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1.矩形的两条对角线相交所成的锐角为$60°$，这个矩形相邻两条边的比是（
A.$1:1$
B.$1:2$
C.$2:3$
D.$1:\sqrt{3}$
D
）A.$1:1$
B.$1:2$
C.$2:3$
D.$1:\sqrt{3}$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先回忆矩形的对角线性质：矩形的对角线相等且互相平分，因此两条对角线相交后分成的4条线段长度相等。已知对角线相交所成锐角为60°，由此可得到含60°角的等腰三角形是等边三角形，从而得到矩形短边与对角线的长度关系，再结合勾股定理求出矩形长边的长度，最终计算出相邻两边的比值即可。
【解析】
设矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O。
根据矩形的性质可知：矩形的对角线相等且互相平分，因此$OA=OB=OC=OD$。
已知两条对角线相交所成的锐角为$60°$，即$∠ AOB=60°$，因此$△ AOB$是等边三角形。
设矩形的短边$AB=x$，则$OA=OB=AB=x$，因此对角线$AC=2OA=2x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得长边$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}x$。
因此矩形相邻两条边的比为$AB:BC=x:\sqrt{3}x=1:\sqrt{3}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.矩形的性质 2.等边三角形的判定与性质 3.勾股定理
【点评】
本题主要考察矩形对角线性质的应用，结合等边三角形的判定和勾股定理即可求出边长的比值，解题的关键是从对角线的夹角出发，得到边的等量关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆矩形的对角线性质：矩形的对角线相等且互相平分，因此两条对角线相交后分成的4条线段长度相等。已知对角线相交所成锐角为60°，由此可得到含60°角的等腰三角形是等边三角形，从而得到矩形短边与对角线的长度关系，再结合勾股定理求出矩形长边的长度，最终计算出相邻两边的比值即可。
【解析】
设矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O。
根据矩形的性质可知：矩形的对角线相等且互相平分，因此$OA=OB=OC=OD$。
已知两条对角线相交所成的锐角为$60°$，即$∠ AOB=60°$，因此$△ AOB$是等边三角形。
设矩形的短边$AB=x$，则$OA=OB=AB=x$，因此对角线$AC=2OA=2x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得长边$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}x$。
因此矩形相邻两条边的比为$AB:BC=x:\sqrt{3}x=1:\sqrt{3}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.矩形的性质 2.等边三角形的判定与性质 3.勾股定理
【点评】
本题主要考察矩形对角线性质的应用，结合等边三角形的判定和勾股定理即可求出边长的比值，解题的关键是从对角线的夹角出发，得到边的等量关系。
【难度系数】
0.7
2.边长为2的正方形的一个顶点到这个正方形各边中点的距离之和是 （
A.$2\sqrt{5}$
B.$2+\sqrt{3}$
C.$2+2\sqrt{5}$
D.$2+\sqrt{5}$
C
）A.$2\sqrt{5}$
B.$2+\sqrt{3}$
C.$2+2\sqrt{5}$
D.$2+\sqrt{5}$
答案
2.C
解析
【分析】
我们可以先画出边长为2的正方形，任选一个顶点，将问题转化为求该点到4个边中点的距离之和。首先找到相邻两边的中点，该顶点到这两个中点的距离就是边长的一半，可直接求出；再找到另外两条对边的中点，连接该顶点与这两个中点，就得到两个直角边分别为2和1的直角三角形，利用勾股定理就能算出这两段距离，最后把四个距离相加即可。
【解析】
设边长为2的正方形四个顶点坐标分别为$(0,0)$、$(2,0)$、$(2,2)$、$(0,2)$，选取顶点$(0,0)$计算到各边中点的距离：
1. 边$(0,0)-(2,0)$的中点为$(1,0)$，距离为$\sqrt{(1-0)^2+(0-0)^2}=1$；
2. 边$(0,0)-(0,2)$的中点为$(0,1)$，距离为$\sqrt{(0-0)^2+(1-0)^2}=1$；
3. 边$(2,0)-(2,2)$的中点为$(2,1)$，距离为$\sqrt{(2-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$；
4. 边$(0,2)-(2,2)$的中点为$(1,2)$，距离为$\sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$。
将四个距离相加：$1+1+\sqrt{5}+\sqrt{5}=2+2\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是明确正方形各边中点的位置，区分顶点到相邻边中点和对边中点的距离计算方法，熟练运用勾股定理求解斜边长即可得分，计算时注意不要漏加距离。
【难度系数】
0.7
我们可以先画出边长为2的正方形，任选一个顶点，将问题转化为求该点到4个边中点的距离之和。首先找到相邻两边的中点，该顶点到这两个中点的距离就是边长的一半，可直接求出；再找到另外两条对边的中点，连接该顶点与这两个中点，就得到两个直角边分别为2和1的直角三角形，利用勾股定理就能算出这两段距离，最后把四个距离相加即可。
【解析】
设边长为2的正方形四个顶点坐标分别为$(0,0)$、$(2,0)$、$(2,2)$、$(0,2)$，选取顶点$(0,0)$计算到各边中点的距离：
1. 边$(0,0)-(2,0)$的中点为$(1,0)$，距离为$\sqrt{(1-0)^2+(0-0)^2}=1$；
2. 边$(0,0)-(0,2)$的中点为$(0,1)$，距离为$\sqrt{(0-0)^2+(1-0)^2}=1$；
3. 边$(2,0)-(2,2)$的中点为$(2,1)$，距离为$\sqrt{(2-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$；
4. 边$(0,2)-(2,2)$的中点为$(1,2)$，距离为$\sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$。
将四个距离相加：$1+1+\sqrt{5}+\sqrt{5}=2+2\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是明确正方形各边中点的位置，区分顶点到相邻边中点和对边中点的距离计算方法，熟练运用勾股定理求解斜边长即可得分，计算时注意不要漏加距离。
【难度系数】
0.7
3.在平面内，一个菱形绕着它的中心旋转，若它要和原来的图形重合，那么至少要旋转的角度为 （
A.$45°$
B.$90°$
C.$180°$
D.$270°$
C
）A.$45°$
B.$90°$
C.$180°$
D.$270°$
答案
3.C
解析
【分析】
解题需先明确两个核心要点：一是旋转后与原图形重合的要求，即旋转后所有对应点、对应边、对应角需完全重合；二是题干仅提及菱形，未说明是特殊的正方形，需按普通菱形的性质分析。首先回忆旋转对称图形最小旋转角的定义：能让图形与自身重合的、小于360°的最小正角。再结合菱形的结构特征，逐一验证各选项的旋转角度是否满足重合要求，同时排除非最小的可行角度即可。
【解析】
解：菱形的旋转中心为其两条对角线的交点，也就是菱形的中心对称点，我们逐一分析选项：
1. 旋转45°时，菱形的边无法与原图形的边对应重合，不符合要求，排除A选项；
2. 旋转90°时，只有内角为90°的特殊菱形（正方形）才能与原图重合，普通菱形相邻内角不为90°，旋转后邻边无法与原边重合，不符合要求，排除B选项；
3. 旋转180°时，菱形的每个顶点都会转到其对角顶点的位置，所有对应边、对应角均完全重合，且任意菱形都满足该规律，符合要求；
4. 旋转270°时虽然也能和原图形重合，但不是最小的旋转角度，排除D选项。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；旋转对称图形；中心对称的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是混淆普通菱形与正方形的性质，误将正方形的最小旋转角90°当作所有菱形的最小旋转角，解题时要注意，题干未说明是特殊菱形时，需按一般图形的性质分析。
【难度系数】
0.7
解题需先明确两个核心要点：一是旋转后与原图形重合的要求，即旋转后所有对应点、对应边、对应角需完全重合；二是题干仅提及菱形，未说明是特殊的正方形，需按普通菱形的性质分析。首先回忆旋转对称图形最小旋转角的定义：能让图形与自身重合的、小于360°的最小正角。再结合菱形的结构特征，逐一验证各选项的旋转角度是否满足重合要求，同时排除非最小的可行角度即可。
【解析】
解：菱形的旋转中心为其两条对角线的交点，也就是菱形的中心对称点，我们逐一分析选项：
1. 旋转45°时，菱形的边无法与原图形的边对应重合，不符合要求，排除A选项；
2. 旋转90°时，只有内角为90°的特殊菱形（正方形）才能与原图重合，普通菱形相邻内角不为90°，旋转后邻边无法与原边重合，不符合要求，排除B选项；
3. 旋转180°时，菱形的每个顶点都会转到其对角顶点的位置，所有对应边、对应角均完全重合，且任意菱形都满足该规律，符合要求；
4. 旋转270°时虽然也能和原图形重合，但不是最小的旋转角度，排除D选项。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；旋转对称图形；中心对称的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是混淆普通菱形与正方形的性质，误将正方形的最小旋转角90°当作所有菱形的最小旋转角，解题时要注意，题干未说明是特殊菱形时，需按一般图形的性质分析。
【难度系数】
0.7
4. 如图1,在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E,使$CE=AC$,连接AE交CD于点F,则$∠AFC$的度数为 （
A.$112.5°$
B.$120°$
C.$135°$
D.$150°$
A
）A.$112.5°$
B.$120°$
C.$135°$
D.$150°$
答案
4.A
解析
【分析】
要计算∠AFC的度数，我们可以结合已知条件逐步推导：首先回忆正方形的性质，正方形对角线平分内角，可得对角线与边的夹角为45°；再根据CE=AC可知△ACE为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角和三角形外角的性质，可先求出∠E的度数；最后再次利用三角形外角的性质，即可求出∠AFC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线
∴∠ACB=45°，∠BCD=90°，则∠DCE=180°-90°=90°
∵CE=AC
∴△ACE是等腰三角形，∠CAE=∠E
∵∠ACB是△ACE的外角
∴∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E
∴∠E=45°÷2=22.5°
又
∵∠AFC是△EFC的外角
∴∠AFC=∠DCE+∠E=90°+22.5°=112.5°
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，综合考察了常见几何图形的基础性质，解题的关键是梳理清楚各角度之间的等量关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要计算∠AFC的度数，我们可以结合已知条件逐步推导：首先回忆正方形的性质，正方形对角线平分内角，可得对角线与边的夹角为45°；再根据CE=AC可知△ACE为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角和三角形外角的性质，可先求出∠E的度数；最后再次利用三角形外角的性质，即可求出∠AFC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线
∴∠ACB=45°，∠BCD=90°，则∠DCE=180°-90°=90°
∵CE=AC
∴△ACE是等腰三角形，∠CAE=∠E
∵∠ACB是△ACE的外角
∴∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E
∴∠E=45°÷2=22.5°
又
∵∠AFC是△EFC的外角
∴∠AFC=∠DCE+∠E=90°+22.5°=112.5°
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，综合考察了常见几何图形的基础性质，解题的关键是梳理清楚各角度之间的等量关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5. 如图2，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，∠DAE：∠BAE=3：1，则∠EAC=
$45°$
.答案
5.$45°$
解析
【分析】
解题时首先回忆矩形的基本性质：矩形四个内角为直角，对角线相等且互相平分。第一步先根据∠DAE与∠BAE的比例关系和∠DAB=90°，求出∠BAE的度数；第二步由AE⊥BD，结合直角三角形两锐角互余求出∠ABD的度数；第三步根据矩形对角线平分且相等可得OA=OB，利用等边对等角得到∠OAB=∠ABD；最后用∠OAB减去∠BAE即可求出∠EAC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，对角线AC、BD互相平分且相等，即OA=OB。
∵∠DAE:∠BAE=3:1，且∠DAE+∠BAE=∠DAB=90°，
设∠BAE=x，则∠DAE=3x，
可得x+3x=90°，解得x=22.5°，即∠BAE=22.5°。
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，∠ABE=90°-∠BAE=90°-22.5°=67.5°。
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠ABE=67.5°，
∴∠EAC=∠OAB - ∠BAE=67.5°-22.5°=45°。
【答案】
$45°$
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，核心考查矩形性质与三角形角度计算的结合，解题的突破口是利用矩形对角线的性质得到等腰三角形，进而找到角的等量关系，熟练掌握特殊四边形的基本性质是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆矩形的基本性质：矩形四个内角为直角，对角线相等且互相平分。第一步先根据∠DAE与∠BAE的比例关系和∠DAB=90°，求出∠BAE的度数；第二步由AE⊥BD，结合直角三角形两锐角互余求出∠ABD的度数；第三步根据矩形对角线平分且相等可得OA=OB，利用等边对等角得到∠OAB=∠ABD；最后用∠OAB减去∠BAE即可求出∠EAC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，对角线AC、BD互相平分且相等，即OA=OB。
∵∠DAE:∠BAE=3:1，且∠DAE+∠BAE=∠DAB=90°，
设∠BAE=x，则∠DAE=3x，
可得x+3x=90°，解得x=22.5°，即∠BAE=22.5°。
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，∠ABE=90°-∠BAE=90°-22.5°=67.5°。
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠ABE=67.5°，
∴∠EAC=∠OAB - ∠BAE=67.5°-22.5°=45°。
【答案】
$45°$
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，核心考查矩形性质与三角形角度计算的结合，解题的突破口是利用矩形对角线的性质得到等腰三角形，进而找到角的等量关系，熟练掌握特殊四边形的基本性质是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.7
6. 如图 3，矩形纸片 ABCD 中，BC=2，∠ABD=30°。将该纸片沿对角线 BD 翻折，点 A 落在点 E 处，EB 交 DC 于点 F，
则点 F 到直线 DB 的距离为
则点 F 到直线 DB 的距离为
$\frac{2}{3}\sqrt{3}$
。答案
6.$\frac{2}{3}\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先利用矩形的性质得到边和角的关系，结合30°直角三角形的性质求出BD、AB的长度；再根据翻折的性质得到对应角相等，结合平行线的性质推出△FBD为等腰三角形，得到FB=FD；然后设未知数列方程求出DF的长度，最后利用30°直角三角形的性质求出F到BD的垂线段长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，∠A=∠C=90°，AB//CD，AB=CD。
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，
∴BD=2AD=4，$AB=\sqrt{BD^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴CD=AB=2√3。
由翻折的性质可得：∠EBD=∠ABD=30°，
∵AB//CD，
∴∠ABD=∠BDC=30°，
∴∠FBD=∠FDB=30°，
∴FB=FD。
设DF=x，则FB=x，FC=CD-DF=2√3 - x，
∵∠ABC=90°，
∴∠DBC=90°-∠ABD=60°，
∴∠FBC=∠DBC-∠EBD=60°-30°=30°，
在Rt△FBC中，∠FBC=30°，
∴FB=2FC，
即$x=2(2\sqrt{3}-x)$，解得$x=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
过点F作FH⊥BD于点H，
在Rt△DFH中，∠FDH=30°，
∴$FH=\frac{1}{2}DF=\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即点F到直线DB的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}\sqrt{3}$
【知识点】
矩形的性质，翻折的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将矩形、翻折变换与特殊直角三角形的性质结合考查，解题的关键是抓住翻折前后对应角相等的特点，结合平行线的性质推出等腰三角形，再利用30°直角三角形的边角关系建立方程求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用矩形的性质得到边和角的关系，结合30°直角三角形的性质求出BD、AB的长度；再根据翻折的性质得到对应角相等，结合平行线的性质推出△FBD为等腰三角形，得到FB=FD；然后设未知数列方程求出DF的长度，最后利用30°直角三角形的性质求出F到BD的垂线段长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，∠A=∠C=90°，AB//CD，AB=CD。
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，
∴BD=2AD=4，$AB=\sqrt{BD^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴CD=AB=2√3。
由翻折的性质可得：∠EBD=∠ABD=30°，
∵AB//CD，
∴∠ABD=∠BDC=30°，
∴∠FBD=∠FDB=30°，
∴FB=FD。
设DF=x，则FB=x，FC=CD-DF=2√3 - x，
∵∠ABC=90°，
∴∠DBC=90°-∠ABD=60°，
∴∠FBC=∠DBC-∠EBD=60°-30°=30°，
在Rt△FBC中，∠FBC=30°，
∴FB=2FC，
即$x=2(2\sqrt{3}-x)$，解得$x=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
过点F作FH⊥BD于点H，
在Rt△DFH中，∠FDH=30°，
∴$FH=\frac{1}{2}DF=\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即点F到直线DB的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}\sqrt{3}$
【知识点】
矩形的性质，翻折的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将矩形、翻折变换与特殊直角三角形的性质结合考查，解题的关键是抓住翻折前后对应角相等的特点，结合平行线的性质推出等腰三角形，再利用30°直角三角形的边角关系建立方程求解。
【难度系数】
0.6
7.如图4,正方形ABCD的边长为1 cm,E,
F分别是BC,CD的中点,连接BF,DE,
则图中阴影部分的面积是
F分别是BC,CD的中点,连接BF,DE,
则图中阴影部分的面积是
$\frac{2}{3}$
cm².答案
7.$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，我们可以用“总面积减空白面积”的思路求解：首先计算正方形的总面积，再将空白部分分割为面积相等的小三角形，通过全等三角形和等积变换推导小三角形的面积，进而求出空白总面积，最后作差即可得到阴影面积。
解题步骤思路：1. 先求正方形总面积；2. 设BF、DE交点为G，连接CG，利用中点性质得到同高三角形面积相等；3. 证明三角形全等，得出四个空白小三角形面积相等；4. 先求出△BCF的面积，推导单个小三角形面积，得到空白总面积；5. 总面积减空白面积得阴影面积。
【解析】
设BF与DE的交点为G，连接CG。
1. 正方形ABCD边长为1cm，因此正方形总面积：
$S_{正方形ABCD}=1×1=1\ \mathrm{cm}^2$
2. 因为E是BC中点，$BE=EC$，△BEG和△CEG以G到BC的垂线段为公共高，底相等，所以$S_{△ BEG}=S_{△ CEG}$；
同理，F是CD中点，$DF=FC$，△DFG和△CFG以G到CD的垂线段为公共高，底相等，所以$S_{△ DFG}=S_{△ CFG}$。
3. 在△BCF和△DCE中：
$BC=DC$，$∠C=∠C$，$CF=CE=\frac{1}{2}\ \mathrm{cm}$，因此$△ BCF≌△ DCE(\mathrm{SAS})$，可得$∠CBF=∠CDE$。
在△BEG和△DFG中：
$∠CBF=∠CDE$，$∠BGE=∠DGF$，$BE=DF=\frac{1}{2}\ \mathrm{cm}$，因此$△ BEG≌△ DFG(\mathrm{AAS})$，可得$S_{△ BEG}=S_{△ DFG}$。
4. 综上可知：$S_{△ BEG}=S_{△ CEG}=S_{△ CFG}=S_{△ DFG}$，设每个小三角形面积为$x$。
△BCF的面积为：$S_{△ BCF}=\frac{1}{2}×BC×CF=\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\ \mathrm{cm}^2$，
而$S_{△ BCF}=S_{△ BEG}+S_{△ CEG}+S_{△ CFG}=3x$，因此$3x=\frac{1}{4}$，解得$x=\frac{1}{12}$。
5. 空白部分总面积为$4x=4×\frac{1}{12}=\frac{1}{3}\ \mathrm{cm}^2$，
因此阴影部分面积为$S_{阴影}=S_{正方形ABCD}-S_{空白}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题通过等积变换和全等三角形的性质将不规则的空白部分转化为面积相等的小三角形，简化了不规则图形面积的计算，解题关键是合理添加辅助线CG，找到各部分面积的等量关系。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，我们可以用“总面积减空白面积”的思路求解：首先计算正方形的总面积，再将空白部分分割为面积相等的小三角形，通过全等三角形和等积变换推导小三角形的面积，进而求出空白总面积，最后作差即可得到阴影面积。
解题步骤思路：1. 先求正方形总面积；2. 设BF、DE交点为G，连接CG，利用中点性质得到同高三角形面积相等；3. 证明三角形全等，得出四个空白小三角形面积相等；4. 先求出△BCF的面积，推导单个小三角形面积，得到空白总面积；5. 总面积减空白面积得阴影面积。
【解析】
设BF与DE的交点为G，连接CG。
1. 正方形ABCD边长为1cm，因此正方形总面积：
$S_{正方形ABCD}=1×1=1\ \mathrm{cm}^2$
2. 因为E是BC中点，$BE=EC$，△BEG和△CEG以G到BC的垂线段为公共高，底相等，所以$S_{△ BEG}=S_{△ CEG}$；
同理，F是CD中点，$DF=FC$，△DFG和△CFG以G到CD的垂线段为公共高，底相等，所以$S_{△ DFG}=S_{△ CFG}$。
3. 在△BCF和△DCE中：
$BC=DC$，$∠C=∠C$，$CF=CE=\frac{1}{2}\ \mathrm{cm}$，因此$△ BCF≌△ DCE(\mathrm{SAS})$，可得$∠CBF=∠CDE$。
在△BEG和△DFG中：
$∠CBF=∠CDE$，$∠BGE=∠DGF$，$BE=DF=\frac{1}{2}\ \mathrm{cm}$，因此$△ BEG≌△ DFG(\mathrm{AAS})$，可得$S_{△ BEG}=S_{△ DFG}$。
4. 综上可知：$S_{△ BEG}=S_{△ CEG}=S_{△ CFG}=S_{△ DFG}$，设每个小三角形面积为$x$。
△BCF的面积为：$S_{△ BCF}=\frac{1}{2}×BC×CF=\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\ \mathrm{cm}^2$，
而$S_{△ BCF}=S_{△ BEG}+S_{△ CEG}+S_{△ CFG}=3x$，因此$3x=\frac{1}{4}$，解得$x=\frac{1}{12}$。
5. 空白部分总面积为$4x=4×\frac{1}{12}=\frac{1}{3}\ \mathrm{cm}^2$，
因此阴影部分面积为$S_{阴影}=S_{正方形ABCD}-S_{空白}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题通过等积变换和全等三角形的性质将不规则的空白部分转化为面积相等的小三角形，简化了不规则图形面积的计算，解题关键是合理添加辅助线CG，找到各部分面积的等量关系。
【难度系数】
0.6
8.如图5,折叠矩形纸片ABCD,使AD边与对角线BD重合,得折痕DG,若AB=4,BC=2.求AG的长.
答案
8.$AG=\sqrt{5}-1$
解析
【分析】
解题前先回忆相关性质：首先折叠前后的图形全等，对应边相等、对应角相等；其次矩形的四个角为直角，对边相等。解题思路如下：第一步先利用矩形性质和勾股定理求出对角线BD的长度；第二步根据折叠性质得到相等的线段和直角，设AG的长为x，用含x的式子表示出Rt△GEB的各边长度；第三步在Rt△GEB中利用勾股定理列方程，求解即可得到AG的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD=BC=2，
在Rt△ABD中，AB=4，AD=2，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
由折叠的性质可得：$△ ADG ≌ △ EDG$，
∴$DE=AD=2$，$AG=EG$，$∠DEG=∠A=90°$，
∴$∠GEB=90°$，$BE=BD-DE=2\sqrt{5}-2$，
设$AG=x$，则$EG=x$，$GB=AB-AG=4-x$，
在Rt△GEB中，由勾股定理得：
$EG^2+BE^2=GB^2$，
即$x^2+(2\sqrt{5}-2)^2=(4-x)^2$，
展开得：$x^2+20-8\sqrt{5}+4=16-8x+x^2$，
整理得：$8x=8\sqrt{5}-8$，
解得：$x=\sqrt{5}-1$，
即AG的长为$\sqrt{5}-1$。
【答案】
$AG=\sqrt{5}-1$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何折叠计算的常见题型，核心是利用折叠的性质转化相等的边和角，再结合勾股定理构造方程求解，能够很好地考查学生对几何性质的运用能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
解题前先回忆相关性质：首先折叠前后的图形全等，对应边相等、对应角相等；其次矩形的四个角为直角，对边相等。解题思路如下：第一步先利用矩形性质和勾股定理求出对角线BD的长度；第二步根据折叠性质得到相等的线段和直角，设AG的长为x，用含x的式子表示出Rt△GEB的各边长度；第三步在Rt△GEB中利用勾股定理列方程，求解即可得到AG的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD=BC=2，
在Rt△ABD中，AB=4，AD=2，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
由折叠的性质可得：$△ ADG ≌ △ EDG$，
∴$DE=AD=2$，$AG=EG$，$∠DEG=∠A=90°$，
∴$∠GEB=90°$，$BE=BD-DE=2\sqrt{5}-2$，
设$AG=x$，则$EG=x$，$GB=AB-AG=4-x$，
在Rt△GEB中，由勾股定理得：
$EG^2+BE^2=GB^2$，
即$x^2+(2\sqrt{5}-2)^2=(4-x)^2$，
展开得：$x^2+20-8\sqrt{5}+4=16-8x+x^2$，
整理得：$8x=8\sqrt{5}-8$，
解得：$x=\sqrt{5}-1$，
即AG的长为$\sqrt{5}-1$。
【答案】
$AG=\sqrt{5}-1$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何折叠计算的常见题型，核心是利用折叠的性质转化相等的边和角，再结合勾股定理构造方程求解，能够很好地考查学生对几何性质的运用能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
9.下列说法正确的是 （
A.菱形的四个内角都是直角
B.矩形的对角线互相垂直
C.正方形的每一条对角线平分一组对角
D.平行四边形是轴对称图形
C
）A.菱形的四个内角都是直角
B.矩形的对角线互相垂直
C.正方形的每一条对角线平分一组对角
D.平行四边形是轴对称图形
答案
9.C
解析
【分析】
本题属于特殊四边形性质的辨析题，解题思路为：逐一回忆菱形、矩形、正方形、平行四边形的相关性质，将每个选项的描述对应到对应图形的性质进行对错判断，通过排除法即可选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：菱形的性质为对角相等、邻角互补，四个内角都是直角是矩形的特征，因此A错误；
B选项：矩形的对角线性质为相等且互相平分，对角线互相垂直是菱形的特征，因此B错误；
C选项：正方形同时具备菱形和矩形的所有性质，菱形的对角线平分一组对角，因此正方形的每一条对角线平分一组对角，C正确；
D选项：普通平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，只有特殊的平行四边形（如矩形、菱形）才是轴对称图形，因此D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质
【点评】
本题属于基础类考题，重点考查对不同特殊四边形性质的掌握程度，解题的核心是准确区分各类特殊四边形的相似性质，避免混淆，学习中可通过对比归类的方式记忆不同四边形的性质特征。
【难度系数】
0.8
本题属于特殊四边形性质的辨析题，解题思路为：逐一回忆菱形、矩形、正方形、平行四边形的相关性质，将每个选项的描述对应到对应图形的性质进行对错判断，通过排除法即可选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：菱形的性质为对角相等、邻角互补，四个内角都是直角是矩形的特征，因此A错误；
B选项：矩形的对角线性质为相等且互相平分，对角线互相垂直是菱形的特征，因此B错误；
C选项：正方形同时具备菱形和矩形的所有性质，菱形的对角线平分一组对角，因此正方形的每一条对角线平分一组对角，C正确；
D选项：普通平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，只有特殊的平行四边形（如矩形、菱形）才是轴对称图形，因此D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质
【点评】
本题属于基础类考题，重点考查对不同特殊四边形性质的掌握程度，解题的核心是准确区分各类特殊四边形的相似性质，避免混淆，学习中可通过对比归类的方式记忆不同四边形的性质特征。
【难度系数】
0.8
