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10. 如图,已知扇形AOB的圆心角为$120°$,半径OA为6 cm.
(1) 求扇形AOB的弧长;(结果保留$π$)
(2) 如图所示,若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥形无底纸帽,求这个纸帽的高OH.(结果保留根号)
(1) 求扇形AOB的弧长;(结果保留$π$)
(2) 如图所示,若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥形无底纸帽,求这个纸帽的高OH.(结果保留根号)
答案
10. (1) 扇形AOB的弧长=$\frac{120·π·6}{180}=4π$(cm).
(2) 设圆锥底面圆的半径为r cm,所以$2π r=4π$,解得r=2,在Rt△OHC中,HC=2,OC=6,所以$OH=\sqrt{OC^2-HC^2}=4\sqrt{2}$(cm).
(2) 设圆锥底面圆的半径为r cm,所以$2π r=4π$,解得r=2,在Rt△OHC中,HC=2,OC=6,所以$OH=\sqrt{OC^2-HC^2}=4\sqrt{2}$(cm).
解析
【分析】
（1）求扇形弧长可直接使用弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，已知圆心角$n=120°$，半径$R=6\mathrm{cm}$，代入公式即可计算出结果。
（2）将扇形卷成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先根据这个等量关系求出底面圆的半径$r$；圆锥的母线长等于原扇形的半径，圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，再利用勾股定理即可求出高$OH$。
【解析】
（1）根据弧长公式，扇形AOB的弧长为：
$l=\frac{120·π·6}{180}=4π(\mathrm{cm})$
（2）设圆锥底面圆的半径为$r\mathrm{cm}$，
∵扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，
∴$2π r=4π$，
解得$r=2$。
在$\mathrm{Rt}△ OHC$中，$HC=r=2\mathrm{cm}$，母线$OC=6\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OC^2-HC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}(\mathrm{cm})$
【答案】
（1）$4π\mathrm{cm}$；（2）$4\sqrt{2}\mathrm{cm}$
【知识点】
弧长计算，圆锥展开图性质，勾股定理
【点评】
本题是扇形与圆锥结合的基础计算题，解题的关键是明确扇形卷成圆锥时弧长与底面周长的等量关系，结合勾股定理即可求解，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
（1）求扇形弧长可直接使用弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，已知圆心角$n=120°$，半径$R=6\mathrm{cm}$，代入公式即可计算出结果。
（2）将扇形卷成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先根据这个等量关系求出底面圆的半径$r$；圆锥的母线长等于原扇形的半径，圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，再利用勾股定理即可求出高$OH$。
【解析】
（1）根据弧长公式，扇形AOB的弧长为：
$l=\frac{120·π·6}{180}=4π(\mathrm{cm})$
（2）设圆锥底面圆的半径为$r\mathrm{cm}$，
∵扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，
∴$2π r=4π$，
解得$r=2$。
在$\mathrm{Rt}△ OHC$中，$HC=r=2\mathrm{cm}$，母线$OC=6\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OC^2-HC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}(\mathrm{cm})$
【答案】
（1）$4π\mathrm{cm}$；（2）$4\sqrt{2}\mathrm{cm}$
【知识点】
弧长计算，圆锥展开图性质，勾股定理
【点评】
本题是扇形与圆锥结合的基础计算题，解题的关键是明确扇形卷成圆锥时弧长与底面周长的等量关系，结合勾股定理即可求解，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
11. 某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1:2.制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC.将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合.
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小.
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5 cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积.（结果保留π）
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小.
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5 cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积.（结果保留π）
答案
11. (1) 设$∠BAC=n°$ 由题意得 $π· DE=\frac{nπ· AD}{180},AD=2DE,\therefore n=90$,$\therefore ∠BAC=90°$
(2) $\because AD=2DE=10$(cm),$\therefore S_{阴}=\frac{1}{2}· BC· AD - S_{扇形AEF}=\frac{1}{2}×20×10-\frac{90π·10^2}{360}=(100-25π)\mathrm{cm}^2$.
(2) $\because AD=2DE=10$(cm),$\therefore S_{阴}=\frac{1}{2}· BC· AD - S_{扇形AEF}=\frac{1}{2}×20×10-\frac{90π·10^2}{360}=(100-25π)\mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
（1）求顶角$∠ BAC$的大小可利用圆锥侧面展开图的性质：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。设$∠ BAC=n°$，扇形半径为圆锥母线长$AD$，结合已知$ED$与$AD$的比例关系，代入弧长公式即可求出$n$的值。
（2）阴影部分面积为等腰$△ ABC$的面积减去扇形$AEF$的面积。先根据$ED$的长度求出$AD$、$BC$的长度，再分别计算三角形和扇形的面积，二者作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
（1）设$∠ BAC=n°$。
∵ 扇形$AEF$围成圆锥时，弧$EF$的长度等于圆锥底面圆的周长，
∴ $π · DE=\frac{nπ · AD}{180}$。
由题意得$AD=2DE$，代入上式得：
$π · DE=\frac{nπ · 2DE}{180}$，
约去$π · DE$后解得$n=90$，即$∠ BAC=90°$。
（2）已知$ED=5\mathrm{cm}$，则$AD=2DE=2×5=10\mathrm{cm}$。
∵ $AB=AC$，$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$，
∴ $△ ABC$为等腰直角三角形，斜边上的高$AD=\frac{1}{2}BC$，即$BC=2AD=20\mathrm{cm}$。
阴影部分面积$S_{阴}=S_{△ ABC}-S_{扇形AEF}$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×20×10=100\mathrm{cm}^2$，
$S_{扇形AEF}=\frac{90π · AD^2}{360}=\frac{90π×10^2}{360}=25π\mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{阴}=100-25π (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) $∠ BAC=90°$
(2) $(100-25π)\mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆锥的计算、扇形面积计算、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题考查圆锥与侧面展开图的对应关系，解题核心是牢记“扇形弧长等于圆锥底面周长”这一对应关系，同时熟练掌握扇形、三角形面积的计算方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
（1）求顶角$∠ BAC$的大小可利用圆锥侧面展开图的性质：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。设$∠ BAC=n°$，扇形半径为圆锥母线长$AD$，结合已知$ED$与$AD$的比例关系，代入弧长公式即可求出$n$的值。
（2）阴影部分面积为等腰$△ ABC$的面积减去扇形$AEF$的面积。先根据$ED$的长度求出$AD$、$BC$的长度，再分别计算三角形和扇形的面积，二者作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
（1）设$∠ BAC=n°$。
∵ 扇形$AEF$围成圆锥时，弧$EF$的长度等于圆锥底面圆的周长，
∴ $π · DE=\frac{nπ · AD}{180}$。
由题意得$AD=2DE$，代入上式得：
$π · DE=\frac{nπ · 2DE}{180}$，
约去$π · DE$后解得$n=90$，即$∠ BAC=90°$。
（2）已知$ED=5\mathrm{cm}$，则$AD=2DE=2×5=10\mathrm{cm}$。
∵ $AB=AC$，$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$，
∴ $△ ABC$为等腰直角三角形，斜边上的高$AD=\frac{1}{2}BC$，即$BC=2AD=20\mathrm{cm}$。
阴影部分面积$S_{阴}=S_{△ ABC}-S_{扇形AEF}$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×20×10=100\mathrm{cm}^2$，
$S_{扇形AEF}=\frac{90π · AD^2}{360}=\frac{90π×10^2}{360}=25π\mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{阴}=100-25π (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) $∠ BAC=90°$
(2) $(100-25π)\mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆锥的计算、扇形面积计算、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题考查圆锥与侧面展开图的对应关系，解题核心是牢记“扇形弧长等于圆锥底面周长”这一对应关系，同时熟练掌握扇形、三角形面积的计算方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
12. 如图所示，已知圆锥底面半径$r=10\ \mathrm{cm}$，母线长为$40\ \mathrm{cm}$.
（1）求它的侧面展开图的圆心角和表面积.
（2）若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面行到母线SA的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？为什么？
（1）求它的侧面展开图的圆心角和表面积.
（2）若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面行到母线SA的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？为什么？
答案
12. (1) $\frac{nπ×40}{180}=2π×10$,解得n=90.圆锥侧面展开图的表面积$=π×10×40=400π(\mathrm{cm}^2)$.
(2) 如图,由圆锥的侧面展开图可见,甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B所走的最短路线是线段AB的长.在Rt△ASB中,SA=40,SB=20,$\therefore AB=20\sqrt{5}$(cm).$\therefore$ 甲虫走的最短路线的长度是$20\sqrt{5}$ cm.
解析
【分析】
（1）求侧面展开图的圆心角时，利用“圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长”这一等量关系列方程求解即可；侧面展开图的表面积即圆锥侧面积，可直接用侧面积公式$π rl$计算，其中$r$为底面半径，$l$为母线长。
（2）圆锥侧面是曲面，求曲面上两点的最短路径，需先将侧面展开为平面图形，根据“两点之间线段最短”，线段$AB$的长度就是最短路线长；由（1）可知展开图的圆心角为$90°$，可得$△ ASB$为直角三角形，利用勾股定理即可求出$AB$的长度。
【解析】
（1）设圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$。
因为圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，因此列方程：
$\frac{nπ × 40}{180}=2π × 10$
解得$n=90$，即侧面展开图的圆心角为$90°$。
侧面展开图的表面积即圆锥侧面积，代入侧面积公式得：
$S_{\mathrm{侧}}=π r l=π × 10 × 40=400π\ (\mathrm{cm}^2)$
（2）甲虫走的最短路线长度为$20\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，理由如下：
将圆锥侧面沿母线$SA$展开，得到圆心角为$90°$的扇形$SAA'$，根据“两点之间线段最短”，线段$AB$的长就是甲虫沿侧面从$A$到$B$的最短路线长。
因为$B$是母线$SA'$的中点，$SA=SA'=40\ \mathrm{cm}$，所以$SB=\frac{1}{2}SA'=20\ \mathrm{cm}$。
又因为$∠ ASA'=90°$，即$△ ASB$是直角三角形，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{SA^2+SB^2}=\sqrt{40^2+20^2}=\sqrt{2000}=20\sqrt{5}\ (\mathrm{cm})$
【答案】
(1) 侧面展开图的圆心角为$90°$，表面积为$400π\ \mathrm{cm}^2$；
(2) 最短路线长度为$20\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，理由见解析。
【知识点】
圆锥侧面展开图计算，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题将圆锥的计算与最短路径问题结合，核心是掌握圆锥与侧面展开扇形的对应数量关系，理解“曲面问题平面化”的转化思想，能够熟练运用勾股定理求解线段长度。
【难度系数】
0.7
（1）求侧面展开图的圆心角时，利用“圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长”这一等量关系列方程求解即可；侧面展开图的表面积即圆锥侧面积，可直接用侧面积公式$π rl$计算，其中$r$为底面半径，$l$为母线长。
（2）圆锥侧面是曲面，求曲面上两点的最短路径，需先将侧面展开为平面图形，根据“两点之间线段最短”，线段$AB$的长度就是最短路线长；由（1）可知展开图的圆心角为$90°$，可得$△ ASB$为直角三角形，利用勾股定理即可求出$AB$的长度。
【解析】
（1）设圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$。
因为圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，因此列方程：
$\frac{nπ × 40}{180}=2π × 10$
解得$n=90$，即侧面展开图的圆心角为$90°$。
侧面展开图的表面积即圆锥侧面积，代入侧面积公式得：
$S_{\mathrm{侧}}=π r l=π × 10 × 40=400π\ (\mathrm{cm}^2)$
（2）甲虫走的最短路线长度为$20\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，理由如下：
将圆锥侧面沿母线$SA$展开，得到圆心角为$90°$的扇形$SAA'$，根据“两点之间线段最短”，线段$AB$的长就是甲虫沿侧面从$A$到$B$的最短路线长。
因为$B$是母线$SA'$的中点，$SA=SA'=40\ \mathrm{cm}$，所以$SB=\frac{1}{2}SA'=20\ \mathrm{cm}$。
又因为$∠ ASA'=90°$，即$△ ASB$是直角三角形，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{SA^2+SB^2}=\sqrt{40^2+20^2}=\sqrt{2000}=20\sqrt{5}\ (\mathrm{cm})$
【答案】
(1) 侧面展开图的圆心角为$90°$，表面积为$400π\ \mathrm{cm}^2$；
(2) 最短路线长度为$20\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，理由见解析。
【知识点】
圆锥侧面展开图计算，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题将圆锥的计算与最短路径问题结合，核心是掌握圆锥与侧面展开扇形的对应数量关系，理解“曲面问题平面化”的转化思想，能够熟练运用勾股定理求解线段长度。
【难度系数】
0.7
