9. 如图5，在矩形ABCD中，E是BC的中点，$∠ BAE=45°$，$AE=2$，则四边形AECD的面积是（）

A.$\sqrt{2}$
B.2
C.3
D.8

图5 图6

9.C

【分析】
解题时首先回忆矩形的性质：矩形四个内角均为直角，对边相等；已知∠BAE=45°，可推出△ABE是等腰直角三角形，即两直角边AB=BE；结合已知AE的长度，用勾股定理就能求出AB、BE的长度；再根据E是BC中点求出BC的长度，最后用矩形ABCD的总面积减去△ABE的面积，即可得到四边形AECD的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵∠BAE=45°，
∴∠AEB=90°-45°=45°，
∴∠BAE=∠AEB，即AB=BE，
在Rt△ABE中，AE=2，由勾股定理得：
$AB^2+BE^2=AE^2$，
将AB=BE、AE=2代入得：$2AB^2=4$，
解得$AB=BE=\sqrt{2}$，
∵E是BC的中点，
∴$BC=2BE=2\sqrt{2}$，
∴矩形ABCD的面积=$AB×BC=\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，
△ABE的面积=$\frac{1}{2}×AB×BE=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$，
∴四边形AECD的面积=$4-1=3$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题关键是借助45°特殊角判断出等腰直角三角形，再结合勾股定理求出对应线段长度，通过面积作差即可得出结果，计算时注意二次根式的运算规则，避免出错。
【难度系数】
0.7

10.如图6,正方形ABCD的对角线的长为$8\sqrt{2}$,点E为AB上一点.若$EF⊥ AC$于点F,$EG⊥ BD$于点G,则$EF + EG =$.

10.$4\sqrt{2}$

【分析】
解决本题的核心是利用正方形的对角线性质，结合矩形和等腰直角三角形的特征，将所求的两条线段的和转化为正方形对角线长度的一半。首先回忆正方形的性质：对角线互相垂直平分且平分内角，可得对角线夹角为90°、∠BAC=45°；再由EF、EG分别垂直两条对角线，可判定四边形EFOG是矩形，△AEF是等腰直角三角形，进而将EF和EG转化到对角线AC的线段上，相加即可得到结果。
【解析】
设正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，∠BAC=45°，$OA=\frac{1}{2}AC$。
已知$AC=8\sqrt{2}$，
∴ $OA=\frac{1}{2}×8\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
∵ EF⊥AC，EG⊥BD，∠AOB=90°，
∴ 四边形EFOG是矩形，
∴ EG=OF。
又
∵ ∠EAF=45°，∠AFE=90°，
∴ △AEF是等腰直角三角形，
∴ EF=AF。
∴ $EF+EG=AF+OF=OA=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质；矩形的判定与性质；等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题是特殊四边形性质的典型应用题目，解题关键是利用正方形对角线的特殊性，通过转化思想将两条分散的线段和转化为已知的对角线的一半，解题过程中要熟练掌握特殊四边形和等腰直角三角形的性质，灵活进行线段的等量代换。
【难度系数】
0.7

11.如图7，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF。判断四边形AEDF的形状，并证明。

11.四边形AEDF是菱形.证明略.

【分析】
要判断四边形AEDF的形状，可结合菱形的判定思路分析：首先从已知条件入手，先利用线段垂直平分线的性质得到邻边相等、角的等量关系，再结合角平分线的性质推导两组对边分别平行，先证明四边形是平行四边形，最后结合邻边相等的条件判定为菱形即可。
【解析】
四边形AEDF是菱形，证明如下：
1.
∵EF是AD的垂直平分线
∴AE=DE，AF=DF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
2.
∵AD是△ABC的角平分线
∴∠EAD=∠FAD
3.
∵AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA（等边对等角）
∴∠EDA=∠FAD，
∴DE//AF（内错角相等，两直线平行）
4. 同理可得DF//AE
∴四边形AEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
5. 又
∵AE=DE
∴平行四边形AEDF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
【答案】
四边形AEDF是菱形
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定
【点评】
本题是特殊四边形判定的典型题，解题关键是灵活运用角平分线、垂直平分线的性质推导边、角的位置和数量关系，需要熟练掌握平行四边形、菱形的判定定理。
【难度系数】
0.7

12. 如图8,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,BE=DF,AC=EF.
(1)求证:四边形AECF是矩形;
(2)若CE=2BE且AE=BE,已知AB=2,求AC的长.

12.(1)略
(2)$AC=\sqrt{10}$

【分析】
(1) 要证明四边形AECF是矩形，首先需判定它是平行四边形，再结合对角线相等的条件即可得证。先利用平行四边形ABCD的性质得到AD//BC、AD=BC，结合已知BE=DF，可推出AF与EC平行且相等，先证得AECF是平行四边形，再根据条件AC=EF，利用矩形的判定定理即可证明。
(2) 求AC的长，可先设BE的长度为x，结合已知CE=2BE、AE=BE，用含x的式子表示AE、CE的长度；由(1)知AECF是矩形，可得∠AEC=90°，因此∠AEB=90°，在Rt△ABE中利用勾股定理列方程求出x的值，再在Rt△AEC中用勾股定理计算AC的长度即可。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AD-DF=BC-BE，即AF=EC，
又
∵AF//EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又
∵AC=EF，
∴平行四边形AECF是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
(2) 解：设BE=x，
∵CE=2BE，AE=BE，
∴AE=x，CE=2x，
由(1)知四边形AECF是矩形，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEB=180°-∠AEC=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AE²+BE²=AB²，
已知AB=2，代入得x²+x²=2²，
即2x²=4，解得x²=2，x=√2（边长为正数），
∴AE=√2，CE=2√2，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：
AC=√(AE²+CE²)=√[(√2)²+(2√2)²]=√(2+8)=√10。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $AC=\sqrt{10}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；矩形的判定；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，将特殊四边形的判定与勾股定理结合考查，解题时需先理清特殊四边形的判定逻辑，再利用直角三角形的性质计算线段长度，掌握特殊四边形的判定定理和勾股定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7

13.如图9,已知在$□ ABCD$中,E,F分别为AB,CD边的中点,BD是对角线,AG//DB交CB的延长线于点G.
(1)求证:$△ ADE ≌ △ CBF$;
(2)若四边形BEDF是菱形,则四边形AGBD是什么特殊四边形?证明你的结论.

13.(1)由$AD=BC,∠A=∠C,AE=CF$得证.
(2)四边形AGBD是矩形.证明略.

【分析】
（1）要证明△ADE≌△CBF，首先结合平行四边形的性质找对应相等的边和角：平行四边形ABCD中对边AD=BC、对角∠A=∠C，再结合E、F是AB、CD的中点可得AE=CF，利用SAS判定定理即可证明两三角形全等。
（2）先判断四边形AGBD的基础形状：由AG//DB，且平行四边形ABCD中AD//BG，可先得出AGBD是平行四边形；再结合菱形BEDF的性质可得DE=BE，结合E是AB中点可推出∠ADB为直角，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可判定AGBD的类型。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD=BC$，$∠A=∠C$，$AB=CD$，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD$，
∴$AE=CF$，
在$△ ADE$和$△ CBF$中：
$\begin{cases} AD=BC \\ ∠ A=∠ C \\ AE=CF \end{cases}$
∴$△ ADE ≌ △ CBF$（SAS）。
(2) 四边形AGBD是矩形，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，即$AD// BG$，
又
∵$AG// DB$，
∴四边形AGBD是平行四边形，
∵四边形BEDF是菱形，
∴$DE=BE$，
∵E是AB的中点，
∴$AE=BE$，
∴$AE=BE=DE$，
∴$∠DAE=∠ADE$，$∠EDB=∠EBD$，
∵$∠DAE+∠ADE+∠EDB+∠EBD=180°$，
∴$2∠ADE+2∠EDB=180°$，即$∠ADB=∠ADE+∠EDB=90°$，
∴平行四边形AGBD是矩形。
【答案】
(1) 由$AD=BC,∠A=∠C,AE=CF$可证$△ ADE ≌ △ CBF$；
(2) 四边形AGBD是矩形。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定、矩形的判定
【点评】
本题属于几何常规综合题，综合考查了全等三角形判定、特殊平行四边形的性质与判定，解题关键是熟练掌握相关定理，结合中点、菱形等已知条件逐步推导即可。
【难度系数】
0.7