登录
10. 如图6，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E,F分别在AB,CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A,D分别落在矩形ABCD外部的点A₁,D₁处，则阴影部分的周长为（
A.15
B.20
C.25
D.30
D
）A.15
B.20
C.25
D.30
答案
10.D
解析
【分析】
本题考查矩形折叠背景下的周长计算问题，解题思路如下：首先明确折叠的核心性质：折叠前后对应线段的长度相等；接下来列出阴影部分所有边的长度和，再将折叠后相等的线段替换为原矩形的对应边，通过整理可发现阴影部分周长等于原矩形的周长，最后代入矩形边长计算即可得到结果。
【解析】
根据折叠的性质可得：折叠前后对应边相等，即$AE=A_1E$，$DF=D_1F$，$AD=A_1D_1$。
阴影部分的周长为各边长度之和：
$C_{阴影}=FC+BC+BE+A_1E+A_1D_1+D_1F$
将相等线段代入替换，得：
$C_{阴影}=FC+BC+BE+AE+AD+DF$
对线段进行分组整理：$BE+AE=AB$，$FC+DF=CD$，
又因为四边形ABCD是矩形，所以$AB=CD=10$，$AD=BC=5$，
因此$C_{阴影}=AB+BC+CD+AD=2×(AB+BC)=2×(10+5)=30$。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质；矩形的周长计算
【点评】
本题解题的关键是利用折叠的性质做线段的等量代换，无需单独计算阴影各段边长，而是将阴影周长转化为原矩形的周长，大大降低了计算难度，是图形变换类周长计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
本题考查矩形折叠背景下的周长计算问题，解题思路如下：首先明确折叠的核心性质：折叠前后对应线段的长度相等；接下来列出阴影部分所有边的长度和，再将折叠后相等的线段替换为原矩形的对应边，通过整理可发现阴影部分周长等于原矩形的周长，最后代入矩形边长计算即可得到结果。
【解析】
根据折叠的性质可得：折叠前后对应边相等，即$AE=A_1E$，$DF=D_1F$，$AD=A_1D_1$。
阴影部分的周长为各边长度之和：
$C_{阴影}=FC+BC+BE+A_1E+A_1D_1+D_1F$
将相等线段代入替换，得：
$C_{阴影}=FC+BC+BE+AE+AD+DF$
对线段进行分组整理：$BE+AE=AB$，$FC+DF=CD$，
又因为四边形ABCD是矩形，所以$AB=CD=10$，$AD=BC=5$，
因此$C_{阴影}=AB+BC+CD+AD=2×(AB+BC)=2×(10+5)=30$。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质；矩形的周长计算
【点评】
本题解题的关键是利用折叠的性质做线段的等量代换，无需单独计算阴影各段边长，而是将阴影周长转化为原矩形的周长，大大降低了计算难度，是图形变换类周长计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
11. 如图7所示，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD⊥ BC$，垂足为$D$，$AN$是$△ ABC$外角$∠ CAM$的平分线，$CE⊥ AN$，垂足为$E$。
(1)试说明四边形$ADCE$为矩形；
(2)当$△ ABC$满足什么条件时，四边形$ADCE$是一个正方形？
(1)试说明四边形$ADCE$为矩形；
(2)当$△ ABC$满足什么条件时，四边形$ADCE$是一个正方形？
答案
(1)提示:证$∠ DAE=90°$.
(2)$∠ BAC=90°$.提示:先说明$AD=DC$,结合(1)的结论.
(2)$∠ BAC=90°$.提示:先说明$AD=DC$,结合(1)的结论.
解析
【分析】
(1)要判定四边形ADCE为矩形，可通过证明该四边形有三个内角为直角推导：已知AD⊥BC、CE⊥AN，已有两个直角，只需证明∠DAE=90°即可。结合等腰三角形三线合一可得AD平分∠BAC，再结合AN平分外角∠CAM，利用平角为180°可推出两个半角之和为90°，即可得∠DAE=90°，满足矩形判定条件。
(2)矩形变为正方形需要邻边相等，即AD=DC。结合等腰直角三角形的性质，当△ABC中∠BAC=90°时，斜边的中线AD等于斜边的一半，可得AD=DC，满足正方形的判定条件。
【解析】
(1)证明：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，∠ADC=90°，即$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC$。
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴$∠ CAN=\frac{1}{2}∠ CAM$。
又
∵$∠ BAC+∠ CAM=180°$（平角的定义），
∴$∠ DAE=∠ DAC+∠ CAN=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ CAM)=\frac{1}{2}×180°=90°$。
∵CE⊥AN，
∴$∠ AEC=90°$。
∴四边形ADCE中，$∠ ADC=∠ DAE=∠ AEC=90°$，
∴四边形ADCE为矩形。
(2)解：当△ABC满足$∠ BAC=90°$时，四边形ADCE是正方形。
理由：
∵$∠ BAC=90°$，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD是Rt△ABC斜边BC上的中线，
∴AD=DC（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
由(1)知四边形ADCE是矩形，
又
∵AD=DC，
∴矩形ADCE是正方形（邻边相等的矩形是正方形）。
【答案】
(1) 四边形ADCE为矩形，证明见解析；
(2) 当$∠ BAC=90°$时，四边形ADCE是正方形。
【知识点】
矩形的判定；正方形的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题是特殊四边形判定的基础题，将等腰三角形、角平分线的性质与矩形、正方形的判定相结合，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定定理，能结合已知条件推导角的等量关系和边的等量关系。
【难度系数】
0.7
(1)要判定四边形ADCE为矩形，可通过证明该四边形有三个内角为直角推导：已知AD⊥BC、CE⊥AN，已有两个直角，只需证明∠DAE=90°即可。结合等腰三角形三线合一可得AD平分∠BAC，再结合AN平分外角∠CAM，利用平角为180°可推出两个半角之和为90°，即可得∠DAE=90°，满足矩形判定条件。
(2)矩形变为正方形需要邻边相等，即AD=DC。结合等腰直角三角形的性质，当△ABC中∠BAC=90°时，斜边的中线AD等于斜边的一半，可得AD=DC，满足正方形的判定条件。
【解析】
(1)证明：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，∠ADC=90°，即$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC$。
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴$∠ CAN=\frac{1}{2}∠ CAM$。
又
∵$∠ BAC+∠ CAM=180°$（平角的定义），
∴$∠ DAE=∠ DAC+∠ CAN=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ CAM)=\frac{1}{2}×180°=90°$。
∵CE⊥AN，
∴$∠ AEC=90°$。
∴四边形ADCE中，$∠ ADC=∠ DAE=∠ AEC=90°$，
∴四边形ADCE为矩形。
(2)解：当△ABC满足$∠ BAC=90°$时，四边形ADCE是正方形。
理由：
∵$∠ BAC=90°$，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD是Rt△ABC斜边BC上的中线，
∴AD=DC（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
由(1)知四边形ADCE是矩形，
又
∵AD=DC，
∴矩形ADCE是正方形（邻边相等的矩形是正方形）。
【答案】
(1) 四边形ADCE为矩形，证明见解析；
(2) 当$∠ BAC=90°$时，四边形ADCE是正方形。
【知识点】
矩形的判定；正方形的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题是特殊四边形判定的基础题，将等腰三角形、角平分线的性质与矩形、正方形的判定相结合，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定定理，能结合已知条件推导角的等量关系和边的等量关系。
【难度系数】
0.7
12. 如图8,在平行四边形ABCD中,∠ACB=90°,过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E,连接AE交CD于点F.
(1)求证:四边形ACED是矩形;
(2)连接BF,若∠ABC=60°,CE=3,求BF的长.
(1)求证:四边形ACED是矩形;
(2)连接BF,若∠ABC=60°,CE=3,求BF的长.
答案
(1)略
(2)$BF=3\sqrt{3}$
(2)$BF=3\sqrt{3}$
解析
【分析】
(1) 要证四边形ACED是矩形，根据矩形判定规则：有一个角是直角的平行四边形是矩形。首先利用平行四边形ABCD的性质得到AD//BC，再结合AC⊥BC、DE⊥BC推出AC//DE，先判定ACED是平行四边形，再结合已知直角即可完成证明。
(2) 求BF的长时，先通过矩形性质得到AD=CE=3，再结合平行四边形性质得到BC=AD=3，从而求出BE的长度；接着结合∠ABC=60°、AB=BE判定△ABE是等边三角形，最后利用等边三角形三线合一的性质，结合勾股定理即可求出BF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，即AD//CE，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
又
∵DE⊥BC，
∴AC//DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
又
∵∠ACE=90°，
∴平行四边形ACED是矩形。
(2) 解：
由(1)得四边形ACED是矩形，
∴AD=CE=3，且矩形对角线互相平分，即F为AE的中点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3，
∴BE=BC+CE=3+3=6，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=6，
∴AB=BE=6，又∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∵F是AE的中点，根据等边三角形三线合一，BF⊥AE，
∵等边三角形边长为6，
∴AE=6，AF=3，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{AB^2-AF^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{3\sqrt{3}}$
【知识点】
矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，重点考查平行四边形、矩形、等边三角形相关知识点的综合运用，解题时需要从已知条件出发逐步推导图形的性质和边长关系，再结合勾股定理计算线段长度，对基础知识点的灵活运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1) 要证四边形ACED是矩形，根据矩形判定规则：有一个角是直角的平行四边形是矩形。首先利用平行四边形ABCD的性质得到AD//BC，再结合AC⊥BC、DE⊥BC推出AC//DE，先判定ACED是平行四边形，再结合已知直角即可完成证明。
(2) 求BF的长时，先通过矩形性质得到AD=CE=3，再结合平行四边形性质得到BC=AD=3，从而求出BE的长度；接着结合∠ABC=60°、AB=BE判定△ABE是等边三角形，最后利用等边三角形三线合一的性质，结合勾股定理即可求出BF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，即AD//CE，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
又
∵DE⊥BC，
∴AC//DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
又
∵∠ACE=90°，
∴平行四边形ACED是矩形。
(2) 解：
由(1)得四边形ACED是矩形，
∴AD=CE=3，且矩形对角线互相平分，即F为AE的中点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3，
∴BE=BC+CE=3+3=6，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=6，
∴AB=BE=6，又∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∵F是AE的中点，根据等边三角形三线合一，BF⊥AE，
∵等边三角形边长为6，
∴AE=6，AF=3，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{AB^2-AF^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{3\sqrt{3}}$
【知识点】
矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，重点考查平行四边形、矩形、等边三角形相关知识点的综合运用，解题时需要从已知条件出发逐步推导图形的性质和边长关系，再结合勾股定理计算线段长度，对基础知识点的灵活运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
13.如图9,在矩形ABCD中,AB=4 cm,BC=8 cm,点P从点D出发向点A运动,运动到点A即停止;同时点Q从点B出发向点C运动,运动到点C即停止.点P,Q运动的速度都是1 cm/s,连接PQ,AQ,CP,设点P,Q运动的时间为t(s).
(1)当t为何值时,四边形ABQP是矩形?
(2)当t为何值时,四边形AQCP是菱形?
(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积.
(1)当t为何值时,四边形ABQP是矩形?
(2)当t为何值时,四边形AQCP是菱形?
(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积.
答案
(1)$t=4$
(2)$t=3$
(3)菱形$AQCP$的周长为20 cm,面积为$20\ \mathrm{cm^2}$.
(2)$t=3$
(3)菱形$AQCP$的周长为20 cm,面积为$20\ \mathrm{cm^2}$.
解析
【分析】
本题是矩形背景下的动点问题，解题核心是结合特殊四边形的判定条件，用含时间t的代数式表示相关线段长度，列方程求解。
(1) 由矩形性质得AD//BC，故AP//BQ，且∠B=90°，因此当AP=BQ时，四边形ABQP是矩形，据此列方程即可求t；
(2) 先由AP=QC且AP//QC，得四边形AQCP是平行四边形，因此当邻边AQ=QC时，平行四边形AQCP为菱形，结合勾股定理表示AQ的长度，列方程求解t；
(3) 求出菱形边长后，根据菱形周长、面积公式计算即可。
【解析】
解：由题意得，运动t秒时，$DP=BQ=t\ \mathrm{cm}$，$AP=(8-t)\ \mathrm{cm}$，$QC=(8-t)\ \mathrm{cm}$。
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD// BC$，$∠ B=90°$，
要使四边形ABQP是矩形，需满足$AP=BQ$，
列方程：$8-t=t$，
解得$t=4$。
(2)
∵$AP=QC=(8-t)\ \mathrm{cm}$，且$AP// QC$，
∴四边形AQCP是平行四边形，
要使平行四边形AQCP是菱形，需满足$AQ=QC$，
在$\mathrm{Rt}△ ABQ$中，由勾股定理得$AQ=\sqrt{AB^2+BQ^2}=\sqrt{4^2+t^2}$，
列方程：$\sqrt{16+t^2}=8-t$，
两边平方得：$16+t^2=64-16t+t^2$，
整理得$16t=48$，解得$t=3$。
(3) 当$t=3$时，菱形AQCP的边长$QC=8-3=5\ \mathrm{cm}$，
周长：$4×5=20\ \mathrm{cm}$，
面积：底×高=$QC× AB=5×4=20\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
(1) $t=4$
(2) $t=3$
(3) 周长为$\boldsymbol{20\ \mathrm{cm}}$，面积为$\boldsymbol{20\ \mathrm{cm^2}}$
【知识点】
矩形的判定、菱形的判定、勾股定理
【点评】
本题是特殊四边形章节的常见动点题型，解题关键是将动点的运动时间转化为线段长度，结合特殊四边形的判定条件列方程求解，既考查了特殊四边形的性质与判定，也锻炼了方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
本题是矩形背景下的动点问题，解题核心是结合特殊四边形的判定条件，用含时间t的代数式表示相关线段长度，列方程求解。
(1) 由矩形性质得AD//BC，故AP//BQ，且∠B=90°，因此当AP=BQ时，四边形ABQP是矩形，据此列方程即可求t；
(2) 先由AP=QC且AP//QC，得四边形AQCP是平行四边形，因此当邻边AQ=QC时，平行四边形AQCP为菱形，结合勾股定理表示AQ的长度，列方程求解t；
(3) 求出菱形边长后，根据菱形周长、面积公式计算即可。
【解析】
解：由题意得，运动t秒时，$DP=BQ=t\ \mathrm{cm}$，$AP=(8-t)\ \mathrm{cm}$，$QC=(8-t)\ \mathrm{cm}$。
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD// BC$，$∠ B=90°$，
要使四边形ABQP是矩形，需满足$AP=BQ$，
列方程：$8-t=t$，
解得$t=4$。
(2)
∵$AP=QC=(8-t)\ \mathrm{cm}$，且$AP// QC$，
∴四边形AQCP是平行四边形，
要使平行四边形AQCP是菱形，需满足$AQ=QC$，
在$\mathrm{Rt}△ ABQ$中，由勾股定理得$AQ=\sqrt{AB^2+BQ^2}=\sqrt{4^2+t^2}$，
列方程：$\sqrt{16+t^2}=8-t$，
两边平方得：$16+t^2=64-16t+t^2$，
整理得$16t=48$，解得$t=3$。
(3) 当$t=3$时，菱形AQCP的边长$QC=8-3=5\ \mathrm{cm}$，
周长：$4×5=20\ \mathrm{cm}$，
面积：底×高=$QC× AB=5×4=20\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
(1) $t=4$
(2) $t=3$
(3) 周长为$\boldsymbol{20\ \mathrm{cm}}$，面积为$\boldsymbol{20\ \mathrm{cm^2}}$
【知识点】
矩形的判定、菱形的判定、勾股定理
【点评】
本题是特殊四边形章节的常见动点题型，解题关键是将动点的运动时间转化为线段长度，结合特殊四边形的判定条件列方程求解，既考查了特殊四边形的性质与判定，也锻炼了方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
