 15$
$=x^2 + 8x + 15$
$x^2 + 8x + 15≠ x^{2} - 2x + 15$，所以选项A错误。
选项B：若 $M = x + 5$，$N = -15$，
由选项A可知$(x + 3)(x + 5)=x^2 + 8x + 15$，
$x^2 + 8x + 15≠ x^{2} - 2x - 15$，所以选项B错误。
选项C：若 $M = x - 5$，$N = 15$，
则$(x + 3)(x - 5)$
$=x^2 - 5x + 3x - 15$
$=x^2 - 2x - 15$
$x^2 - 2x - 15≠ x^{2} - 2x + 15$，所以选项C错误。
选项D：若 $M = x - 5$，$N = -15$，
由选项C可知$(x + 3)(x - 5)=x^2 - 2x - 15$，
$x^2 - 2x - 15 = x^{2} - 2x - 15$，等式成立，所以选项D正确。

练习 4 若 $m - n = 6$，$mn = 4$，则 $(m + 2)(n - 2)=$.

练习4
答案：$\boldsymbol{-12}$
练习5(1)
解：先化简原式
$\begin{aligned}&m(m-2n)+(m+n)^2-(m+n)(m-n)\\=&m^2-2mn + m^2+2mn+n^2 - (m^2-n^2)\\=&m^2-2mn+m^2+2mn+n^2 -m^2+n^2\\=&m^2 + 2n^2\end{aligned}$
将$m=-1$，$n=4$代入化简后的式子：
$(-1)^2 + 2×4^2 = 1 + 2×16 = 1+32=33$
故原式的值为$\boldsymbol{33}$。

练习 5 (1)先化简，再求值：$m(m - 2n)+(m + n)^{2}-(m + n)(m - n)$，其中 $m=-1$，$n = 4$.
(2)已知实数 $a$，$b$ 满足 $(a + b)^{2}=1$，$(a - b)^{2}=23$，求 $a^{2}+b^{2}+ab$ 的值.

∵$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} = 1$①，$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2} = 23$②，①$+$②得：$2(a^{2} + b^{2}) = 24$$a^{2} + b^{2} = 12$①$-$②得：$4ab = - 22$$ab = - \frac{11}{2}$∴$a^{2} + b^{2} + ab = 12 - \frac{11}{2} = \frac{13}{2}$（或 $6.5$）。