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(12) 用直线上的点表示下列分数。
$ \frac{1}{4} $ $ \frac{1}{2} $ $ \frac{5}{4} $ $ \frac{8}{4} $ $ 1 \frac{1}{4} $
$ \frac{1}{4} $ $ \frac{1}{2} $ $ \frac{5}{4} $ $ \frac{8}{4} $ $ 1 \frac{1}{4} $
答案
在数轴上从左到右依次在$0$右方第一小格处标$\frac{1}{4}$；在$0$右方第二小格处标$\frac{1}{2}$；在$1$右方第一小格处标$\frac{5}{4}$和$1\frac{1}{4}$；在数字$2$的位置标$\frac{8}{4}$。
解析
1. 首先明确直线上的每一小格代表的数值：
观察数轴可知，从$0$到$1$，$1$到$2$，$2$到$3$等每一大段被平均分成了$4$小格，每一小格表示的数值是$\frac{1}{4}$。
2. 然后分别确定各分数在直线上的位置：
对于$\frac{1}{4}$，它在$0$右边第$1$小格处。
对于$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$，它在$0$右边第$2$小格处。
对于$\frac{5}{4}$，$ \frac{5}{4}=1+\frac{1}{4}$，它在$1$右边第$1$小格处。
对于$\frac{8}{4} = 2$，它在数字$2$的位置。
对于$1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$，与$\frac{5}{4}$位置相同，在$1$右边第$1$小格处。
观察数轴可知，从$0$到$1$，$1$到$2$，$2$到$3$等每一大段被平均分成了$4$小格，每一小格表示的数值是$\frac{1}{4}$。
2. 然后分别确定各分数在直线上的位置：
对于$\frac{1}{4}$，它在$0$右边第$1$小格处。
对于$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$，它在$0$右边第$2$小格处。
对于$\frac{5}{4}$，$ \frac{5}{4}=1+\frac{1}{4}$，它在$1$右边第$1$小格处。
对于$\frac{8}{4} = 2$，它在数字$2$的位置。
对于$1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$，与$\frac{5}{4}$位置相同，在$1$右边第$1$小格处。
2. 火眼金睛辨对错。
(1) $ 5x + 7 ＞ 28 $ 不是方程。(
(2) 负数都比 $ 0 $ 小。(
(3) $ 1 $ 米的 $ \frac{2}{5} $ 与 $ 2 $ 米的 $ \frac{1}{5} $ 相等。(
(4) 所有的偶数都是合数。(
(5) 假分数都比真分数大。(
(6) $ 18 $ 分解质因数是 $ 18 = 2 × 9 $。(
(7) 分别从两筒铅笔中取出 $ \frac{1}{4} $，取出的铅笔数不一定相等。(
(8) 两个非 $ 0 $ 自然数的积一定是它们的公倍数。(
(1) $ 5x + 7 ＞ 28 $ 不是方程。(
对
)(2) 负数都比 $ 0 $ 小。(
对
)(3) $ 1 $ 米的 $ \frac{2}{5} $ 与 $ 2 $ 米的 $ \frac{1}{5} $ 相等。(
对
)(4) 所有的偶数都是合数。(
错
)(5) 假分数都比真分数大。(
对
)(6) $ 18 $ 分解质因数是 $ 18 = 2 × 9 $。(
错
)(7) 分别从两筒铅笔中取出 $ \frac{1}{4} $，取出的铅笔数不一定相等。(
对
)(8) 两个非 $ 0 $ 自然数的积一定是它们的公倍数。(
对
)答案
(1)对
(2)对
(3)对
(4)错
(5)对
(6)错
(7)对
(8)对
(2)对
(3)对
(4)错
(5)对
(6)错
(7)对
(8)对
解析
(1)方程是含有未知数的等式，$5x + 7＞28$不是等式，所以不是方程，该说法正确。
(2)根据负数的定义，负数是小于$0$的数，所以负数都比$0$小，该说法正确。
(3)$1$米的$\frac{2}{5}$是$1×\frac{2}{5}=\frac{2}{5}$米，$2$米的$\frac{1}{5}$是$2×\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$米，二者相等，该说法正确。
(4)偶数是能够被$2$所整除的整数，$2$是偶数，但$2$不是合数，所以并不是所有的偶数都是合数，该说法错误。
(5)真分数是指分子小于分母的分数，真分数都小于$1$；假分数是指分子大于或者等于分母的分数，假分数大于或等于$1$，所以假分数都比真分数大，该说法正确。
(6)分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式，$9$不是质数，$18$分解质因数应该是$18 = 2×3×3$，该说法错误。
(7)如果两筒铅笔的数量不同，那么分别从两筒铅笔中取出$\frac{1}{4}$，取出的铅笔数不一定相等，该说法正确。
(8)两个非$0$自然数的积，一定是这两个数的倍数，所以一定是它们的公倍数，该说法正确。
(2)根据负数的定义，负数是小于$0$的数，所以负数都比$0$小，该说法正确。
(3)$1$米的$\frac{2}{5}$是$1×\frac{2}{5}=\frac{2}{5}$米，$2$米的$\frac{1}{5}$是$2×\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$米，二者相等，该说法正确。
(4)偶数是能够被$2$所整除的整数，$2$是偶数，但$2$不是合数，所以并不是所有的偶数都是合数，该说法错误。
(5)真分数是指分子小于分母的分数，真分数都小于$1$；假分数是指分子大于或者等于分母的分数，假分数大于或等于$1$，所以假分数都比真分数大，该说法正确。
(6)分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式，$9$不是质数，$18$分解质因数应该是$18 = 2×3×3$，该说法错误。
(7)如果两筒铅笔的数量不同，那么分别从两筒铅笔中取出$\frac{1}{4}$，取出的铅笔数不一定相等，该说法正确。
(8)两个非$0$自然数的积，一定是这两个数的倍数，所以一定是它们的公倍数，该说法正确。
(1) $ 8 $ 和 $ 9 $ 都是(
A.质数
B.合数
C.奇数
D.偶数
B
)。A.质数
B.合数
C.奇数
D.偶数
答案
B
解析
质数是只有1和本身两个因数的数，8的因数有1、2、4、8，9的因数有1、3、9，所以8和9都不是质数。奇数是不能被2整除的整数，8能被2整除，所以8不是奇数。偶数是能被2整除的整数，9不能被2整除，所以9不是偶数。合数是除了1和它本身还有其他因数的数，8和9都有除了1和本身外的其他因数，所以都是合数。
(2) $ a $ 和 $ b $ 是相邻的两个非零自然数，它们的最大公因数是(
A.$ 1 $
B.$ a $
C.$ b $
D.$ ab $
A
)，最小公倍数是(D
)。A.$ 1 $
B.$ a $
C.$ b $
D.$ ab $
答案
A；D
解析
相邻的两个非零自然数如$n$和$n+1$，它们之间没有其他公因数，只有公因数$1$，所以它们的最大公因数是$1$；而两个数的最小公倍数可以通过两数乘积除以它们的最大公因数得到，由于最大公因数是$1$，所以最小公倍数为$a× b÷1=ab$。
(3) 李老师买了 $ 3 $ 个相同的水杯，正好花了 $ 3 □.4 $ 元，“$ □ $”里的数字可能是(
A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ 2 $
D.$ 6 $
C
)。A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ 2 $
D.$ 6 $
答案
C
解析
3□.4元是3个相同水杯的总价，总价应能被3整除。一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。3+□+4=7+□，7+□需能被3整除。选项中：7+3=10（不能），7+4=11（不能），7+2=9（能），7+6=13（不能），所以□里数字是2。
(4) 果园里有 $ m $ 棵杨树，杨树比柳树多 $ 15 $ 棵，两种树共有(
A.$ 2m + 15 $
B.$ 2m - 15 $
C.$ m - 15 $
D.$ m + 15 $
B
)棵。A.$ 2m + 15 $
B.$ 2m - 15 $
C.$ m - 15 $
D.$ m + 15 $
答案
B
解析
已知杨树有$m$棵，杨树比柳树多$15$棵，那么柳树的棵数为$(m - 15)$棵。
两种树共有的棵数为杨树的棵数与柳树的棵数之和，即$m+(m - 15)=2m - 15$（棵）。
两种树共有的棵数为杨树的棵数与柳树的棵数之和，即$m+(m - 15)=2m - 15$（棵）。
(5) 在直线上，$ - \frac{1}{3} $ 在 $ - \frac{1}{7} $ 的(
A.左
B.右
C.无法确定
A
)边。A.左
B.右
C.无法确定
答案
A
解析
在数轴上，数值从左到右逐渐增大，即左边的数小于右边的数，对于负数来说，绝对值大的数反而小，所以$- \frac{1}{3}$的绝对值大于$ - \frac{1}{7}$的绝对值，那么$- \frac{1}{3}$小于$ - \frac{1}{7}$，$ - \frac{1}{3}$在$ - \frac{1}{7}$的左边。
(6) 如图，$ A $ 点表示的数是(
A.等于 $ 1 $ 的假分数
B.真分数
C.能化成整数的假分数
D.带分数
B
)，$ B $ 点表示的数是(D
)，$ C $ 点表示的数是(C
)。A.等于 $ 1 $ 的假分数
B.真分数
C.能化成整数的假分数
D.带分数
答案
B
D
C
D
C
解析
由图可知，数轴上每小格表示的数值为1÷5=0.2。
那么A点表示的数值为0+0.2×2=0.4，
0.4是真分数，
所以A的选择为B；
B点表示的数值为0+0.2×8=2+0.4=2.4（题目中B在正中间的位置，即第五个小格，每个大格有5个小格，即2+0.4=2.4），
2.4是带分数，
所以B的选择为D；
C点表示的数值为0+0.2×10=3，
3是能化成整数的假分数（因为3=3/1），
所以C的选择为C。
那么A点表示的数值为0+0.2×2=0.4，
0.4是真分数，
所以A的选择为B；
B点表示的数值为0+0.2×8=2+0.4=2.4（题目中B在正中间的位置，即第五个小格，每个大格有5个小格，即2+0.4=2.4），
2.4是带分数，
所以B的选择为D；
C点表示的数值为0+0.2×10=3，
3是能化成整数的假分数（因为3=3/1），
所以C的选择为C。
(7) 一个数既是 $ 3 $ 的倍数又是 $ 5 $ 的倍数，这个数最小是(
A.$ 3 $
B.$ 5 $
C.$ 15 $
D.$ 30 $
C
)。A.$ 3 $
B.$ 5 $
C.$ 15 $
D.$ 30 $
答案
C
解析
既是3的倍数又是5的倍数的数是3和5的公倍数，3和5互质，最小公倍数是3×5=15。
(8) 一个数既是 $ 32 $ 的因数，又是 $ 16 $ 的倍数，这个数最大是(
A.$ 32 $
B.$ 16 $
C.$ 8 $
D.$ 48 $
A
)。A.$ 32 $
B.$ 16 $
C.$ 8 $
D.$ 48 $
答案
A
解析
首先找出32的所有因数：1、2、4、8、16、32；
再找出16的倍数（在32的因数范围内）：16、32；
其中最大的数为32，因此这个数最大是32。
再找出16的倍数（在32的因数范围内）：16、32；
其中最大的数为32，因此这个数最大是32。
(9) 如果 $ a = 2 × 3 × 5 $，$ b = 2 × 3 × 3 $，那么 $ a $ 和 $ b $ 的最大公因数和最小公倍数分别是(
A.$ 2 $、$ 30 $
B.$ 6 $、$ 30 $
C.$ 3 $、$ 90 $
D.$ 6 $、$ 90 $
D
)。A.$ 2 $、$ 30 $
B.$ 6 $、$ 30 $
C.$ 3 $、$ 90 $
D.$ 6 $、$ 90 $
答案
D
解析
已知$a=2×3×5$，$b = 2×3×3$。
最大公因数的求法是取两数分解质因数中相同部分，$a$和$b$相同的质因数是$2$和$3$，所以最大公因数为$2×3=6$。
最小公倍数的求法是把两数分解质因数，相同质因数取一个，不同质因数都取，$a$和$b$所有质因数为$2$、$3$、$3$、$5$，所以最小公倍数为$2×3×3×5 = 90$。
最大公因数的求法是取两数分解质因数中相同部分，$a$和$b$相同的质因数是$2$和$3$，所以最大公因数为$2×3=6$。
最小公倍数的求法是把两数分解质因数，相同质因数取一个，不同质因数都取，$a$和$b$所有质因数为$2$、$3$、$3$、$5$，所以最小公倍数为$2×3×3×5 = 90$。
(10) 下列各式中，与方程 $ 7x + 9 = 30 $ 的解相同的是(
A.$ 15 ÷ x = 3 $
B.$ 14x = 42 $
C.$ 14 - x = 8 $
B
)。A.$ 15 ÷ x = 3 $
B.$ 14x = 42 $
C.$ 14 - x = 8 $
答案
B
解析
首先解方程 $7x + 9 = 30$：
$7x = 30 - 9$
$7x = 21$
$x = 3$。
然后分别验证选项：
A. $15 ÷ x = 3$，代入$x=3$，$15 ÷ 3 = 5 ≠ 3$，排除；
B. $14x = 42$，代入$x=3$，$14 × 3 = 42$，符合；
C. $14 - x = 8$，代入$x=3$，$14 - 3 = 11 ≠ 8$，排除。
$7x = 30 - 9$
$7x = 21$
$x = 3$。
然后分别验证选项：
A. $15 ÷ x = 3$，代入$x=3$，$15 ÷ 3 = 5 ≠ 3$，排除；
B. $14x = 42$，代入$x=3$，$14 × 3 = 42$，符合；
C. $14 - x = 8$，代入$x=3$，$14 - 3 = 11 ≠ 8$，排除。
