登录
6. 下列一元二次方程最适合用因式分解法求解的是（
A.$x^2 +4x=23$
B.$(x-1)(x-2)=3$
C.$x^2 +2x -1=0$
D.$3(x-3)^2 =x^2 -9$
D
）A.$x^2 +4x=23$
B.$(x-1)(x-2)=3$
C.$x^2 +2x -1=0$
D.$3(x-3)^2 =x^2 -9$
答案
6.D
解析
【分析】
要判断哪个一元二次方程最适合用因式分解法求解，首先需明确因式分解法的适用特征：方程可便捷变形为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，无需复杂的配方、公式计算即可求解。解题时逐一分析各选项的结构特征，判断是否能快速转化为上述形式即可。
【解析】
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程整理为“一次因式乘积=0”的形式，计算量最小，我们逐一分析选项：
A. 移项得$x^2 +4x -23=0$，左边二次三项式无法直接分解为两个一次因式的乘积，不适合因式分解法；
B. 展开整理得$x^2 -3x -1=0$，左边无法直接因式分解，不适合因式分解法；
C. $x^2 +2x -1=0$左边无法直接因式分解，适合用公式法或配方法求解，不适合因式分解法；
D. 右边$x^2 -9$可利用平方差公式分解为$(x-3)(x+3)$，移项得$3(x-3)^2 - (x-3)(x+3)=0$，直接提取公因式$(x-3)$即可得到$(x-3)[3(x-3)-(x+3)]=0$，能快速分解为两个一次因式乘积的形式，最适合用因式分解法求解。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程 2. 平方差公式的应用
【点评】
本题考查一元二次方程解法的选择，熟悉各类解法的适用场景，优先选择步骤简便、计算量小的解法，可有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.8
要判断哪个一元二次方程最适合用因式分解法求解，首先需明确因式分解法的适用特征：方程可便捷变形为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，无需复杂的配方、公式计算即可求解。解题时逐一分析各选项的结构特征，判断是否能快速转化为上述形式即可。
【解析】
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程整理为“一次因式乘积=0”的形式，计算量最小，我们逐一分析选项：
A. 移项得$x^2 +4x -23=0$，左边二次三项式无法直接分解为两个一次因式的乘积，不适合因式分解法；
B. 展开整理得$x^2 -3x -1=0$，左边无法直接因式分解，不适合因式分解法；
C. $x^2 +2x -1=0$左边无法直接因式分解，适合用公式法或配方法求解，不适合因式分解法；
D. 右边$x^2 -9$可利用平方差公式分解为$(x-3)(x+3)$，移项得$3(x-3)^2 - (x-3)(x+3)=0$，直接提取公因式$(x-3)$即可得到$(x-3)[3(x-3)-(x+3)]=0$，能快速分解为两个一次因式乘积的形式，最适合用因式分解法求解。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程 2. 平方差公式的应用
【点评】
本题考查一元二次方程解法的选择，熟悉各类解法的适用场景，优先选择步骤简便、计算量小的解法，可有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.8
7.已知下列方程,请把它们的序号分别填在最合适的解法后的横线上.
①$2(x-1)^2=6$;②$(x-2)^2+x^2=4$;③$(x-2)(x-3)=3$;④$x^2-2x-1=0$;⑤$x^2-2x-99=0$.
(1)直接开平方法:
(2)配方法:
(3)公式法:
(4)因式分解法:
①$2(x-1)^2=6$;②$(x-2)^2+x^2=4$;③$(x-2)(x-3)=3$;④$x^2-2x-1=0$;⑤$x^2-2x-99=0$.
(1)直接开平方法:
①
.(2)配方法:
④⑤
.(3)公式法:
③
.(4)因式分解法:
②
.答案
7.(1)① (2)④⑤ (3)③ (4)②
解析
【分析】
首先明确一元二次方程四种常用解法的适用特征：1.直接开平方法：适合方程可变形为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式，无需展开直接开方即可求解；2.配方法：适合二次项系数为1，且一次项系数为偶数的方程，配方过程计算更简便；3.公式法：是一元二次方程的通用解法，更适合不易用另外三种方法求解、配方会出现分数计算的方程；4.因式分解法：适合方程整理后右边为0，左边易分解为两个一次因式乘积的形式。接下来逐一分析每个方程的结构特征，匹配对应的最优解法即可。
【解析】
逐个分析给定方程的特征：
1. 方程①$2(x-1)^2=6$：可直接变形为$(x-1)^2=3$，完全符合直接开平方法的适用形式，故适合直接开平方法；
2. 方程②$(x-2)^2+x^2=4$：移项得$(x-2)^2 + x^2 - 4 = 0$，进一步变形为$(x-2)^2 + (x-2)(x+2)=0$，可提取公因式$(x-2)$分解因式求解，故适合因式分解法；
3. 方程③$(x-2)(x-3)=3$：展开整理得$x^2-5x+3=0$，不易直接因式分解，且一次项系数为奇数，配方会出现分数计算，用公式法求解更便捷，故适合公式法；
4. 方程④$x^2-2x-1=0$：二次项系数为1，一次项系数$-2$为偶数，配方时只需在等式两边加1即可凑成完全平方式，适合配方法；
5. 方程⑤$x^2-2x-99=0$：二次项系数为1，一次项系数$-2$为偶数，配方计算简便，适合配方法。
综上可完成分类。
【答案】
(1)① (2)④⑤ (3)③ (4)②
【知识点】
一元二次方程解法选择，配方法，因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程最优解法的选择，解题的关键是熟练掌握各类解法的适用特征，根据方程的结构灵活选择解法，可大幅提升解题效率、减少计算失误。
【难度系数】
0.8
首先明确一元二次方程四种常用解法的适用特征：1.直接开平方法：适合方程可变形为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式，无需展开直接开方即可求解；2.配方法：适合二次项系数为1，且一次项系数为偶数的方程，配方过程计算更简便；3.公式法：是一元二次方程的通用解法，更适合不易用另外三种方法求解、配方会出现分数计算的方程；4.因式分解法：适合方程整理后右边为0，左边易分解为两个一次因式乘积的形式。接下来逐一分析每个方程的结构特征，匹配对应的最优解法即可。
【解析】
逐个分析给定方程的特征：
1. 方程①$2(x-1)^2=6$：可直接变形为$(x-1)^2=3$，完全符合直接开平方法的适用形式，故适合直接开平方法；
2. 方程②$(x-2)^2+x^2=4$：移项得$(x-2)^2 + x^2 - 4 = 0$，进一步变形为$(x-2)^2 + (x-2)(x+2)=0$，可提取公因式$(x-2)$分解因式求解，故适合因式分解法；
3. 方程③$(x-2)(x-3)=3$：展开整理得$x^2-5x+3=0$，不易直接因式分解，且一次项系数为奇数，配方会出现分数计算，用公式法求解更便捷，故适合公式法；
4. 方程④$x^2-2x-1=0$：二次项系数为1，一次项系数$-2$为偶数，配方时只需在等式两边加1即可凑成完全平方式，适合配方法；
5. 方程⑤$x^2-2x-99=0$：二次项系数为1，一次项系数$-2$为偶数，配方计算简便，适合配方法。
综上可完成分类。
【答案】
(1)① (2)④⑤ (3)③ (4)②
【知识点】
一元二次方程解法选择，配方法，因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程最优解法的选择，解题的关键是熟练掌握各类解法的适用特征，根据方程的结构灵活选择解法，可大幅提升解题效率、减少计算失误。
【难度系数】
0.8
8.用合适的方法解下列一元二次方程：
(1)$(2025—2026$上饶弋阳期中$)(x+1)^2=16.$
(2)$(2025—2026$上饶广信区期中$)5x^2 -3x =x+1.$
(1)$(2025—2026$上饶弋阳期中$)(x+1)^2=16.$
(2)$(2025—2026$上饶广信区期中$)5x^2 -3x =x+1.$
答案
8.解:(1)直接开平方,得$x+1=\pm4$,
解得$x_1=3,x_2=-5$.
(2)原方程可化为$5x^2-4x-1=0$,
$\therefore 5x^2-5x+x-1=0$,
$\therefore 5x(x-1)+(x-1)=0$,
$\therefore (5x+1)(x-1)=0$,
解得$x_1=-\dfrac{1}{5},x_2=1$.
解得$x_1=3,x_2=-5$.
(2)原方程可化为$5x^2-4x-1=0$,
$\therefore 5x^2-5x+x-1=0$,
$\therefore 5x(x-1)+(x-1)=0$,
$\therefore (5x+1)(x-1)=0$,
解得$x_1=-\dfrac{1}{5},x_2=1$.
解析
【分析】
(1)观察方程形式，左边是完全平方式，右边是正的常数，符合直接开平方法的适用条件，因此可以直接开平方将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，比展开后再求解更简便。
(2)首先需要将方程移项、合并同类项整理为一元二次方程的一般形式，观察整理后的方程，可通过分组分解因式的方法将左边化为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”转化为一元一次方程求解，计算量比公式法更小。
【解析】
(1) 对$(x+1)^2=16$直接开平方，得：
$x+1=\pm4$
当$x+1=4$时，解得$x=3$；当$x+1=-4$时，解得$x=-5$。
(2) 先将原方程移项合并同类项，整理为一般形式：
$5x^2 -3x -x -1=0$，即$5x^2-4x-1=0$
对左边因式分解，分组得：
$5x^2-5x+x-1=0$
提公因式得：
$5x(x-1)+(x-1)=0$
再次提取公因式$(x-1)$得：
$(5x+1)(x-1)=0$
则$5x+1=0$或$x-1=0$，
解得$x=-\dfrac{1}{5}$或$x=1$。
【答案】
(1)$x_1=3$，$x_2=-5$；
(2)$x_1=-\dfrac{1}{5}$，$x_2=1$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的解法选择，解题时要根据方程的结构特征选取最简便的解法：形如$(x+m)^2=n(n≥0)$的方程优先选择直接开平方法，整理后左边易因式分解的方程优先选择因式分解法，可有效降低计算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
(1)观察方程形式，左边是完全平方式，右边是正的常数，符合直接开平方法的适用条件，因此可以直接开平方将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，比展开后再求解更简便。
(2)首先需要将方程移项、合并同类项整理为一元二次方程的一般形式，观察整理后的方程，可通过分组分解因式的方法将左边化为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”转化为一元一次方程求解，计算量比公式法更小。
【解析】
(1) 对$(x+1)^2=16$直接开平方，得：
$x+1=\pm4$
当$x+1=4$时，解得$x=3$；当$x+1=-4$时，解得$x=-5$。
(2) 先将原方程移项合并同类项，整理为一般形式：
$5x^2 -3x -x -1=0$，即$5x^2-4x-1=0$
对左边因式分解，分组得：
$5x^2-5x+x-1=0$
提公因式得：
$5x(x-1)+(x-1)=0$
再次提取公因式$(x-1)$得：
$(5x+1)(x-1)=0$
则$5x+1=0$或$x-1=0$，
解得$x=-\dfrac{1}{5}$或$x=1$。
【答案】
(1)$x_1=3$，$x_2=-5$；
(2)$x_1=-\dfrac{1}{5}$，$x_2=1$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的解法选择，解题时要根据方程的结构特征选取最简便的解法：形如$(x+m)^2=n(n≥0)$的方程优先选择直接开平方法，整理后左边易因式分解的方程优先选择因式分解法，可有效降低计算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
9. 注重学习过程 一般我们记$\mathrm{A}_{n}^{m}=n(n-1)···(n-m+1)$.例如:$\mathrm{A}_{4}^{2}=4×3=12,\mathrm{A}_{5}^{3}=5×4×3=60$.如果$\mathrm{A}_{x}^{2}=20$,那么$x$的值为（
A.5或4
B.－5或4
C.5或－4
D.－5或－4
C
）A.5或4
B.－5或4
C.5或－4
D.－5或－4
答案
9.C 【解析】$\because \mathrm{A}_{x}^{2}=20$,
$\therefore x(x-1)=20$,
$\therefore x^2-x-20=0$,即$(x-5)(x+4)=0$,
$\therefore x-5=0$或$x+4=0$,
解得$x_1=5,x_2=-4$.
$\therefore x(x-1)=20$,
$\therefore x^2-x-20=0$,即$(x-5)(x+4)=0$,
$\therefore x-5=0$或$x+4=0$,
解得$x_1=5,x_2=-4$.
解析
【分析】
本题属于新定义运算类题目，解题思路清晰：首先要读懂题目给出的$\mathrm{A}_{n}^{m}$的运算规则，明确右上角的数字代表连续相乘的数的个数，相乘的数从右下角的数开始依次递减1；其次按照规则将$\mathrm{A}_{x}^{2}$转化为整式方程；最后用因式分解法求解得到的一元二次方程，就能得出x的值。
【解析】
根据题中定义的排列数运算规则：
$\because \mathrm{A}_{x}^{2}=20$
$\therefore x(x-1)=20$
整理得$x^2 - x - 20 = 0$，因式分解得$(x-5)(x+4)=0$
$\therefore x-5=0$或$x+4=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-4$
【答案】C
【知识点】
新定义运算；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的解法，解题关键是正确理解新运算的规则，将陌生运算转化为熟悉的方程问题求解，认真审题即可顺利完成。
【难度系数】
0.8
本题属于新定义运算类题目，解题思路清晰：首先要读懂题目给出的$\mathrm{A}_{n}^{m}$的运算规则，明确右上角的数字代表连续相乘的数的个数，相乘的数从右下角的数开始依次递减1；其次按照规则将$\mathrm{A}_{x}^{2}$转化为整式方程；最后用因式分解法求解得到的一元二次方程，就能得出x的值。
【解析】
根据题中定义的排列数运算规则：
$\because \mathrm{A}_{x}^{2}=20$
$\therefore x(x-1)=20$
整理得$x^2 - x - 20 = 0$，因式分解得$(x-5)(x+4)=0$
$\therefore x-5=0$或$x+4=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-4$
【答案】C
【知识点】
新定义运算；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的解法，解题关键是正确理解新运算的规则，将陌生运算转化为熟悉的方程问题求解，认真审题即可顺利完成。
【难度系数】
0.8
10.关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 3$的解与$(x - 1)(x - 4) = 0$的解相同，则$a + b + c$的值为
3
。答案
10.3
解析
【分析】
解题时先从已知的方程$(x - 1)(x - 4) = 0$入手，用因式分解法求出它的两个解；再根据两个方程解相同的条件，可知这两个解也满足方程$ax^2 + bx + c = 3$；观察所求的$a+b+c$的形式，恰好是$x=1$代入$ax^2+bx+c$时的结果，因此直接将$x=1$代入方程$ax^2 + bx + c = 3$即可求出答案，不需要求解a、b、c的具体值，可简化计算。
【解析】
1. 求解方程$(x - 1)(x - 4) = 0$
根据因式分解法解一元二次方程的规则，令每个因式为0，可得：
$x-1=0$ 或 $x-4=0$
解得$x_1=1$，$x_2=4$。
2. 代入求值
因为方程$ax^2 + bx + c = 3$的解与$(x - 1)(x - 4) = 0$的解相同，所以$x=1$是方程$ax^2 + bx + c = 3$的解。
将$x=1$代入$ax^2 + bx + c = 3$得：
$a×1^2 + b×1 + c = 3$
整理后可得$a + b + c = 3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 一元二次方程的解的定义
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
这道题属于基础技巧类题目，解题的关键是观察所求代数式的结构特征，选取合适的方程解代入求值，不需要计算所有参数的具体值，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的方程$(x - 1)(x - 4) = 0$入手，用因式分解法求出它的两个解；再根据两个方程解相同的条件，可知这两个解也满足方程$ax^2 + bx + c = 3$；观察所求的$a+b+c$的形式，恰好是$x=1$代入$ax^2+bx+c$时的结果，因此直接将$x=1$代入方程$ax^2 + bx + c = 3$即可求出答案，不需要求解a、b、c的具体值，可简化计算。
【解析】
1. 求解方程$(x - 1)(x - 4) = 0$
根据因式分解法解一元二次方程的规则，令每个因式为0，可得：
$x-1=0$ 或 $x-4=0$
解得$x_1=1$，$x_2=4$。
2. 代入求值
因为方程$ax^2 + bx + c = 3$的解与$(x - 1)(x - 4) = 0$的解相同，所以$x=1$是方程$ax^2 + bx + c = 3$的解。
将$x=1$代入$ax^2 + bx + c = 3$得：
$a×1^2 + b×1 + c = 3$
整理后可得$a + b + c = 3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 一元二次方程的解的定义
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
这道题属于基础技巧类题目，解题的关键是观察所求代数式的结构特征，选取合适的方程解代入求值，不需要计算所有参数的具体值，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
11. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 2kx + k^2 - 1 = 0 $.
(1)若方程有一根为5,求 $ k $ 的值.
(2)求证:不论 $ k $ 取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(1)若方程有一根为5,求 $ k $ 的值.
(2)求证:不论 $ k $ 取何值,方程总有两个不相等的实数根.
答案
11.解:(1)$\because x^2-2kx+k^2-1=0$,
$\therefore (x-k)^2-1=0$,
$\therefore (x-k-1)(x-k+1)=0$,
$\therefore x_1=k+1,x_2=k-1$.
当$k+1=5$时,$k=4$;
当$k-1=5$时,$k=6$.
综上所述,$k$的值为4或6.
(2)证明:$\because \Delta=(-2k)^2-4(k^2-1)=4＞0$,
$\therefore$不论$k$取何值,方程总有两个不相等的实数根.
$\therefore (x-k)^2-1=0$,
$\therefore (x-k-1)(x-k+1)=0$,
$\therefore x_1=k+1,x_2=k-1$.
当$k+1=5$时,$k=4$;
当$k-1=5$时,$k=6$.
综上所述,$k$的值为4或6.
(2)证明:$\because \Delta=(-2k)^2-4(k^2-1)=4＞0$,
$\therefore$不论$k$取何值,方程总有两个不相等的实数根.
解析
【分析】
(1) 第一问有两种解题思路：思路一，根据方程根的定义，把x=5直接代入原方程，得到关于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值；思路二，先对原方程用因式分解法求解，得到两个用k表示的根，再分别令根等于5，即可求出对应的k值。
(2) 第二问要证明无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根，只需计算一元二次方程的根的判别式Δ，证明Δ恒大于0即可，因为对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。
【解析】
(1) 对原方程因式分解：
$\because x^2 - 2kx + k^2 - 1 = 0$
$\therefore (x-k)^2 - 1 = 0$
由平方差公式得：$(x - k - 1)(x - k + 1) = 0$
解得：$x_1 = k + 1$，$x_2 = k - 1$
已知方程有一根为5，分两种情况讨论：
当$k + 1 = 5$时，解得$k = 4$；
当$k - 1 = 5$时，解得$k = 6$。
(2) 证明：方程$x^2 - 2kx + k^2 - 1 = 0$中，$a=1$，$b=-2k$，$c=k^2-1$
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2k)^2 - 4×1×(k^2 - 1) = 4k^2 - 4k^2 + 4 = 4$
$\because \Delta = 4 ＞ 0$
$\therefore$不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) $k$的值为$\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{6}$；
(2) 不论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根，证明成立。
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规题，第一问求解参数的方法灵活，既可以直接代入根计算，也可以先解方程再对应求参数；第二问是根的判别式的典型应用，熟练掌握判别式和方程根的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
(1) 第一问有两种解题思路：思路一，根据方程根的定义，把x=5直接代入原方程，得到关于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值；思路二，先对原方程用因式分解法求解，得到两个用k表示的根，再分别令根等于5，即可求出对应的k值。
(2) 第二问要证明无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根，只需计算一元二次方程的根的判别式Δ，证明Δ恒大于0即可，因为对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。
【解析】
(1) 对原方程因式分解：
$\because x^2 - 2kx + k^2 - 1 = 0$
$\therefore (x-k)^2 - 1 = 0$
由平方差公式得：$(x - k - 1)(x - k + 1) = 0$
解得：$x_1 = k + 1$，$x_2 = k - 1$
已知方程有一根为5，分两种情况讨论：
当$k + 1 = 5$时，解得$k = 4$；
当$k - 1 = 5$时，解得$k = 6$。
(2) 证明：方程$x^2 - 2kx + k^2 - 1 = 0$中，$a=1$，$b=-2k$，$c=k^2-1$
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2k)^2 - 4×1×(k^2 - 1) = 4k^2 - 4k^2 + 4 = 4$
$\because \Delta = 4 ＞ 0$
$\therefore$不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) $k$的值为$\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{6}$；
(2) 不论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根，证明成立。
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规题，第一问求解参数的方法灵活，既可以直接代入根计算，也可以先解方程再对应求参数；第二问是根的判别式的典型应用，熟练掌握判别式和方程根的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
12.(2025—2026赣州章贡区期中)小涵与小彤两位同学解方程$3x(x-6)=(x-6)^2$的过程如下：
(1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第
(2)请你给出正确的解法。
(1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第
一
步，小彤第一次出错在第二
步。(2)请你给出正确的解法。
答案
12.解:(1)一 二
(2)正确的解法:$3x(x-6)=(x-6)^2$,
移项,得$3x(x-6)-(x-6)^2=0$,
提取公因式,得$(x-6)(3x-x+6)=0$,
则$x-6=0$或$3x-x+6=0$,
解得$x_1=6,x_2=-3$.
(2)正确的解法:$3x(x-6)=(x-6)^2$,
移项,得$3x(x-6)-(x-6)^2=0$,
提取公因式,得$(x-6)(3x-x+6)=0$,
则$x-6=0$或$3x-x+6=0$,
解得$x_1=6,x_2=-3$.
解析
【分析】
(1)判断两人的错误步骤：首先分析小涵的解法，根据等式的性质，等式两边只能同时除以不为0的数或整式，若x-6=0，直接除以(x-6)既不符合运算规则，还会丢失根，因此小涵第一步就出错；再分析小彤的解法，提取公因式时，原式第二项为$-(x-6)^2$，提取$(x-6)$后剩余部分为$-(x-6)$，去括号后应为$-x+6$，小彤符号计算错误，因此小彤第二步出错。
(2)正确解题思路：解这类含有公因式的一元二次方程，优先选择因式分解法，先移项使方程右边为0，再提取公因式将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，分别求解两个一次方程即可得到全部根，运算时要注意去括号的符号变化。
【解析】
(1)小涵第一步直接除以$(x-6)$，未考虑$x-6=0$的情况，违反等式的性质，第一次出错在第一步；小彤第二步提取公因式后去括号时符号错误，将$+6$错写为$-6$，第一次出错在第二步。
(2)正确解法：
$3x(x-6)=(x-6)^2$，
移项，得$3x(x-6)-(x-6)^2=0$，
提取公因式，得$(x-6)(3x-x+6)=0$，
则$x-6=0$或$3x-x+6=0$，
解得$x_1=6,x_2=-3$。
【答案】
(1)一；二
(2)$x_1=6,x_2=-3$
【知识点】
因式分解法解方程、等式的性质、去括号法则
【点评】
本题是解一元二次方程的典型易错题型，既考查了等式性质的适用条件，也考查了因式分解运算中的符号规则，做题时要注意不能随意除以含未知数的整式避免丢根，运算时也要留意符号变化，熟练掌握因式分解法的解题步骤即可快速准确求解。
【难度系数】
0.7
(1)判断两人的错误步骤：首先分析小涵的解法，根据等式的性质，等式两边只能同时除以不为0的数或整式，若x-6=0，直接除以(x-6)既不符合运算规则，还会丢失根，因此小涵第一步就出错；再分析小彤的解法，提取公因式时，原式第二项为$-(x-6)^2$，提取$(x-6)$后剩余部分为$-(x-6)$，去括号后应为$-x+6$，小彤符号计算错误，因此小彤第二步出错。
(2)正确解题思路：解这类含有公因式的一元二次方程，优先选择因式分解法，先移项使方程右边为0，再提取公因式将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，分别求解两个一次方程即可得到全部根，运算时要注意去括号的符号变化。
【解析】
(1)小涵第一步直接除以$(x-6)$，未考虑$x-6=0$的情况，违反等式的性质，第一次出错在第一步；小彤第二步提取公因式后去括号时符号错误，将$+6$错写为$-6$，第一次出错在第二步。
(2)正确解法：
$3x(x-6)=(x-6)^2$，
移项，得$3x(x-6)-(x-6)^2=0$，
提取公因式，得$(x-6)(3x-x+6)=0$，
则$x-6=0$或$3x-x+6=0$，
解得$x_1=6,x_2=-3$。
【答案】
(1)一；二
(2)$x_1=6,x_2=-3$
【知识点】
因式分解法解方程、等式的性质、去括号法则
【点评】
本题是解一元二次方程的典型易错题型，既考查了等式性质的适用条件，也考查了因式分解运算中的符号规则，做题时要注意不能随意除以含未知数的整式避免丢根，运算时也要留意符号变化，熟练掌握因式分解法的解题步骤即可快速准确求解。
【难度系数】
0.7
