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13. 小林同学不仅是数学爱好者，还喜欢运用数学知识对日常生活中的事物进行分析，下面是他对如何制作圆锥形漏斗的分析. 小林要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为20 cm，高为$40\sqrt{2}$ cm的锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计）.
（1）求这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角的度数.
（2）如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？（参考数据：$\sqrt{3}\approx1.7$）
（1）求这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角的度数.
（2）如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？（参考数据：$\sqrt{3}\approx1.7$）
答案
13. (1) 设这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为n,$\because$ 底面半径为20 cm,高为$40\sqrt{2}$ cm的锥形漏斗,$\therefore$ 圆锥的母线长为$\sqrt{20^2+(40\sqrt{2})^2}=60$ cm,$\therefore 2π·20=\frac{nπ×60}{180}$,解得:$n=120°$,即这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为120°；
(2) 如图2,过点O作$OH⊥ AD$,$\because$ 四边形ABCD是矩形,由(1)知$OM=ON=60$ cm,$\therefore OM=OH=AB=60$ cm. 由(1)可得$∠MON=120°$,在Rt△OBM中,$\because ∠BOM=30°$,$\therefore BM=30$ cm,$\therefore OB=\sqrt{3}BM=30\sqrt{3}$ cm,$\therefore BC=2OB=60\sqrt{3}$ cm,$\therefore$ 方案一所需要的矩形铁皮的面积$=60×60\sqrt{3}=3600\sqrt{3}\approx6120(\mathrm{cm}^2)$;如图3,$OM=ON=EF=60$,$∠MON=120°$,在Rt△FOM中,$\because ∠FOM=60°$,$\therefore OF=30$ cm,$\therefore FG=OF+OG=30+60=90$(cm),$\therefore$ 方案二所需的矩形铁皮的面积$=90×60=5400(\mathrm{cm}^2)$,$\because 6120＞5400$,$\therefore$ 方案二所用的矩形铁皮面积较少.
解析
【分析】
（1）求圆锥侧面展开图的圆心角，首先需要用勾股定理求出圆锥的母线长，再根据“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”这一相等关系列方程，即可求解圆心角度数。
（2）要比较两种方案的矩形面积，需分别计算两个矩形的长和宽：方案一的矩形宽等于圆锥母线长，结合圆心角和30°直角三角形的性质求出矩形的长，即可计算面积；方案二的矩形宽同样等于母线长，结合圆心角和60°直角三角形的性质求出矩形的长，计算面积后对比两个面积的大小，即可判断哪种方案更省材料。
【解析】
(1) 设这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为$n°$，
已知圆锥底面半径为20 cm，高为$40\sqrt{2}$ cm，根据勾股定理，圆锥的母线长为：
$\sqrt{20^2+(40\sqrt{2})^2}=\sqrt{400+3200}=60\ \mathrm{cm}$
圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，因此可得：
$2π×20=\frac{nπ×60}{180}$
解得$n=120$，即侧面展开图的圆心角为$120°$。
(2) 计算方案一的矩形面积：
如图2，过点$O$作$OH⊥ AD$，
因为四边形$ABCD$是矩形，由(1)知扇形半径$OM=ON=60\ \mathrm{cm}$，所以矩形的宽$AB=OH=OM=60\ \mathrm{cm}$。
已知$∠ MON=120°$，因此$∠ BOM=∠ CON=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ OBM$中，$∠ BOM=30°$，$OM=60\ \mathrm{cm}$，所以$BM=\frac{1}{2}OM=30\ \mathrm{cm}$，
$OB=\sqrt{OM^2-BM^2}=30\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
因此矩形的长$BC=2OB=60\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
方案一矩形面积：$S_1=60×60\sqrt{3}=3600\sqrt{3}\approx6120\ \mathrm{cm}^2$。
计算方案二的矩形面积：
如图3，扇形半径$OM=OG=60\ \mathrm{cm}$，矩形的宽$EF=OM=60\ \mathrm{cm}$，
已知$∠ MON=120°$，因此$∠ FOM=180°-120°=60°$，
在$\mathrm{Rt}△ FOM$中，$∠ FMO=30°$，所以$OF=\frac{1}{2}OM=30\ \mathrm{cm}$，
因此矩形的长$FG=OF+OG=30+60=90\ \mathrm{cm}$，
方案二矩形面积：$S_2=60×90=5400\ \mathrm{cm}^2$。
因为$6120＞5400$，所以方案二所用的矩形铁皮面积较少。
【答案】
(1) 这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为$120°$；
(2) 方案二所用的矩形铁皮面积较少。
【知识点】
圆锥的计算，弧长公式，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际生产场景，考查了圆锥与侧面展开扇形的对应关系、弧长公式、特殊直角三角形的性质以及矩形面积的计算，解题的关键是找准圆锥参数和展开图参数的对应关系，结合图形角度特征分析矩形的边长，能有效锻炼几何知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
（1）求圆锥侧面展开图的圆心角，首先需要用勾股定理求出圆锥的母线长，再根据“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”这一相等关系列方程，即可求解圆心角度数。
（2）要比较两种方案的矩形面积，需分别计算两个矩形的长和宽：方案一的矩形宽等于圆锥母线长，结合圆心角和30°直角三角形的性质求出矩形的长，即可计算面积；方案二的矩形宽同样等于母线长，结合圆心角和60°直角三角形的性质求出矩形的长，计算面积后对比两个面积的大小，即可判断哪种方案更省材料。
【解析】
(1) 设这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为$n°$，
已知圆锥底面半径为20 cm，高为$40\sqrt{2}$ cm，根据勾股定理，圆锥的母线长为：
$\sqrt{20^2+(40\sqrt{2})^2}=\sqrt{400+3200}=60\ \mathrm{cm}$
圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，因此可得：
$2π×20=\frac{nπ×60}{180}$
解得$n=120$，即侧面展开图的圆心角为$120°$。
(2) 计算方案一的矩形面积：
如图2，过点$O$作$OH⊥ AD$，
因为四边形$ABCD$是矩形，由(1)知扇形半径$OM=ON=60\ \mathrm{cm}$，所以矩形的宽$AB=OH=OM=60\ \mathrm{cm}$。
已知$∠ MON=120°$，因此$∠ BOM=∠ CON=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ OBM$中，$∠ BOM=30°$，$OM=60\ \mathrm{cm}$，所以$BM=\frac{1}{2}OM=30\ \mathrm{cm}$，
$OB=\sqrt{OM^2-BM^2}=30\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
因此矩形的长$BC=2OB=60\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
方案一矩形面积：$S_1=60×60\sqrt{3}=3600\sqrt{3}\approx6120\ \mathrm{cm}^2$。
计算方案二的矩形面积：
如图3，扇形半径$OM=OG=60\ \mathrm{cm}$，矩形的宽$EF=OM=60\ \mathrm{cm}$，
已知$∠ MON=120°$，因此$∠ FOM=180°-120°=60°$，
在$\mathrm{Rt}△ FOM$中，$∠ FMO=30°$，所以$OF=\frac{1}{2}OM=30\ \mathrm{cm}$，
因此矩形的长$FG=OF+OG=30+60=90\ \mathrm{cm}$，
方案二矩形面积：$S_2=60×90=5400\ \mathrm{cm}^2$。
因为$6120＞5400$，所以方案二所用的矩形铁皮面积较少。
【答案】
(1) 这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为$120°$；
(2) 方案二所用的矩形铁皮面积较少。
【知识点】
圆锥的计算，弧长公式，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际生产场景，考查了圆锥与侧面展开扇形的对应关系、弧长公式、特殊直角三角形的性质以及矩形面积的计算，解题的关键是找准圆锥参数和展开图参数的对应关系，结合图形角度特征分析矩形的边长，能有效锻炼几何知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
14.【主题】利用圆形纸片制作立体图形
【素材】图1中半径为6 cm的圆形纸片(⊙O)若干，剪刀，胶水；
【实践操作】活动一:如图2，将圆形纸片沿直线AB折叠，使点O落在圆上，记作点O'，连接OA，OB，剪下扇形OAB(圆心角小于180°)；
活动二:将剪下的扇形OAB，粘贴成如图3所示的圆锥(接缝处忽略不计)；
活动三:将两个相同的圆锥粘贴成如图4所示的立体图形；
【实践探究】
（1）计算AB的长和扇形OAB的面积；
（2）求圆锥的高；
（3）制作20个图4这样的立体图形，最少需要准备多少个半径为6 cm的圆形纸片？
【素材】图1中半径为6 cm的圆形纸片(⊙O)若干，剪刀，胶水；
【实践操作】活动一:如图2，将圆形纸片沿直线AB折叠，使点O落在圆上，记作点O'，连接OA，OB，剪下扇形OAB(圆心角小于180°)；
活动二:将剪下的扇形OAB，粘贴成如图3所示的圆锥(接缝处忽略不计)；
活动三:将两个相同的圆锥粘贴成如图4所示的立体图形；
【实践探究】
（1）计算AB的长和扇形OAB的面积；
（2）求圆锥的高；
（3）制作20个图4这样的立体图形，最少需要准备多少个半径为6 cm的圆形纸片？
答案
14. (1) 如图2,$OO'$和AB交于点D,由折叠可知:AB垂直平分$OO'$,$OB=O'B$,$\therefore ∠ODB=90°$.$\because OB=OO'$,$\therefore OB=OO'=O'B$,$\therefore △OBO'$为等边三角形,$\therefore ∠BOO'=60°$,$\therefore ∠ABO=30°$,$\therefore OD=\frac{1}{2}OB=3$ cm,$BD=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$(cm),$\therefore AB=2BD=6\sqrt{3}$ cm. $\because OA=OB$,$∠ODA=90°$,$\therefore ∠AOB=2∠BOO'=120°$,$\therefore$ 扇形OAB的面积为:$\frac{120π×6^2}{360}=12π(\mathrm{cm}^2)$,答:AB的长为$6\sqrt{3}$ cm,扇形OAB的面积为$12π \mathrm{cm}^2$；
(2) 如图3,作圆锥高OH,连接$O'H$,设圆锥底面圆的半径为r cm,$R=OA=6$ cm.$\because 2π r=\frac{120π×6}{180}$,$\therefore r=2$,在Rt△OHO'中,$OH=\sqrt{OO'^2-O'H^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$(cm),$\therefore$ 圆锥的高为$4\sqrt{2}$ cm；
(3) 每个圆形纸片可制作120°的扇形纸片:$360°÷120°=3$(个),20个这样的立体图形需要120°的扇形:$20×2=40$(个),$40÷3=13\frac{1}{3}$(个),$\therefore$ 最少需要准备14个半径为6 cm的圆形纸片.
解析
【分析】
（1）求解AB长和扇形OAB面积：首先根据折叠性质可得AB垂直平分OO'，结合圆的半径相等可推出△OBO'是等边三角形，得到∠BOO'=60°，进而求出圆心角∠AOB的度数；再利用勾股定理求出BD的长，即可得到AB的长度，最后代入扇形面积公式计算扇形面积。
（2）求解圆锥的高：圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，据此先求出圆锥底面圆的半径，再结合圆锥母线长、底面半径、高构成直角三角形，用勾股定理计算圆锥的高。
（3）求解所需圆形纸片数量：先计算1个圆形纸片可剪出的圆心角120°的扇形数量，再算出20个立体图形需要的扇形总数量，用总数量除以每个圆可剪出的扇形数，结果采用进一法取整即可。
【解析】
(1) 如图2，$OO'$和AB交于点D，由折叠可知：AB垂直平分$OO'$，$OB=O'B$，$\therefore ∠ODB=90°$。
$\because OB=OO'$（均为圆的半径），$\therefore OB=OO'=O'B$，$\therefore △OBO'$为等边三角形，$\therefore ∠BOO'=60°$，$\therefore ∠ABO=30°$，
$\therefore OD=\frac{1}{2}OB=3$ cm，$BD=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$(cm)，$\therefore AB=2BD=6\sqrt{3}$ cm。
$\because OA=OB$，$∠ODA=90°$，$\therefore ∠AOB=2∠BOO'=120°$，
$\therefore$ 扇形OAB的面积为：$\frac{120π×6^2}{360}=12π(\mathrm{cm}^2)$。
(2) 如图3，作圆锥高OH，连接$O'H$，设圆锥底面圆的半径为r cm，圆锥母线长$R=OA=6$ cm。
$\because$ 圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，即$2π r=\frac{120π×6}{180}$，解得$r=2$，
在Rt△OHO'中，$OH=\sqrt{OO'^2-O'H^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$(cm)。
(3) 每个圆形纸片可制作圆心角为120°的扇形纸片数量为：$360°÷120°=3$(个)，
20个图4的立体图形需要的扇形数量为：$20×2=40$(个)，
$40÷3=13\frac{1}{3}$(个)，实际制作需保证材料充足，故最少需要14个圆形纸片。
【答案】
(1) AB的长为$6\sqrt{3}$ cm，扇形OAB的面积为$12π \mathrm{cm}^2$；
(2) 圆锥的高为$4\sqrt{2}$ cm；
(3) 最少需要准备14个半径为6 cm的圆形纸片。
【知识点】
折叠的性质，扇形相关计算，圆锥的计算
【点评】
本题结合手工实践场景，将几何性质与实际应用相结合，既考查了折叠、等边三角形判定、勾股定理等基础几何知识，也考查了扇形弧长、面积公式及圆锥侧面展开图的对应关系，解题时需注意实际制作类问题取整时要采用进一法，避免出现用料不足的错误。
【难度系数】
0.65
（1）求解AB长和扇形OAB面积：首先根据折叠性质可得AB垂直平分OO'，结合圆的半径相等可推出△OBO'是等边三角形，得到∠BOO'=60°，进而求出圆心角∠AOB的度数；再利用勾股定理求出BD的长，即可得到AB的长度，最后代入扇形面积公式计算扇形面积。
（2）求解圆锥的高：圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，据此先求出圆锥底面圆的半径，再结合圆锥母线长、底面半径、高构成直角三角形，用勾股定理计算圆锥的高。
（3）求解所需圆形纸片数量：先计算1个圆形纸片可剪出的圆心角120°的扇形数量，再算出20个立体图形需要的扇形总数量，用总数量除以每个圆可剪出的扇形数，结果采用进一法取整即可。
【解析】
(1) 如图2，$OO'$和AB交于点D，由折叠可知：AB垂直平分$OO'$，$OB=O'B$，$\therefore ∠ODB=90°$。
$\because OB=OO'$（均为圆的半径），$\therefore OB=OO'=O'B$，$\therefore △OBO'$为等边三角形，$\therefore ∠BOO'=60°$，$\therefore ∠ABO=30°$，
$\therefore OD=\frac{1}{2}OB=3$ cm，$BD=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$(cm)，$\therefore AB=2BD=6\sqrt{3}$ cm。
$\because OA=OB$，$∠ODA=90°$，$\therefore ∠AOB=2∠BOO'=120°$，
$\therefore$ 扇形OAB的面积为：$\frac{120π×6^2}{360}=12π(\mathrm{cm}^2)$。
(2) 如图3，作圆锥高OH，连接$O'H$，设圆锥底面圆的半径为r cm，圆锥母线长$R=OA=6$ cm。
$\because$ 圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，即$2π r=\frac{120π×6}{180}$，解得$r=2$，
在Rt△OHO'中，$OH=\sqrt{OO'^2-O'H^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$(cm)。
(3) 每个圆形纸片可制作圆心角为120°的扇形纸片数量为：$360°÷120°=3$(个)，
20个图4的立体图形需要的扇形数量为：$20×2=40$(个)，
$40÷3=13\frac{1}{3}$(个)，实际制作需保证材料充足，故最少需要14个圆形纸片。
【答案】
(1) AB的长为$6\sqrt{3}$ cm，扇形OAB的面积为$12π \mathrm{cm}^2$；
(2) 圆锥的高为$4\sqrt{2}$ cm；
(3) 最少需要准备14个半径为6 cm的圆形纸片。
【知识点】
折叠的性质，扇形相关计算，圆锥的计算
【点评】
本题结合手工实践场景，将几何性质与实际应用相结合，既考查了折叠、等边三角形判定、勾股定理等基础几何知识，也考查了扇形弧长、面积公式及圆锥侧面展开图的对应关系，解题时需注意实际制作类问题取整时要采用进一法，避免出现用料不足的错误。
【难度系数】
0.65
