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【例】小明家准备用灰色和白色两种瓷砖铺设边长为6 m的正方形客厅.如右图,灰色瓷砖铺设四个角的边长相同的小正方形及宽度相等的回字形边框(阴影部分);白色瓷砖铺设四个全等的矩形及客厅中心的正方形(空白部分).设四个角上的小正方形的边长为x m.
(1)当$x=0.8$,客厅中心的正方形瓷砖铺设的面积为$16\ \mathrm{m}^2$时,求回字形边框的宽度.
(2)若客厅中心的正方形边长为4 m,白色瓷砖铺设的面积为$26\ \mathrm{m}^2$,求$x$的值.
【点拨】(1)根据题意可知,客厅中心的正方形边长为4 m,再结合图形即可求得回字形边框的宽度;(2)根据白色瓷砖铺设的面积由四个全等的矩形及客厅中心的正方形组成,可得出关于$x$的方程,解方程后进行讨论即可解答.
【解】(1)由题意,得客厅中心的正方形边长为4 m.结合题图,得回字形边框的宽度为$\frac{1}{2}×(6-4-0.8×2)=0.2(\mathrm{m})$.
(2)由题意,得$4x(6-2x)+4^2=26$,解得$x_1=\frac{5}{2},x_2=\frac{1}{2}$.当$x=\frac{5}{2}$时,$\frac{5}{2}×2+4=9＞6$,不符合题意,舍去;当$x=\frac{1}{2}$时,$\frac{1}{2}×2+4=5＜6$,符合题意,$\therefore x$的值为$\frac{1}{2}$.
(1)当$x=0.8$,客厅中心的正方形瓷砖铺设的面积为$16\ \mathrm{m}^2$时,求回字形边框的宽度.
(2)若客厅中心的正方形边长为4 m,白色瓷砖铺设的面积为$26\ \mathrm{m}^2$,求$x$的值.
【点拨】(1)根据题意可知,客厅中心的正方形边长为4 m,再结合图形即可求得回字形边框的宽度;(2)根据白色瓷砖铺设的面积由四个全等的矩形及客厅中心的正方形组成,可得出关于$x$的方程,解方程后进行讨论即可解答.
【解】(1)由题意,得客厅中心的正方形边长为4 m.结合题图,得回字形边框的宽度为$\frac{1}{2}×(6-4-0.8×2)=0.2(\mathrm{m})$.
(2)由题意,得$4x(6-2x)+4^2=26$,解得$x_1=\frac{5}{2},x_2=\frac{1}{2}$.当$x=\frac{5}{2}$时,$\frac{5}{2}×2+4=9＞6$,不符合题意,舍去;当$x=\frac{1}{2}$时,$\frac{1}{2}×2+4=5＜6$,符合题意,$\therefore x$的值为$\frac{1}{2}$.
答案
解：
(1) 由客厅中心的正方形面积为$16\ \mathrm{m}^2$，可得其边长为$\sqrt{16}=4\ \mathrm{m}$。
结合大正方形边长为$6\ \mathrm{m}$，回字形边框的宽度为：
$\frac{1}{2}×(6 - 4 - 2×0.8)=0.2\ (\mathrm{m})$
(2) 根据题意，4个全等白色矩形的总面积为$4x(6-2x)\ \mathrm{m}^2$，中心正方形面积为$4^2=16\ \mathrm{m}^2$，由白色瓷砖总面积为$26\ \mathrm{m}^2$列方程：
$4x(6-2x) + 4^2 = 26$
整理得：$4x^2 -12x +5=0$
解得：$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=\frac{1}{2}$。
当$x=\frac{5}{2}$时，$2x+4=9＞6$，不符合大正方形边长为6 m的实际情况，舍去；
当$x=\frac{1}{2}$时，$2x+4=5＜6$，符合题意。
答：(1)回字形边框的宽度为$0.2\ \mathrm{m}$；(2)$x$的值为$\frac{1}{2}$。
(1) 由客厅中心的正方形面积为$16\ \mathrm{m}^2$，可得其边长为$\sqrt{16}=4\ \mathrm{m}$。
结合大正方形边长为$6\ \mathrm{m}$，回字形边框的宽度为：
$\frac{1}{2}×(6 - 4 - 2×0.8)=0.2\ (\mathrm{m})$
(2) 根据题意，4个全等白色矩形的总面积为$4x(6-2x)\ \mathrm{m}^2$，中心正方形面积为$4^2=16\ \mathrm{m}^2$，由白色瓷砖总面积为$26\ \mathrm{m}^2$列方程：
$4x(6-2x) + 4^2 = 26$
整理得：$4x^2 -12x +5=0$
解得：$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=\frac{1}{2}$。
当$x=\frac{5}{2}$时，$2x+4=9＞6$，不符合大正方形边长为6 m的实际情况，舍去；
当$x=\frac{1}{2}$时，$2x+4=5＜6$，符合题意。
答：(1)回字形边框的宽度为$0.2\ \mathrm{m}$；(2)$x$的值为$\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
(1) 求解回字形边框宽度时，先根据中心正方形的面积求出其边长，再结合大正方形边长、四个角小正方形的边长x，利用图形边长的和差关系：大正方形边长减去中心正方形边长，再减去两个角小正方形的边长，所得结果是两侧回字形边框的总宽度，除以2即可得到单侧边框的宽度。
(2) 求解x的值时，先明确白色瓷砖面积由4个全等矩形和中心正方形两部分组成，先表示出4个矩形的总面积，加上中心正方形的面积，令其等于白色瓷砖总面积，列出关于x的一元二次方程，解方程后要结合大正方形边长的实际限制，舍去不符合题意的根，得到最终结果。
【解析】
(1) 已知客厅中心正方形的面积为$16\ \mathrm{m}^2$，可得其边长为$\sqrt{16}=4\ \mathrm{m}$。
已知大正方形客厅边长为$6\ \mathrm{m}$，四个角小正方形边长$x=0.8\ \mathrm{m}$，结合图形边长关系，回字形边框的宽度为：
$\frac{1}{2}×(6 - 4 - 2×0.8)=0.2\ (\mathrm{m})$
(2) 由题意，每个白色矩形的一边长为$x\ \mathrm{m}$，另一边长为$(6-2x)\ \mathrm{m}$，则4个全等白色矩形的总面积为$4x(6-2x)\ \mathrm{m}^2$，中心正方形面积为$4^2=16\ \mathrm{m}^2$。
已知白色瓷砖总面积为$26\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$4x(6-2x) + 4^2 = 26$
整理得：$4x^2 -12x +5=0$
解得：$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=\frac{1}{2}$。
检验：当$x=\frac{5}{2}$时，$2x+4=9＞6$，超过大正方形边长，不符合实际，舍去；
当$x=\frac{1}{2}$时，$2x+4=5＜6$，符合题意。
【答案】
(1) 回字形边框的宽度为$0.2\ \mathrm{m}$；
(2) $x$的值为$\frac{1}{2}$。
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 正方形面积计算
3. 实际问题验根
【点评】
本题结合生活铺砖场景出题，解题核心是准确分析图形中各线段的数量关系，根据面积等量关系列方程，同时要注意方程的解需符合实际几何意义，对学生的识图能力和方程应用能力有一定考察。
【难度系数】
0.7
(1) 求解回字形边框宽度时，先根据中心正方形的面积求出其边长，再结合大正方形边长、四个角小正方形的边长x，利用图形边长的和差关系：大正方形边长减去中心正方形边长，再减去两个角小正方形的边长，所得结果是两侧回字形边框的总宽度，除以2即可得到单侧边框的宽度。
(2) 求解x的值时，先明确白色瓷砖面积由4个全等矩形和中心正方形两部分组成，先表示出4个矩形的总面积，加上中心正方形的面积，令其等于白色瓷砖总面积，列出关于x的一元二次方程，解方程后要结合大正方形边长的实际限制，舍去不符合题意的根，得到最终结果。
【解析】
(1) 已知客厅中心正方形的面积为$16\ \mathrm{m}^2$，可得其边长为$\sqrt{16}=4\ \mathrm{m}$。
已知大正方形客厅边长为$6\ \mathrm{m}$，四个角小正方形边长$x=0.8\ \mathrm{m}$，结合图形边长关系，回字形边框的宽度为：
$\frac{1}{2}×(6 - 4 - 2×0.8)=0.2\ (\mathrm{m})$
(2) 由题意，每个白色矩形的一边长为$x\ \mathrm{m}$，另一边长为$(6-2x)\ \mathrm{m}$，则4个全等白色矩形的总面积为$4x(6-2x)\ \mathrm{m}^2$，中心正方形面积为$4^2=16\ \mathrm{m}^2$。
已知白色瓷砖总面积为$26\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$4x(6-2x) + 4^2 = 26$
整理得：$4x^2 -12x +5=0$
解得：$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=\frac{1}{2}$。
检验：当$x=\frac{5}{2}$时，$2x+4=9＞6$，超过大正方形边长，不符合实际，舍去；
当$x=\frac{1}{2}$时，$2x+4=5＜6$，符合题意。
【答案】
(1) 回字形边框的宽度为$0.2\ \mathrm{m}$；
(2) $x$的值为$\frac{1}{2}$。
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 正方形面积计算
3. 实际问题验根
【点评】
本题结合生活铺砖场景出题，解题核心是准确分析图形中各线段的数量关系，根据面积等量关系列方程，同时要注意方程的解需符合实际几何意义，对学生的识图能力和方程应用能力有一定考察。
【难度系数】
0.7
1. 矩形的周长为24 cm，其中一边长为$ x $ cm，面积为$ 32 \ \mathrm{cm}^2 $，则列出关于$ x $的方程为（
A.$ 32 = x^2 $
B.$ 32 = (12 - x)^2 $
C.$ 32 = x(12 - x) $
D.$ 32 = 2(12 - x) $
C
）A.$ 32 = x^2 $
B.$ 32 = (12 - x)^2 $
C.$ 32 = x(12 - x) $
D.$ 32 = 2(12 - x) $
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先从已知条件出发，第一步利用矩形周长公式求出相邻两边的长度和，第二步用含x的代数式表示出矩形的另一边长，第三步结合矩形面积公式找到等量关系，列出对应方程即可选出正确选项。
【解析】
解：已知矩形周长为24 cm，根据矩形周长公式：$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{相邻两边长度之和})$，可得矩形相邻两边的和为：$24÷2=12\ \mathrm{cm}$。
已知其中一边长为$x$ cm，则另一边长为$(12-x)$ cm。
又已知矩形面积为$32\ \mathrm{cm}^2$，根据矩形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，代入得：
$x(12-x)=32$，与选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
矩形周长计算，矩形面积计算，列方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是先根据周长正确表示出矩形的另一边长，再结合面积公式建立等式，熟练掌握矩形的相关公式是解题的前提。
【难度系数】
0.9
解题时首先从已知条件出发，第一步利用矩形周长公式求出相邻两边的长度和，第二步用含x的代数式表示出矩形的另一边长，第三步结合矩形面积公式找到等量关系，列出对应方程即可选出正确选项。
【解析】
解：已知矩形周长为24 cm，根据矩形周长公式：$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{相邻两边长度之和})$，可得矩形相邻两边的和为：$24÷2=12\ \mathrm{cm}$。
已知其中一边长为$x$ cm，则另一边长为$(12-x)$ cm。
又已知矩形面积为$32\ \mathrm{cm}^2$，根据矩形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，代入得：
$x(12-x)=32$，与选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
矩形周长计算，矩形面积计算，列方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是先根据周长正确表示出矩形的另一边长，再结合面积公式建立等式，熟练掌握矩形的相关公式是解题的前提。
【难度系数】
0.9
2.(2025—2026新余期中)如图，
，在长为100 m、宽为80 m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化.要使绿化面积为$7 644 m^2$，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x m，则可列方程为 (
A.$100×80 - 100x - 80x = 7644$
B.$(100 - x)(80 - x) + x^2 = 7644$
C.$(100 - x)(80 - x) = 7644$
D.$100x + 80x = 356$
，在长为100 m、宽为80 m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化.要使绿化面积为$7 644 m^2$，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x m，则可列方程为 (C
)A.$100×80 - 100x - 80x = 7644$
B.$(100 - x)(80 - x) + x^2 = 7644$
C.$(100 - x)(80 - x) = 7644$
D.$100x + 80x = 356$
答案
2.C
解析
【分析】
解决这类道路面积问题常用两种思路：一是用矩形场地总面积减去道路总面积得到绿化面积，计算道路面积时要注意两条道路交叉的重叠部分被重复计算了一次，需要补回；二是用平移法，将两条道路分别平移到矩形的边缘，此时四块绿化区域可拼接成一个新的矩形，直接计算新矩形的面积即可得到绿化面积，这种方法更简便，不容易出错。
【解析】
设道路的宽为x m。
我们采用平移法推导：将竖直方向的道路向左侧平移，水平方向的道路向上侧平移，平移后剩余的绿化区域刚好拼成一个新的矩形，该矩形的长为$(100 - x)$m，宽为$(80 - x)$m。
已知绿化面积为$7644\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式，可列方程：
$(100 - x)(80 - x) = 7644$，对应选项C。
也可以用总面积减道路面积验证：场地总面积为$100×80\ \mathrm{m}^2$，道路总面积为$(100x + 80x - x^2)\ \mathrm{m}^2$，因此绿化面积为$100×80 - (100x + 80x - x^2) = 7644$，整理后和上述方程一致。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，图形平移
【点评】
本题是面积类方程应用的基础题，平移法是解决这类带交叉道路面积问题的常用技巧，能有效避免重复计算重叠区域面积的错误。
【难度系数】
0.7
解决这类道路面积问题常用两种思路：一是用矩形场地总面积减去道路总面积得到绿化面积，计算道路面积时要注意两条道路交叉的重叠部分被重复计算了一次，需要补回；二是用平移法，将两条道路分别平移到矩形的边缘，此时四块绿化区域可拼接成一个新的矩形，直接计算新矩形的面积即可得到绿化面积，这种方法更简便，不容易出错。
【解析】
设道路的宽为x m。
我们采用平移法推导：将竖直方向的道路向左侧平移，水平方向的道路向上侧平移，平移后剩余的绿化区域刚好拼成一个新的矩形，该矩形的长为$(100 - x)$m，宽为$(80 - x)$m。
已知绿化面积为$7644\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式，可列方程：
$(100 - x)(80 - x) = 7644$，对应选项C。
也可以用总面积减道路面积验证：场地总面积为$100×80\ \mathrm{m}^2$，道路总面积为$(100x + 80x - x^2)\ \mathrm{m}^2$，因此绿化面积为$100×80 - (100x + 80x - x^2) = 7644$，整理后和上述方程一致。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，图形平移
【点评】
本题是面积类方程应用的基础题，平移法是解决这类带交叉道路面积问题的常用技巧，能有效避免重复计算重叠区域面积的错误。
【难度系数】
0.7
