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【例】已知 $ x_1, x_2 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + ax - 1 = 0 $ 的两个根. 若 $ x_1 + x_2 + x_1x_2 = -2 $, 则 $ a $ 的值为
【点拨】根据根与系数的关系可得 $ x_1 + x_2 = -1 $, $ x_1x_2 = -\dfrac{1}{a} $. 又根据已知 $ x_1 + x_2 + x_1x_2 = -2 $, 可得 $ -1 - \dfrac{1}{a} = -2 $, 解这个方程即可得出结果.
【解】1
1
.【点拨】根据根与系数的关系可得 $ x_1 + x_2 = -1 $, $ x_1x_2 = -\dfrac{1}{a} $. 又根据已知 $ x_1 + x_2 + x_1x_2 = -2 $, 可得 $ -1 - \dfrac{1}{a} = -2 $, 解这个方程即可得出结果.
【解】1
答案
1
解析
【分析】
解题思路如下：1. 题目明确给出是一元二次方程，因此首先确定二次项系数$a≠0$；2. 回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的表达式；3. 将所得的表达式代入已知等式$x_1+x_2+x_1x_2=-2$，得到关于$a$的方程；4. 解方程后验证所得$a$值是否满足方程有两个实数根的要求，最终得到正确结果。
【解析】
∵ 方程$ax^2 + ax - 1 = 0$是一元二次方程，且有两个实根$x_1,x_2$
∴ $a ≠ 0$
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，有：
$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
在本题方程中，$b=a$，$c=-1$，因此：
$x_1+x_2=-\dfrac{a}{a}=-1$，$x_1x_2=\dfrac{-1}{a}=-\dfrac{1}{a}$
将上述结果代入已知条件$x_1 + x_2 + x_1x_2 = -2$，得：
$-1 - \dfrac{1}{a} = -2$
移项整理：$-\dfrac{1}{a} = -2 + 1 = -1$
两边同乘$a(a≠0)$得：$-1 = -a$，解得$a=1$
检验：当$a=1$时，原方程为$x^2+x-1=0$，判别式$\Delta=1^2 - 4×1×(-1)=5＞0$，确实有两个实数根，符合题意。
【答案】
1
【知识点】
根与系数的关系，分式方程求解，一元二次方程判别式
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题时要注意题干隐含的“一元二次方程二次项系数不为0”“方程有两个实根则判别式非负”的前提条件，求解参数后要注意检验，避免增根。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 题目明确给出是一元二次方程，因此首先确定二次项系数$a≠0$；2. 回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的表达式；3. 将所得的表达式代入已知等式$x_1+x_2+x_1x_2=-2$，得到关于$a$的方程；4. 解方程后验证所得$a$值是否满足方程有两个实数根的要求，最终得到正确结果。
【解析】
∵ 方程$ax^2 + ax - 1 = 0$是一元二次方程，且有两个实根$x_1,x_2$
∴ $a ≠ 0$
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，有：
$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
在本题方程中，$b=a$，$c=-1$，因此：
$x_1+x_2=-\dfrac{a}{a}=-1$，$x_1x_2=\dfrac{-1}{a}=-\dfrac{1}{a}$
将上述结果代入已知条件$x_1 + x_2 + x_1x_2 = -2$，得：
$-1 - \dfrac{1}{a} = -2$
移项整理：$-\dfrac{1}{a} = -2 + 1 = -1$
两边同乘$a(a≠0)$得：$-1 = -a$，解得$a=1$
检验：当$a=1$时，原方程为$x^2+x-1=0$，判别式$\Delta=1^2 - 4×1×(-1)=5＞0$，确实有两个实数根，符合题意。
【答案】
1
【知识点】
根与系数的关系，分式方程求解，一元二次方程判别式
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题时要注意题干隐含的“一元二次方程二次项系数不为0”“方程有两个实根则判别式非负”的前提条件，求解参数后要注意检验，避免增根。
【难度系数】
0.8
1.已知一元二次方程$x^2 -6x -2=0$的两根分别为$m,n$,则$m+n$的值是 （
A.6
B.1
C.$-5$
D.$-6$
A
）A.6
B.1
C.$-5$
D.$-6$
答案
A
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两根的和，优先采用根与系数的关系（韦达定理）求解，无需解方程算出具体根值，计算更简便。首先回忆一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$的两根和公式为$-\frac{b}{a}$，接下来只需从题干方程中提取对应系数$a$、$b$，代入公式计算即可，计算时需注意$b$的符号，避免出错。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，若方程两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
题干中方程为$x^2 -6x -2=0$，对应可得$a=1$，$b=-6$。
已知方程两根为$m$、$n$，代入公式得：
$m+n=-\frac{b}{a}=-\frac{(-6)}{1}=6$
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题时无需解出方程的根，直接代入系数即可快速得到结果，需注意准确识别各项系数的正负，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.9
本题要求一元二次方程两根的和，优先采用根与系数的关系（韦达定理）求解，无需解方程算出具体根值，计算更简便。首先回忆一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$的两根和公式为$-\frac{b}{a}$，接下来只需从题干方程中提取对应系数$a$、$b$，代入公式计算即可，计算时需注意$b$的符号，避免出错。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，若方程两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
题干中方程为$x^2 -6x -2=0$，对应可得$a=1$，$b=-6$。
已知方程两根为$m$、$n$，代入公式得：
$m+n=-\frac{b}{a}=-\frac{(-6)}{1}=6$
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题时无需解出方程的根，直接代入系数即可快速得到结果，需注意准确识别各项系数的正负，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.9
2. (2025—2026 高安检测)若$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 3x - 1 = 0$的两个根，则$2(x_1 + x_2) - x_1 · x_2 =$（
A.4
B.$-5$
C.7
D.$-7$
C
）A.4
B.$-5$
C.7
D.$-7$
答案
C
解析
【分析】
本题所求代数式由两根之和、两根之积构成，不需要求解方程得到根的具体值，可直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）解题。首先确定方程的各项系数，分别求出两根之和与两根之积，再代入所求代数式计算即可，这种方法比直接解方程更简便，也能减少计算错误。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1· x_2=\frac{c}{a}$
题中方程为$x^2 - 3x - 1 = 0$，对应系数$a=1$，$b=-3$，$c=-1$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-3}{1}=3$，$x_1· x_2=\frac{-1}{1}=-1$
将上述结果代入$2(x_1 + x_2) - x_1 · x_2$计算：
原式$=2×3 - (-1)=6+1=7$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式代入求值
【点评】
本题属于基础考查题，核心是韦达定理的直接应用，解题的易错点是确定系数时符号出错，或者代入计算时忽略负号，只要准确记忆公式、仔细计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题所求代数式由两根之和、两根之积构成，不需要求解方程得到根的具体值，可直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）解题。首先确定方程的各项系数，分别求出两根之和与两根之积，再代入所求代数式计算即可，这种方法比直接解方程更简便，也能减少计算错误。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1· x_2=\frac{c}{a}$
题中方程为$x^2 - 3x - 1 = 0$，对应系数$a=1$，$b=-3$，$c=-1$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-3}{1}=3$，$x_1· x_2=\frac{-1}{1}=-1$
将上述结果代入$2(x_1 + x_2) - x_1 · x_2$计算：
原式$=2×3 - (-1)=6+1=7$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式代入求值
【点评】
本题属于基础考查题，核心是韦达定理的直接应用，解题的易错点是确定系数时符号出错，或者代入计算时忽略负号，只要准确记忆公式、仔细计算即可得分。
【难度系数】
0.8
3.已知关于x的方程$x^2 + mx -20=0$的一个根是－4，则它的另一个根是
5
。答案
5
解析
【分析】
解题可选择两种思路：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系求解，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，已知一个根的情况下，无需计算参数$m$，直接通过两根之积的关系就能快速求出另一个根，计算更简便；思路2：先将已知根$x=-4$代入原方程，求出参数$m$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根，两种方法均符合学段要求。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$n$，
在方程$x^2 + mx -20=0$中，二次项系数$a=1$，常数项$c=-20$，
根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，可得：
$-4× n=\frac{-20}{1}=-20$
解得$n=(-20)÷(-4)=5$。
方法二（代入求参法）：
将$x=-4$代入原方程，得：
$(-4)^2+m×(-4)-20=0$
化简得$16-4m-20=0$，即$-4m=4$，解得$m=-1$，
则原方程为$x^2 -x -20=0$，
因式分解得$(x-5)(x+4)=0$，
解得$x_1=-4$，$x_2=5$，即另一个根为5。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质的应用，两种解题方法都可得到正确结果，灵活运用根与系数的关系可大幅简化计算步骤，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
解题可选择两种思路：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系求解，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，已知一个根的情况下，无需计算参数$m$，直接通过两根之积的关系就能快速求出另一个根，计算更简便；思路2：先将已知根$x=-4$代入原方程，求出参数$m$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根，两种方法均符合学段要求。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$n$，
在方程$x^2 + mx -20=0$中，二次项系数$a=1$，常数项$c=-20$，
根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，可得：
$-4× n=\frac{-20}{1}=-20$
解得$n=(-20)÷(-4)=5$。
方法二（代入求参法）：
将$x=-4$代入原方程，得：
$(-4)^2+m×(-4)-20=0$
化简得$16-4m-20=0$，即$-4m=4$，解得$m=-1$，
则原方程为$x^2 -x -20=0$，
因式分解得$(x-5)(x+4)=0$，
解得$x_1=-4$，$x_2=5$，即另一个根为5。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质的应用，两种解题方法都可得到正确结果，灵活运用根与系数的关系可大幅简化计算步骤，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
变式题 已知两根积求另一根→已知两根和求另一根
若关于$x$的方程$x^2 -7x +m=0$的一个根为2，则另一个根为
若关于$x$的方程$x^2 -7x +m=0$的一个根为2，则另一个根为
5
。答案
5
解析
【分析】
解题思路可以从两个方向入手：① 利用一元二次方程根的定义：将已知的根x=2代入原方程，先求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；② 利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于ax²+bx+c=0（a≠0），两根之和等于-b/a，本题已知方程二次项系数、一次项系数，可直接得到两根之和，减去已知根就能快速求出另一个根，该方法更简便。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系）：
设方程的另一个根为$x_1$，
对于一元二次方程$x^2-7x+m=0$，其中$a=1$，$b=-7$，
根据根与系数的关系，两根之和为$x_1 + 2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{1}=7$，
解得$x_1=7-2=5$。
方法二（利用根的定义求解）：
把$x=2$代入原方程得：$2^2 -7×2 +m=0$，
计算得$4-14+m=0$，解得$m=10$，
则原方程为$x^2-7x+10=0$，
因式分解得$(x-2)(x-5)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=5$，故另一个根为5。
【答案】
5
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，两种解题方法都要求掌握，其中运用根与系数的关系求解可跳过求参数的步骤，提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.9
解题思路可以从两个方向入手：① 利用一元二次方程根的定义：将已知的根x=2代入原方程，先求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；② 利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于ax²+bx+c=0（a≠0），两根之和等于-b/a，本题已知方程二次项系数、一次项系数，可直接得到两根之和，减去已知根就能快速求出另一个根，该方法更简便。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系）：
设方程的另一个根为$x_1$，
对于一元二次方程$x^2-7x+m=0$，其中$a=1$，$b=-7$，
根据根与系数的关系，两根之和为$x_1 + 2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{1}=7$，
解得$x_1=7-2=5$。
方法二（利用根的定义求解）：
把$x=2$代入原方程得：$2^2 -7×2 +m=0$，
计算得$4-14+m=0$，解得$m=10$，
则原方程为$x^2-7x+10=0$，
因式分解得$(x-2)(x-5)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=5$，故另一个根为5。
【答案】
5
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，两种解题方法都要求掌握，其中运用根与系数的关系求解可跳过求参数的步骤，提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.9
4. 已知$x_1,x_2$是方程$4x - x^2 = 2$的两根，求：
(1)$x_1 + x_2, x_1x_2$的值.
(2)$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$的值.
(1)$x_1 + x_2, x_1x_2$的值.
(2)$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$的值.
答案
解:(1)方程 $4x-x^2=2$ 化简成一般形式得 $x^2-4x+2=0$.
$\because x_1,x_2$ 是方程 $4x-x^2=2$ 的两根，
$\therefore$ 根据一元二次方程的根与系数的关系,得 $x_1+x_2=-\frac{-4}{1}=4,x_1x_2=\frac{2}{1}=2$.
(2)$\because x_1+x_2=4,x_1x_2=2$,
$\therefore \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{4^2-2×2}{2}=6$.
$\because x_1,x_2$ 是方程 $4x-x^2=2$ 的两根，
$\therefore$ 根据一元二次方程的根与系数的关系,得 $x_1+x_2=-\frac{-4}{1}=4,x_1x_2=\frac{2}{1}=2$.
(2)$\because x_1+x_2=4,x_1x_2=2$,
$\therefore \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{4^2-2×2}{2}=6$.
解析
【分析】
解决本题首先要明确解题方向：第(1)问求两根之和与两根之积，需先将原方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，再直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算即可；第(2)问求分式的值，若直接求解方程的根代入计算较繁琐，因此先对分式通分变形，结合完全平方公式的变形$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，将分式转化为含$x_1+x_2$、$x_1x_2$的形式，再代入第(1)问的结果整体计算即可。
【解析】
(1)先将方程$4x - x^2 = 2$整理为一般形式：
移项得$x^2 - 4x + 2 = 0$，
$\because x_1,x_2$是该方程的两根，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{2}{1}=2$。
(2)先对所求分式变形化简：
$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$，
将$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=2$代入上式得：
原式$=\frac{4^2-2×2}{2}=\frac{16-4}{2}=\frac{12}{2}=6$。
【答案】
(1)$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=2$；(2)$6$
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.分式化简 3.完全平方公式变形
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题核心是熟练掌握韦达定理的应用规则，以及常见代数式的恒等变形技巧，通过整体代入的方法可大幅简化运算，避免求解方程根带来的复杂计算。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确解题方向：第(1)问求两根之和与两根之积，需先将原方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，再直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算即可；第(2)问求分式的值，若直接求解方程的根代入计算较繁琐，因此先对分式通分变形，结合完全平方公式的变形$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，将分式转化为含$x_1+x_2$、$x_1x_2$的形式，再代入第(1)问的结果整体计算即可。
【解析】
(1)先将方程$4x - x^2 = 2$整理为一般形式：
移项得$x^2 - 4x + 2 = 0$，
$\because x_1,x_2$是该方程的两根，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{2}{1}=2$。
(2)先对所求分式变形化简：
$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$，
将$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=2$代入上式得：
原式$=\frac{4^2-2×2}{2}=\frac{16-4}{2}=\frac{12}{2}=6$。
【答案】
(1)$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=2$；(2)$6$
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.分式化简 3.完全平方公式变形
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题核心是熟练掌握韦达定理的应用规则，以及常见代数式的恒等变形技巧，通过整体代入的方法可大幅简化运算，避免求解方程根带来的复杂计算。
【难度系数】
0.8
5.若关于$x$的方程$2x^2 + x - 2m + 1 = 0$有一正实数根和一负实数根，则$m$的取值范围是（
A.$m ≥ \frac{7}{16}$
B.$m ＞ \frac{1}{2}$
C.$m ＞ \frac{7}{16}$
D.$m ≥ \frac{1}{2}$
B
）A.$m ≥ \frac{7}{16}$
B.$m ＞ \frac{1}{2}$
C.$m ＞ \frac{7}{16}$
D.$m ≥ \frac{1}{2}$
答案
B
【解析】$\because$ 关于 $x$ 的方程 $2x^2+x-2m+1=0$ 有一正实数根和一负实数根，
$\therefore x_1x_2=\frac{-2m+1}{2}＜0,$且 $\Delta=1^2-4×2(-2m+1)＞0$,解得 $m＞\frac{1}{2}$.
【解析】$\because$ 关于 $x$ 的方程 $2x^2+x-2m+1=0$ 有一正实数根和一负实数根，
$\therefore x_1x_2=\frac{-2m+1}{2}＜0,$且 $\Delta=1^2-4×2(-2m+1)＞0$,解得 $m＞\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
要解决一元二次方程有一正一负两个实根的问题，需从两个角度思考：① 方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式必须大于0；② 两根一正一负，根据根与系数的关系，两根之积为负数。分别列出不等式求解后取公共解集，即可得到m的取值范围。
【解析】
已知关于$x$的方程$2x^2 + x - 2m + 1 = 0$是一元二次方程，且有一正一负两个实数根：
1. 由两根一正一负可得两根乘积小于0，根据韦达定理：
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2m+1}{2}＜0$
解不等式：两边同乘2得$-2m+1＜0$，移项得$2m＞1$，即$m＞\frac{1}{2}$。
2. 由方程有两个不等实根，得判别式$\Delta＞0$：
$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×2×(-2m+1)＞0$
化简得$1+16m-8＞0$，即$16m＞7$，解得$m＞\frac{7}{16}$。
取两个解集的公共部分，$m＞\frac{1}{2}$已经满足$m＞\frac{7}{16}$，因此$m$的取值范围是$m＞\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是一元二次方程根的分布类基础题，解题时注意不要遗漏“方程有两个不等实根，判别式大于0”的前提条件，结合韦达定理判断根的符号即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决一元二次方程有一正一负两个实根的问题，需从两个角度思考：① 方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式必须大于0；② 两根一正一负，根据根与系数的关系，两根之积为负数。分别列出不等式求解后取公共解集，即可得到m的取值范围。
【解析】
已知关于$x$的方程$2x^2 + x - 2m + 1 = 0$是一元二次方程，且有一正一负两个实数根：
1. 由两根一正一负可得两根乘积小于0，根据韦达定理：
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2m+1}{2}＜0$
解不等式：两边同乘2得$-2m+1＜0$，移项得$2m＞1$，即$m＞\frac{1}{2}$。
2. 由方程有两个不等实根，得判别式$\Delta＞0$：
$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×2×(-2m+1)＞0$
化简得$1+16m-8＞0$，即$16m＞7$，解得$m＞\frac{7}{16}$。
取两个解集的公共部分，$m＞\frac{1}{2}$已经满足$m＞\frac{7}{16}$，因此$m$的取值范围是$m＞\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是一元二次方程根的分布类基础题，解题时注意不要遗漏“方程有两个不等实根，判别式大于0”的前提条件，结合韦达定理判断根的符号即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6.已知$m,n$是关于$x$的方程$x^2+(2b+3)x+b^2=0$的两个实数根，且满足$\frac{1}{m}+1=-\frac{1}{n}$，则$b$的值是（
A.3
B.3或$-1$
C.2
D.0或2
A
）A.3
B.3或$-1$
C.2
D.0或2
答案
A
【解析】由题意,得 $m+n=-(2b+3),mn=b^2$.
$\because \frac{1}{m}+1=-\frac{1}{n},\therefore \frac{m+n}{mn}=-1,\therefore \frac{-(2b+3)}{b^2}=-1$,
即 $b^2-2b-3=0$,解得 $b_1=3,b_2=-1$. 当 $b=3$ 时,原方程为 $x^2+9x+9=0$,此时 $\Delta＞0$,方程有两个实数根,符合题意;当 $b=-1$ 时,原方程为 $x^2+x+1=0$,此时 $\Delta＜0$,方程没有实数根,不符合题意,舍去. 综上所述,$b$ 的值是 3.
【解析】由题意,得 $m+n=-(2b+3),mn=b^2$.
$\because \frac{1}{m}+1=-\frac{1}{n},\therefore \frac{m+n}{mn}=-1,\therefore \frac{-(2b+3)}{b^2}=-1$,
即 $b^2-2b-3=0$,解得 $b_1=3,b_2=-1$. 当 $b=3$ 时,原方程为 $x^2+9x+9=0$,此时 $\Delta＞0$,方程有两个实数根,符合题意;当 $b=-1$ 时,原方程为 $x^2+x+1=0$,此时 $\Delta＜0$,方程没有实数根,不符合题意,舍去. 综上所述,$b$ 的值是 3.
解析
【分析】
本题需结合一元二次方程根与系数的关系、根的判别式求解。解题思路如下：第一步，根据m、n是方程的两个实根，利用韦达定理写出两根之和$m+n$、两根之积$mn$关于b的表达式；第二步，对已知条件$\frac{1}{m}+1=-\frac{1}{n}$变形，整理为含$m+n$和$mn$的形式；第三步，将韦达定理的结果代入变形后的等式，得到关于b的方程，求解出b的候选值；第四步，结合“方程有两个实根”的前提，代入判别式检验候选值，舍去不符合要求的解，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵m、n是关于x的方程$x^2+(2b+3)x+b^2=0$的两个实数根
∴由韦达定理可得：$m+n=-(2b+3)$，$mn=b^2$
对$\frac{1}{m}+1=-\frac{1}{n}$移项整理得：$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=-1$，通分后得$\frac{m+n}{mn}=-1$
将$m+n=-(2b+3)$、$mn=b^2$代入上式：
$\frac{-(2b+3)}{b^2}=-1$
整理得$b^2-2b-3=0$，因式分解得$(b-3)(b+1)=0$，解得$b_1=3$，$b_2=-1$
再根据方程有两个实根，判别式$\Delta≥0$：
$\Delta=(2b+3)^2-4b^2=12b+9$
当$b=3$时，$\Delta=12×3+9=45＞0$，符合题意；
当$b=-1$时，$\Delta=12×(-1)+9=-3＜0$，方程无实根，舍去。
综上，b的值为3。
【答案】A
【知识点】
根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的综合应用题型，易错点是求解出b的候选值后，忽略“两个实数根”的前提，没有代入判别式检验，导致误选B。解决这类问题时，只要涉及一元二次方程实根的条件，都要注意判别式的取值限制。
【难度系数】
0.6
本题需结合一元二次方程根与系数的关系、根的判别式求解。解题思路如下：第一步，根据m、n是方程的两个实根，利用韦达定理写出两根之和$m+n$、两根之积$mn$关于b的表达式；第二步，对已知条件$\frac{1}{m}+1=-\frac{1}{n}$变形，整理为含$m+n$和$mn$的形式；第三步，将韦达定理的结果代入变形后的等式，得到关于b的方程，求解出b的候选值；第四步，结合“方程有两个实根”的前提，代入判别式检验候选值，舍去不符合要求的解，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵m、n是关于x的方程$x^2+(2b+3)x+b^2=0$的两个实数根
∴由韦达定理可得：$m+n=-(2b+3)$，$mn=b^2$
对$\frac{1}{m}+1=-\frac{1}{n}$移项整理得：$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=-1$，通分后得$\frac{m+n}{mn}=-1$
将$m+n=-(2b+3)$、$mn=b^2$代入上式：
$\frac{-(2b+3)}{b^2}=-1$
整理得$b^2-2b-3=0$，因式分解得$(b-3)(b+1)=0$，解得$b_1=3$，$b_2=-1$
再根据方程有两个实根，判别式$\Delta≥0$：
$\Delta=(2b+3)^2-4b^2=12b+9$
当$b=3$时，$\Delta=12×3+9=45＞0$，符合题意；
当$b=-1$时，$\Delta=12×(-1)+9=-3＜0$，方程无实根，舍去。
综上，b的值为3。
【答案】A
【知识点】
根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的综合应用题型，易错点是求解出b的候选值后，忽略“两个实数根”的前提，没有代入判别式检验，导致误选B。解决这类问题时，只要涉及一元二次方程实根的条件，都要注意判别式的取值限制。
【难度系数】
0.6
7. 推理能力 若关于x的方程$x^2 + 2(m - 1)x + m^2 - m = 0$有两个实数根α, β, 且$α^2 + β^2 =12$,则m的值为
-1
.答案
-1
【解析】由题意,得 $α+β=-2(m-1),αβ=m^2-m$.
$\because α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=12$,
$\therefore [-2(m-1)]^2-2(m^2-m)=12$,
解得 $m_1=-1,m_2=4$.
当 $m=-1$ 时,$\Delta=(-4)^2-8=8＞0$,符合题意;
当 $m=4$ 时,$\Delta=6^2-4×12=-12＜0$,不符合题意.
综上所述,$m$ 的值为 $-1$.
【解析】由题意,得 $α+β=-2(m-1),αβ=m^2-m$.
$\because α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=12$,
$\therefore [-2(m-1)]^2-2(m^2-m)=12$,
解得 $m_1=-1,m_2=4$.
当 $m=-1$ 时,$\Delta=(-4)^2-8=8＞0$,符合题意;
当 $m=4$ 时,$\Delta=6^2-4×12=-12＜0$,不符合题意.
综上所述,$m$ 的值为 $-1$.
解析
【分析】
要解这道题，首先明确解题的核心思路：首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）表示出两根之和与两根之积，再将待求的$α^2+β^2$通过完全平方公式变形为含两根和、两根积的形式，代入已知条件得到关于$m$的方程，解出$m$的可能值后，必须代入根的判别式检验，因为题目明确方程有两个实数根，只有满足判别式$\Delta≥0$的$m$值才是符合要求的解。
【解析】
解：
∵关于$x$的方程$x^2 + 2(m - 1)x + m^2 - m = 0$有两个实数根$α, β$
∴根据根与系数的关系可得：
$α+β=-2(m-1)$，$αβ=m^2-m$
由完全平方公式变形得$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ$，代入$α^2+β^2=12$得：
$[-2(m-1)]^2 - 2(m^2 - m) = 12$
整理得：$4(m^2-2m+1)-2m^2+2m=12$
化简为$m^2-3m-4=0$，因式分解得$(m+1)(m-4)=0$，解得$m_1=-1$，$m_2=4$
再检验根的判别式：
方程的判别式$\Delta=[2(m-1)]^2 - 4(m^2 - m) = -4m +4$
当$m=-1$时，$\Delta=-4×(-1)+4=8＞0$，方程有两个实数根，符合题意；
当$m=4$时，$\Delta=-4×4 +4 = -12＜0$，方程无实数根，不符合题意，舍去。
综上，$m$的值为$-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用题型，解题关键是掌握两根平方和向两根和、两根积的变形方法，易错点是求解$m$后忽略判别式的检验，出现增根，要注意韦达定理的适用前提是方程存在实数根。
【难度系数】
0.6
要解这道题，首先明确解题的核心思路：首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）表示出两根之和与两根之积，再将待求的$α^2+β^2$通过完全平方公式变形为含两根和、两根积的形式，代入已知条件得到关于$m$的方程，解出$m$的可能值后，必须代入根的判别式检验，因为题目明确方程有两个实数根，只有满足判别式$\Delta≥0$的$m$值才是符合要求的解。
【解析】
解：
∵关于$x$的方程$x^2 + 2(m - 1)x + m^2 - m = 0$有两个实数根$α, β$
∴根据根与系数的关系可得：
$α+β=-2(m-1)$，$αβ=m^2-m$
由完全平方公式变形得$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ$，代入$α^2+β^2=12$得：
$[-2(m-1)]^2 - 2(m^2 - m) = 12$
整理得：$4(m^2-2m+1)-2m^2+2m=12$
化简为$m^2-3m-4=0$，因式分解得$(m+1)(m-4)=0$，解得$m_1=-1$，$m_2=4$
再检验根的判别式：
方程的判别式$\Delta=[2(m-1)]^2 - 4(m^2 - m) = -4m +4$
当$m=-1$时，$\Delta=-4×(-1)+4=8＞0$，方程有两个实数根，符合题意；
当$m=4$时，$\Delta=-4×4 +4 = -12＜0$，方程无实数根，不符合题意，舍去。
综上，$m$的值为$-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用题型，解题关键是掌握两根平方和向两根和、两根积的变形方法，易错点是求解$m$后忽略判别式的检验，出现增根，要注意韦达定理的适用前提是方程存在实数根。
【难度系数】
0.6
