一、选择题
1. 方程① $(2x - 1)^2 = 5$，② $x^2 - x - 1 = 0$，③ $x(x - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - x$，解上述方程最适当的方法分别为()。
A.因式分解法，公式法，因式分解法
B.直接开平方法，公式法，因式分解法
C.公式法，配方法，公式法
D.直接开平方法，配方法，公式法

1. B

【分析】
要判断每个方程最适当的解法，需根据方程的形式特征来选择：
1. 对于方程①$(2x - 1)^2 = 5$，左边是完全平方式，右边是正实数，符合直接开平方法的适用条件（形如$(ax+b)^2=c$，$c≥0$），优先用直接开平方法；
2. 方程②$x^2 - x - 1 = 0$，尝试因式分解时，判别式$\Delta=(-1)^2-4×1×(-1)=5$，不是完全平方数，无法直接因式分解，配方法步骤繁琐，而公式法适用于所有一元二次方程，因此最适合用公式法；
3. 方程③$x(x - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - x$，将右边的项移到左边后，可提取公因式$(x-\sqrt{3})$，转化为乘积为0的形式，符合因式分解法的适用条件，优先用因式分解法。
结合以上分析，对应选项B。
【解析】
方程①$(2x - 1)^2 = 5$：
左边是完全平方式，右边为正数，直接开平方得$2x-1=\pm\sqrt{5}$，后续求解简单，最适当的方法是直接开平方法；
方程②$x^2 - x - 1 = 0$：
二次项系数为1，一次项系数为-1，常数项为-1，判别式$\Delta=1+4=5$，不是完全平方数，无法通过因式分解快速求解，配方法步骤较多，使用公式法（代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$）直接求解更高效；
方程③$x(x - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - x$：
移项得$x(x - \sqrt{3}) + (x - \sqrt{3}) = 0$，提取公因式$(x - \sqrt{3})$得$(x - \sqrt{3})(x + 1)=0$，通过因式分解可快速得到方程的根，最适当的方法是因式分解法。
因此三个方程对应的解法依次是直接开平方法、公式法、因式分解法，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程解法选择，直接开平方法，因式分解法
【点评】
本题主要考查一元二次方程不同解法的适用场景，解题关键是根据方程的结构特征（如是否为完全平方式、能否因式分解等）选择最简便的解法，需熟练掌握直接开平方法、公式法、因式分解法的适用条件，避免盲目选择复杂解法。
【难度系数】
0.7

2. 若方程 $(x^2 + 1)^2 + 2(x^2 + 1) - 3 = 0$，则 $x^2 + 1$ 的值为()。

A.1
B.$-3$
C.$-3$ 或 1
D.$-1$ 或 3

2. A

设$ t = x^2 + 1 $，则原方程化为$ t^2 + 2t - 3 = 0 $。
因式分解得$ (t + 3)(t - 1) = 0 $，解得$ t = -3 $或$ t = 1 $。
因为$ x^2 ≥ 0 $，所以$ t = x^2 + 1 ≥ 1 $，故$ t = -3 $舍去。
因此，$ x^2 + 1 = 1 $。
A

3. 等腰三角形的两边的长是方程 $x^2 - 9x + 18 = 0$ 的两个根，则此三角形的周长为()。

A.12
B.15
C.12 或 15
D.以上都不对

3. B

解方程$x^2 - 9x + 18 = 0$，因式分解得$(x - 3)(x - 6) = 0$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = 6$。
情况一：若等腰三角形的腰长为$3$，底边长为$6$，则$3 + 3 = 6$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去。
情况二：若等腰三角形的腰长为$6$，底边长为$3$，则$6 + 3 ＞ 6$，$6 + 6 ＞ 3$，满足三角形三边关系，此时周长为$6 + 6 + 3 = 15$。
B

二、填空题
4. 若 $a ≠ b$，则关于 $x$ 的方程 $(a - b)x^2 + (c - b)x + c - a = 0$ 必有一根是。

由于a≠b,考虑将c消除,注意到一次项系数为c-b,常数为c-a,代入-1:
a-b+b-c+c-a=0,则有个根-1

【分析】
要找出方程的必有一根，可通过代入特殊值消去参数a、b、c，或利用因式分解分析。观察方程各项系数：二次项系数为$a-b$，一次项系数为$c-b$，常数项为$c-a$，尝试代入$x=-1$可使左边代数式化简为0；也可通过因式分解得到含$(x+1)$的因式，从而确定必有一根。
【解析】
方法一：代入特殊值验证
因为$a≠b$，方程为$(a - b)x^2 + (c - b)x + c - a = 0$，将$x=-1$代入方程左边：
$\begin{aligned}&(a - b)×(-1)^2 + (c - b)×(-1) + c - a\\=&(a - b) - (c - b) + c - a\\=&a - b - c + b + c - a\\=&0\end{aligned}$
左边等于右边，故$x=-1$是方程的一个根。
方法二：因式分解法
对方程左边多项式因式分解：
$\begin{aligned}&(a - b)x^2 + (c - b)x + c - a\\=&(a - b)x^2 + [(c - a)+(a - b)]x + c - a\\=&(a - b)x(x + 1) + (c - a)(x + 1)\\=&[(a - b)x + (c - a)](x + 1)\end{aligned}$
令因式为0，得$x + 1=0$或$(a - b)x + (c - a)=0$，解得$x=-1$或$x=\frac{a - c}{a - b}$，因此方程必有一根为$-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程的根
2. 因式分解法解方程
【点评】
本题考查一元二次方程根的判定，解题关键是观察系数特征，通过代入特殊值或因式分解快速消去参数，确定固定根的存在性，方法灵活多样，侧重对系数关系的观察与运用。
【难度系数】
0.6

5. 若 $x$，$y$ 都是实数，且满足 $(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 - 1) = 12$，则 $x^2 + y^2$ 的值为。

5. 4

设$t = x^2 + y^2$，因为$x$，$y$都是实数，所以$t ≥ 0$。
原方程可化为$t(t - 1) = 12$，
展开得$t^2 - t - 12 = 0$，
因式分解得$(t - 4)(t + 3) = 0$，
解得$t = 4$或$t = -3$，
因为$t ≥ 0$，所以$t = -3$舍去，
故$x^2 + y^2 = 4$。

6. 已知一个关于 $x$ 的一元二次方程的两根分别为 $x_1 = 1$，$x_2 = 2$。请写出一个符合条件的一元二次方程：。

6. 答案不唯一，如 $x^{2}-3x+2=0$

$x^{2}-3x+2=0$

三、解答题
7. 按指定的方法解方程：
(1) $(x + 2)^2 - 25 = 0$；(直接开平方法)
(2) $x^2 + 4x - 5 = 0$；(配方法)
(3) $(x + 2)^2 - 10(x + 2) + 25 = 0$；(因式分解法)
(4) $2x^2 - 7x + 3 = 0$。(公式法)

7. (1) $x_{1}=3$，$x_{2}=-7$ (2) $x_{1}=-5$，$x_{2}=1$ (3) $x_{1}=x_{2}=3$ (4) $x_{1}=\dfrac{1}{2}$，$x_{2}=3$

(1) $(x + 2)^2 = 25$
$x + 2 = \pm 5$
$x + 2 = 5$ 或 $x + 2 = -5$
$x_1 = 3$，$x_2 = -7$
(2) $x^2 + 4x = 5$
$x^2 + 4x + 4 = 5 + 4$
$(x + 2)^2 = 9$
$x + 2 = \pm 3$
$x + 2 = 3$ 或 $x + 2 = -3$
$x_1 = 1$，$x_2 = -5$
(3) $[(x + 2) - 5]^2 = 0$
$(x - 3)^2 = 0$
$x - 3 = 0$
$x_1 = x_2 = 3$
(4) $a = 2$，$b = -7$，$c = 3$
$\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 × 2 × 3 = 49 - 24 = 25$
$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{7 \pm \sqrt{25}}{4} = \dfrac{7 \pm 5}{4}$
$x_1 = \dfrac{7 + 5}{4} = 3$，$x_2 = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{1}{2}$